

\documentclass[leqno,a4paper,titlepage,twoside,12pt]{extarticle}
\usepackage{geometry}
%\usepackage[T1]{fontenc}%%<<ouvrez,>>fermez les guillemets%%
%\usepackage[latin1]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%AULNAY%%%%%%%%%%%%% %
%\usepackage{french}
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\usepackage{mathabx}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}


\usepackage{lastpage}

\usepackage{fancyhdr}

\fancyfoot[C]{ \thepage\ /  \pageref{LastPage}}
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\usepackage[all]{xy}
\xyoption{2cell}




\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}


\newcounter{infra}[page]


%\footnote[i]{} où i est entre 1 et 9%

\newenvironment{dem}[1][]{%
{\bf D\'emonstration #1 : }}{%
\hspace*{\fill}\nolinebreak[1]\hspace*{\fill}\underline{\bf Q.e.d.}\\}

\newenvironment{dem*}[1][]{% 
{\bf D\'emonstration #1 : }}{%
 }

\newenvironment{des}{%
\begin{description} }{%
\end{description}}

\newenvironment{eq*}{\begin{eqnarray*}}{\end{eqnarray*}}

%%%%%\'equations align\'ees et sans num\'eros%%%%%

\newenvironment{liste}{\begin{itemize}}{\end{itemize}} 

%%%%%listesimple%%%%%




%%%Remarques%%% 

\newenvironment{rem}{{\bf{Remarque : }}}{}
\newenvironment{rems}[1][]{{\bf{Remarques #1 :}}}{}
\newenvironment{exemple}{{\sc Exemple : }}{}
\newenvironment{exemples}{{\sc Exemples : }}{}

%\newenvironment{defi}{{\bf D\'efinition} }


\newtheorem{defi}{D\'efinition}

\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{cours}{Question de cours}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section] \newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{pro}[thm]{Proposition} \newtheorem{cor}{Corollaire}[thm]



\newcommand{\croi}{\times}

\newcommand{\<}{\leq} %%%%%\newcommand{\>}{\geq}

\newcommand{\A}{\ens A} 
\newcommand{\ad}{\mathrm{ad}}
\newcommand{\Ad}{\mathrm{Ad}}
\newcommand{\adh}{\overline} \newcommand{\alg}{\mathrm{alg}}
\newcommand{\algebre}{\mathrm{alg\`ebre}}
\newcommand{\algebres}{\mathrm{alg}} \newcommand{\alors}{\mbox{alors}}
\newcommand{\ann}{\mathrm{Ann}} \newcommand{\aq}{\mbox{ \`a }}
\newcommand{\antidiago}{.\hskip -.5ex \cdot \hskip -.5 ex \raisebox{1 ex}.}


\newcommand{\Ass}{\mathrm{Ass}} \newcommand{\ass}{\mathrm{Ass}}
\newcommand{\Aut}{\mathrm{Aut}}
\newcommand{\avec}{\mbox{ avec }}


\newcommand{\bord}{\partial} \newcommand{\boufl}{\xymatrix{ \!\!
\ar@(ur,dr) }}%%%%%boucle fl\'ech\'ee%%%%%

\newcommand{\C}{\ens C} \newcommand{\CC}{\mbox{\Large $\mathbbm C$}}
\newcommand{\Cf}{{\it Cf. }} 
\newcommand{\cad}{\mbox{\it c-\`a-d }}
\newcommand{\call}{\mathscr}
\newcommand{\car}{\mbox{ car }}
\newcommand{\cd}{\rangle}
\newcommand{\cf}{{\it cf. }}
\newcommand{\centre}{\mathrm{centre}}
\newcommand{\cg}{\langle}

\newcommand{\ch}{\vee} \newcommand{\cha}{\widehat}
\newcommand{\cham}{{\cha{m}}} \newcommand{\chek}{\check}
\newcommand{\chap}{\widehat}
\newcommand{\cl}{\mathrm{cl}}
\newcommand{\cm}{Cohen-Macaulay} \newcommand{\codim}{\mathrm{codim}}
\newcommand{\comp}[1]{\mbox{\raisebox{.5ex}{\bf \sf C}}_{\!#1}}
\newcommand{\compl}{{\mathbf  C}} \newcommand{\con}{\supseteq}
\newcommand{\cons}{\supset}
\newcommand{\constr}{\raisebox{-1.5ex}{$\stackrel{\displaystyle
\supset}{\scriptstyle\not=}$}}
\newcommand{\conv}[1]{\raisebox{-1.5ex}{$\ma \stackrel{\displaystyle
\to}{\scriptstyle #1}$}} \newcommand{\cten}{\Box
\hspace*{-1.77ex}\raisebox{.19ex}{$\croi$}}

\newcommand{\dans}{\mbox{ dans }} \newcommand{\demi}{\frac{1}{2}}
\newcommand{\degtr}{\mathrm{degtr}}
\newcommand{\Deplus}{\mbox{De plus, }} \newcommand{\deplus}{\mbox{ de
plus, }} \newcommand{\Der}{\mathrm{Der}}
\newcommand{\diag}{\mathrm{diag}} \newcommand{\dif}{\not=}
\newcommand{\dij}{\sqcup} 
\newcommand{\Dij}{\bigsqcup}
\newcommand{\Dist}{\mathrm{Dist}}
%%%%%%%%%Diagrammes de D.%%%%%%%$
\newcommand{\axa}{\bullet \;\; \bullet}
\newcommand{\axaa}{\sta{\alpha}{\bullet}\;\;\sta{\alpha'}{\bullet}}
\newcommand{\spi}{\circ \!-\! \circ \!\Leftarrow \!\bullet}
\newcommand{\spii}{\sta{\alpha_1}{\circ} \!-\! \sta{\alpha_2}{\circ} \!\Leftarrow \!\sta{\alpha_3}{\bullet}}
\newcommand{\dn}{\bullet \!-\! \circ \!- ... -\!\circ\!  <\! \raisebox{-1 ex}{$\circ$}\!\!\!\raisebox{1 ex}{$\circ$}}
\newcommand{\dnn}{\sta{\alpha_1}{\bullet} \!-\! \sta{\alpha_2}{\circ} \!- ... -\!\sta{\alpha_{n-2}}{\circ}\!  <\! \raisebox{-1 ex}{$\circ_{\alpha_{n-1}}$}\hskip -5.5ex\raisebox{1 ex}{$\circ^{\alpha_n}$}}
\newcommand{\donne}{\mapsto}

\newcommand{\End}{\mathrm{End}} \newcommand{\ens}{\mathbbm}
\newcommand{\Ens}[1]{\mbox{\Large $\mathbbm #1$}}
\newcommand{\ent}[2]{\left\{ #1 , \sus , #2 \right\}}

\newcommand{\eq}[1][r]
   {\ar@<-3pt>@{-}[#1]
    \ar@<-1pt>@{}[#1]|<{}="gauche"
    \ar@<+0pt>@{}[#1]|-{}="milieu"
    \ar@<+1pt>@{}[#1]|>{}="droite"
    \ar@/^2pt/@{-}"gauche";"milieu"
    \ar@/_2pt/@{-}"milieu";"droite"}
\newcommand{\equi}{\Leftrightarrow} \newcommand{\et}{\mathrm{\; et \;}}
\newcommand{\etc}{{\it etc}} \newcommand{\etm}{\sta{\scriptscriptstyle
-}{*}} \newcommand{\etoile}{\mbox{\ding{86}}}
\newcommand{\etp}{\sta{\scriptscriptstyle +}{*}}

\newcommand{\exist}{\exists\:} \newcommand{\existe}{\exists\:}
\newcommand{\Ext}{\soul{\mathrm{Ext}}} \newcommand{\ext}{\mathrm{Ext}}
\newcommand{\extf}{\soul{\mathrm{Ext}}}

\newcommand{\F}[1]{\left[ #1 \right]^f} \newcommand{\fini}{\mbox{ fini
}} 
\newcommand{\ff}{\mathbbm F}
\newcommand{\fl}{\rightarrow} \newcommand{\Fl}{\longrightarrow}
\newcommand{\flfl}{\raisebox{-1ex}{$\check{}$}$\hskip -.2ex\frown$\hskip -.2ex\raisebox{-1ex}{$\check{}$}}
%flèche arrondie avec 2 bouts

\newcommand{\flg}{\leftarrow} \newcommand{\Flg}{\leftarrow}
\newcommand{\fstr}{\mathscr{O}}

\newcommand{\GG}{{\mathbbm G}} \newcommand{\gamb}{\leadsto}
\newcommand{\gb}{\goth g - B} \newcommand{\GC}{{\cal GC}}
\newcommand{\gbt}{\goth g - \tilda{B}} 

\newcommand{\ggbb}{\goth g\croi\goth g-B\croi B}
\newcommand{\ggbbm}{\goth g \croi \goth g-B \croi B^-}
\newcommand{\ggbbmt}{\goth g \croi \goth g - \tilda{B} \croi
\tilda{B^-}} \newcommand{\ggbbt}{\goth g \croi \goth g-\tilda{B} \croi
\tilda{B^-}} 

\newcommand{\Gr}{\mathrm Gr}
\newcommand{\gxg}{\goth g \croi \goth g}


\newcommand{\GXG}{G \croi G} \newcommand{\GXGT}{\tilda{G} \croi
\tilda{G}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\homf}{\soul{\mathrm{Hom}}}

\newcommand{\hp}{\cdot}

%%%%%%\newcommand{\hom}{\mbox{hom}}%%%%%%%%
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ie}{\emph{i.e. }}
\newcommand{\im}{\mathrm{im\:}} \newcommand{\impliq}{\Rightarrow}
\newcommand{\Impliq}{\Longrightarrow}
\newcommand{\inc}{\hookrightarrow} \newcommand{\infi}{\infty}
\newcommand{\infra}[1]{\stepcounter{infra}\setcounter{footnote}{\value{infra}}%
\footnote{#1}}

%%%%%%%ATTENTION : RENOUVELLEMENT DE COMMANDES %%%%%%%%%%%
\renewcommand{\int}{\mathrm{int\:}}

\newcommand{\inter}{\bigcap} 
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\Inv}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\iso}{\simeq}

\newcommand{\kk}{{\mathbf{k}}}
\newcommand{\K}{\mathbbm{K}}

\newcommand{\lf}{\longrightarrow} 

\newcommand{\li}{\mathrm{Lie}}

\newcommand{\limc}[1]{\lim_{\begin{array}{c} #1 \in \C^*\\ #1 \to 0
\end{array}}}


%%%%%%%limite en l'infini%%%%%%% 
\newcommand{\limi}{\ma \lim_{a \to\infi}}



%%%%%%%limite directe%%%%%%%%

\newcommand{\limd}[1]{\lim_{\sta{\lf}{#1}}}

\newcommand{\limk}[1]{\lim_{\begin{array}{c} #1 \in \K^*\\ #1 \to 0
\end{array}}}


%%%%%%%limite projective%%%%%%%%
\newcommand{\limp}[1]{\lim_{\sta{\longleftarrow}{#1}}}


%%%%%%limite en 0%%%%%% 
\newcommand{\limz}{\ma \lim_{ a \to 0}}
\newcommand{\limzz}{\ma \lim_{ z \to 0}}
\newcommand{\loccit}{\emph{loc. cit.}}


\newcommand{\ma}{\displaystyle} %%%%%%matrices d'ordre 2, 3%%%%%%%


\newcommand{\mat}[4]{\left(
\begin{array}{cc} #1 & #2\\ #3 & #4
\end{array} \right)}


\newcommand{\Mac}[9]{\left[
\begin{array}{ccc} #1 & #2 & #3\\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9
\end{array} \right]}


\newcommand{\mac}[4]{\left[
\begin{array}{cc} #1 & #2\\ #3 & #4
\end{array} \right]}



%M\^eme symbole de note infrapaginale 
\newcommand{\mais}{\mbox{ mais
}} \newcommand{\minfra}{\addtocounter{footnote}{-1} \footnotemark}

\newcommand{\mmu}{{\bm\mu}}

\newcommand{\mod}{\mathrm{ \: mod \:}}
\newcommand{\modulo}{\mathrm{\:modulo \:}}
\newcommand{\moins}{\:\setminus\:} %mathenrelief%
\newcommand{\mr}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\newcommand{\mult}{\mbox{mult}}

\newcommand{\N}{\ens N} \newcommand{\numer}{$\mathrm N^0$}


\newcommand{\Or}{\mbox{Or, }} \newcommand{\orb}{\mathrm{orb}}
\newcommand{\ort}{\bot} \newcommand{\Ou}{\mbox{\Ou}}
\newcommand{\ou}{\mbox{ ou }} 
%%%\newcommand{\P}{{\mathbbm P}}
\newcommand{\p}{\:\:.}  
\newcommand{\PP}{\mathbbm{P}}
\newcommand{\pas}{\not\in} 
\newcommand{\phir}{\varphi}
\newcommand{\Pic}{\mathrm{Pic}} 
\newcommand{\pic}{\mathrm{pic}}
\newcommand{\plus}{\oplus} \newcommand{\Plus}{\bigoplus}
\newcommand{\priv}{\setminus}

\newcommand{\prof}{\mathrm{prof}}
\newcommand{\PSL}{\mathrm{PSL}}

\newcommand{\Q}{\ens Q}
\newcommand{\qed}{\hspace*{\fill}\nolinebreak[1]\hspace*{\fill}\underline{\bf
Q.e.d.}\\} 
\newcommand{\qq}{\forall\:}
\newcommand{\qu}{\call{Q}}


\newcommand{\R}{\ens R} 
%\newcommand{\res}[1]{\!\bigm |_{#1}}
%restriction 
\newcommand{\res}[1]{{\left | {}_{#1} \right.}}
\newcommand{\Rad}{\mathrm{Rad}}
\newcommand{\rad}{\mathrm{rad}}
\newcommand{\rat}{\mathrm{rat}}
\newcommand{\rang}{\mathrm{rang}}
\newcommand{\Rat}{\mathrm{Rat}}
\newcommand{\ratt}[1]{_{{#1}\!-\!\rat}}
\newcommand{\re}[1]{\textbf{\textsc{#1}}}%pour mettre en relief
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}


\newcommand{\rond}{\circ}

\newcommand{\saut}{\vskip 2em}
\newcommand{\se}{{\it sous-entendu }}
\newcommand{\semid}{\rtimes}
%\newcommand{\semid}{\mbox{\sf X}\!\mbox{\sf l}  }
\newcommand{\septminus}{\setminus} \newcommand{\sev}{sous-espace
vectoriel} \newcommand{\sgp}{sous-groupe \`a un param\`etre }
\newcommand{\sgps}{sous-groupes \`a un param\`etre }
\newcommand{\Si}{\mbox{ Si }} 
\newcommand{\si}{\mathrm{\;si\;}} 
\newcommand{\sinon}{\mbox{ sinon}} 
\newcommand{\SL}{\mathrm{SL}}
\newcommand{\SO}{\mathrm{SO}}

\newcommand{\Soit}{\mbox{Soit }} \newcommand{\soit}{\mbox{ soit }}
\newcommand{\soul}{\underline} 
\newcommand{\Sp}{\mathrm{Sp}}
\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}
\newcommand{\spec}{\mathrm{Spec}}
\newcommand{\specm}{\mathrm{Spec}_m}
 \newcommand{\ssi}{\mbox{ si et
seulement si }} \newcommand{\sta}{\stackrel}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\substr}{\raisebox{-1.5ex}{$\:\stackrel{\displaystyle
\subset}{\scriptstyle\not=}\:$}}
\newcommand{\supp}{\mathrm{supp}}
\newcommand{\surj}{\:\rule[.5ex]{1.5em}{0.1ex}\!\!\!\!\!\succ\!\!\!\succ
} \newcommand{\surl}{\overline}  \newcommand{\sus}{\ldots}
\newcommand{\susv}{\vdots} \newcommand{\strict}{\subset}
\newcommand{\Sym}{\mathrm{Sym}}

\newcommand{\Tens}{\bigotimes} \newcommand{\tens}{\otimes} 

%%%\tenso : produit tensoriel avec texte sous le symbole%%%%%%%

\newcommand{\tenso}[1]{\raisebox{-1.5ex}{$\ma \stackrel{\displaystyle
\tens}{\scriptstyle #1}$}} 
\newcommand{\ti}{\tilda}
\newcommand{\tilda}{\widetilde} 
\newcommand{\tiret}{-\!\!\!-}
\newcommand{\tq}{\: : \:} 
\newcommand{\tlq}{\mbox{ tel que }}
\newcommand{\tqs}{\mbox{ tels que }} \newcommand{\tqe}{\mbox{ telle
que }} 
\newcommand{\tqes}{\mbox{ telles que }} 
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}

\newcommand{\transposee}[1]{{\vphantom{#1}}^{\mathit t}{#1}}
\newcommand{\tri}{$$
\ast\;\ast\;\ast $$} 

\newcommand{\un}{\cup} 

\newcommand{\Uni}{\bigcup}

\newcommand{\uni}{\cup} 


\newcommand{\vaa}{vari\'et\'e alg\'ebrique affine }
\newcommand{\val}{\mathrm{val}}

%%%%%produit vectoriel ou ext\'erieur%%%%%%%

\newcommand{\Vect}{\bigwedge\nolimits} 

\newcommand{\vect}{\land}

\newcommand{\vide}{\emptyset}

\newcommand{\X}{{\cal X}}

\newcommand{\Y}{{\cal Y}_\R}

\newcommand{\Z}{\ens Z} \newcommand{\z}{\mbox{\bf z}}

\newcommand{\zzz}{{\mathbf{z}}}



\newcommand{\appli}[5][]{\begin{array}{ccc} #2 &
\stackrel{#1}{\longrightarrow} & #3 \\ #4 & \longmapsto & #5
\end{array}}

\newcommand{\applinom}[6][]{#2:\left\{
\begin{array}{ccc} #3 & \stackrel{#1}{\longrightarrow} & #4 \\ #5 &
\longmapsto & #6
\end{array} \right.  }

\newcommand{\quo}[2]{\raisebox{.75ex}{$#1$}\!\!\bigm
/\raisebox{-.75ex}{$\!\!#2$}}

\newcommand{\Quo}[2]{\raisebox{.75ex}{#1}\!\!\!\Bigm
/\raisebox{-.75ex}{\!\!\!#2}}

\usepackage{fancyhdr}

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%\addtolength{\evensidemargin}{-1.8cm}
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%\addtolength{\topmargin}{-1cm}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancy}
%\markboth{}%
\fancyhead[L]{L1 -- fondamentaux des mathématiques II}
\fancyhead[R]{2017-2018}
%\cfoot{\thepage - \LastPage}


\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Interrogation brève \no 1}\\[0.5cm]

durée : 15 minutes\\
\it documents, calculatrices et téléphones interdits
\end{center}
{\bf Question de cours : }\hfill {\bf 4pts }

Sur un intervalle $I$ à préciser que vaut $\mathrm{Arcsin} (\sin x)$ ?

\noindent \framebox(400,100){}
\begin{exo}\hfill {\bf 6pts}

Soient $A=\left(\begin{array}{ccc}
-1&1&3\\
2&0&4
\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
2&-3
\end{array}\right)$. 

\noindent Si c'est possible, calculer $AB$, $BA$, si c'est impossible expliquer pourquoi.



\end{exo}
\noindent\framebox(400,250){}


\newpage
\begin{exo}\hfill {\bf 10 pts (4 + 6)}
\begin{enumerate}[a) ]
\item 
Déterminer les $\lambda \in \R$ tels que la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&\lambda
\end{array} \right)$ est inversible.
\item Calculer l'inverse de la matrice $\left(\begin{array}{ccc}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&0
\end{array} \right)$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\noindent\framebox(400,420){}
\end{document}

