%
%   Math4 CC1 2019
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amscd,amstext}
\usepackage[frenchb]{babel}

\setlength{\textheight}{26.2cm}
\setlength{\textwidth}{18cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
%\setlength{\leftmargin}{-.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-1.05cm}
\setlength{\evensidemargin}{-1.05cm}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Bb}{\mathcal B}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%\renewcommand{\arraystretch}{2}

\newtheorem{exa}{Exercice}
\newtheorem{quc}{Question de cours}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}
\newenvironment{cours}{\begin{quc} \em}{\end{quc}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI L2\ UE Math4

\noindent %\hspace{-1cm}
Ann\'ee universitaire 2018/2019

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2019


\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf Corrigé du CC1 du 01.03.2019\\[2mm]
Dur\'ee : 60 min}
\end{center}
\bigskip


\begin{exo} Pour quelles valeurs de $a\in [1,2]$ 
les int\'egrales impropres suivantes sont-elles convergentes ou divergentes ? Justifier soigneusement la r\'eponse. 
$$
a)\quad \int_0^{2\pi} \frac{1-e^{-x}}{x^a} dx \qquad 
b)\quad \int_0^{+\infty} \frac{1-e^{-x}}{x^a} dx \,.
$$
\end{exo}

\bigskip
\noindent {\bf Correction : }\\
a) La fonction $f:x\mapsto \frac{1-e^{-x}}{x^a}$ est continue sur $]0,2\pi]$. Le seul problème éventuel de convergence de l'intégrale est donc au voisinage de $0$. Quand $x\to 0^+$, on peut écrire 
$$\frac{1-e^{-x}}{x^a}=\frac{1-(1+(-x)+o(x))}{x^a}=(1+o(1))\frac{1}{x^{a-1}}\,. $$
Comme $a\in [1,2]$, on obtient donc par le critère de Riemann (en $0$) que l'intégrale converge si $a-1<1$, i.e. si $a\in [1,2)$, et que l'intégrale diverge si $a=2$.\\
b) La fonction $f:x\mapsto \frac{1-e^{-x}}{x^a}$ est même continue sur $]0,+\infty[$. Les seuls problèmes éventuels de convergence de l'intégrale sont donc en $0$ et $+\infty$. L'étude au voisinage de  $0$ a été faite dans la question précédente. Maintenant, on peut écrire $f(x)=\frac{1+o(1)}{x^a}$ quand $x\to +\infty$. Comme $a\in [1,2]$, on obtient donc par critère de Riemann (en $+\infty$) que l'intégrale $\int_{2\pi}^{+\infty} f(x) dx$ converge si $a>1$ et diverge si $a=1$. Au bilan, l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} f(x) dx$ converge pour $a\in ]1,2[$ et diverge si $a$ vaut $1$ ou $2$.

\begin{exo} 
\begin{enumerate}
\item
On consid\`ere la suite de fonctions $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ donnée par $f_n(x) = e^{-|x+n|}$. 
\begin{enumerate}
\item
D\'eterminer la limite simple $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} f_n$ de la suite.
\item 
Calculer $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x) dx$ et puis $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x) dx$.
\item A-t-on l'\'egalit\'e $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x) dx= \int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle \lim_{n\to +\infty} f_n(x) dx$?
\item 
A-t-on l'\'egalit\'e $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \int_{0}^{+\infty} f_n(x) dx= \int_{0}^{+\infty} \displaystyle \lim_{n\to +\infty} f_n(x) dx$? \\
({\em La borne inf\'erieure a \'et\'e modifi\'ee}.)
\item 
D\'eterminer $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \int_{0}^{+\infty} f_n(x) dx$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip
\noindent {\bf Correction : }\\
(a) Soit $x$ {\bf fixé} dans $\mathbb{R}$. Par l'inégalité triangulaire, on a $|x+n|\ge n-|x|$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. D'où on obtient  $|x+n|\to +\infty$, $-|x+n|\to -\infty$ et $e^{-|x+n|}\to 0$ quand $n\to +\infty$, soit $\lim_{n\to +\infty} f_n(x)=0$.\\
(b) Soit $n\in \mathbb{N}$ fixé. La fonction $f_n$ est continue et strictement positive sur $\mathbb{R}$. Pour $R>0$, on a 
$$\int_{-R-n}^{R-n} f_n(x) dx=\int_{-R-n}^{R-n} e^{-|x+n|} dx\underset{y=x+n}{\underbrace{=}}\int_{-R}^{R} e^{-|y|} dy\underset{\text{parité}}{\underbrace{=}}2\int_0^R e^{-y} dy=2[-e^{-y}]_0^R=2\left(1-e^{-R}\right) \to 2$$ quand $R\to +\infty$. D'où $\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x) dx=2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ et donc $\lim_{n\to +\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x) dx=2$.\\
(c) On vérifie donc que $2=\lim_{n\to +\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x) dx\neq \int_{-\infty}^{+\infty} \underset{=~0 \text{ par (a)}}{\underbrace{\lim_{n\to +\infty} f_n(x)}}~ dx=0$.\\
(d) et (e) Pour $n$ donné dans $\mathbb{N}$ et pour tout $x\ge 0$, on a $|x+n|=x+n\ge 0$. On peut donc écrire pour $R>0$
$$\int_0^{R} f_n(x) dx=\int_0^{R} e^{-(x+n)} dx\underset{y=x+n}{\underbrace{=}}\int_n^{n+R} e^{-y} dy=[-e^{-y}]_n^{n+R}=e^{-n}(1-e^{-R})\to e^{-n} $$
quand $R\to +\infty$. D'où $\int_0^{+\infty} f_n(x) dx=e^{-n} \underset{n\to +\infty}{\to} 0=\int_{-\infty}^{+\infty} \underset{=~0\text{ par (a)}}{\underbrace{\lim_{n\to +\infty} f_n(x)}} dx$.\\
\textit{Remarque : il est aussi possible d'utiliser le théorème de convergence dominée dans la question (d) (mais pas en question (c)!), puis de déduire la question (e) de la question (a).}\\


\begin{exo}
Soit $\displaystyle F(p) = \int_1^{+\infty} \frac{e^{-px^2}}{x} dx$, $p\geq 1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle \frac{d}{dp}  \frac{e^{-px^2}}{x} = \frac{d}{dx}  \frac{e^{-px^2}}{2p}$.
%Calculer la d\'eriv\'e de $\frac{e^{-px^2}}{x}$ par rapport \`a $p$.
%\item Calculer la d\'eriv\'e de ${e^{-px^2}}$ par rapport \`a $x$.
\item D\'eterminer $F'(p)$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\bigskip
\noindent {\bf Correction : }\\
1. La fonction $f$ donnée par $f(x,p)=\frac{e^{-px^2}}{x}$ pour $p>0$ et $x>0$ est régulière sur $]0,+\infty[^2$. On peut donc calculer 
$$\frac{\partial f}{\partial p} (x,p)=\frac{1}{x}\frac{d}{dp} e^{-p x^2}=\frac{1}{x}\times \underset{\frac{d}{dp} \left(-px^2\right)}{\underbrace{(-x^2)}}\times e^{-px^2}=-x e^{-px^2}  $$
d'une part, et 
$$ \frac{d}{dx} \frac{e^{-px^2}}{2p}=\frac{1}{2p} \frac{d}{dx} e^{-px^2}=\frac{1}{2p} \times \underset{\frac{d}{dx} \left(-px^2\right)}{\underbrace{(-2px)}}\times e^{-px^2}=-x e^{-px^2} $$
d'autre part, ce qui conclut.\\
2. On a donc
$$\forall (x,p)\in [1,+\infty[^2\,,\quad 0\le \left|\frac{\partial f}{\partial p}(x,p) \right|\le x e^{-x^2}:=g(x)\,. $$
Le fonction $g$ ainsi définie ({\bf indépendante de $p$ !}) est continue sur $[1,+\infty[$ et $g(x)=o(x^{-2})$ quand $x\to +\infty$, d'où l'intégrale $\int_1^{+\infty} g(x) dx$ converge par critère de Riemann. D'où le théorème de dérivation sous l'intégrale s'applique, $F$ est dérivable et 
$$\forall p\ge 1\,,\quad F'(p)=\int_1^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial p} (x,p) dx\underset{\text{par 1}}{\underbrace{=}} \frac{1}{2p} \lim_{R\to +\infty}\int_1^{R} \frac{d}{dx} e^{-p x^2} dx=\frac{1}{2p}\lim_{R\to +\infty}\left[e^{-px^2} \right]_1^{R}=-\frac{e^{-p}}{2p}\,.$$
\end{document}
