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%   Fondamentaux des Maths 2 -2018 - Feuille de TD10
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\noindent 
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1  
\hfill UE Fondamentaux des Math\'ematiques II\\
Semestre de printemps 2017-2018
\bigskip 


\begin{center}
{\Large\bf Feuille 10 : Fractions rationnelles} 
\end{center}
\bigskip

\def\moun{{-1}}

\noindent 
{\bf Exercice 1.} Donner la forme de la d\'ecomposition en \'el\'ements simples, sur $\R$ puis sur $\C$, des fractions rationnelles suivantes. 
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\frac{1}{(X+1)(X-2)},$ $\quad\frac{X}{(X+1)(X-2)},$ $\quad\frac{X}{X^2-1}.$
\item $\frac{X+1}{X^2+1},$ $\quad\frac{X^2}{X^3-1}.$
\item $\frac{X-1}{X^2(X^2+1)},$ $\quad\frac{3}{(X^2+X+1)(X-1)^2},$ $\quad$, $\quad\frac{X^3+X^2+X-1}{(X^2+1)^2}.$
\item $\frac{X^4}{X^2-3X+2},$ $\quad\frac{X^4-X+2}{(X-1)(X^2-1)},$ $\quad\frac{2X^5-10X^4+18X^3-31X^2+36X-1}{X^4-5X^3+7X^2-5X+6}.$
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\noindent 
{\bf Exercice 2.} Décomposer en éléments simples sur $\R$ la fraction 
$$F(X)=\frac{1}{(X^2+1)^2-X^2}.$$
Indication : Noter que $F$ est paire, {\it i.e.} $F(X)=F(-X).$
\vspace{0.5cm}

\noindent 
{\bf Exercice 3.} Rappelez les primitives des éléments simples suivantes pour $x>0.$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\int x^n\, dx,$ $\quad n\in \N,$
\item $\int \frac{1}{x}\,dx,$
\item $\int \frac{1}{x^n}\,dx,$ $\quad n\in \N,$ $ n\geq 2,$
\item $\int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx,$ $\quad a>0.$
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\noindent
{\bf Exercice 4.} Calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes en mentionnant les intervalles où le calcul est valable.
$$I_1(x)=\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx,\quad I_2(x)=\int\frac{x}{x^2-3x+2}\,dx,\quad I_3(x)=\int\frac{dx}{x(x-1)(x-2)},$$
$$I_4(x)=\int\frac{x^4}{x^3-3x+2}\,dx,\quad  I_5(x)=\int\frac{dx}{x^3-1}.$$
\vspace{0.5cm}

\end{document}

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