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%   Math4 CC2 2019
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newtheorem{quc}{Question de cours}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}
\newenvironment{cours}{\begin{quc} \em}{\end{quc}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}


\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI L2\ UE Math4

\noindent %\hspace{-1cm}
Ann\'ee universitaire 2018/2019

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2019


\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf CC2 du 22.03.2019\\[2mm]
Dur\'ee : 60 minutes}
\end{center}
\bigskip

\noindent
{\em À part la feuille distribu\'ee, les documents ne sont pas
autoris\'es. Les calculatrices et t\'el\'ephones portables ne sont pas
autoris\'es. Le bar\`eme est indicatif.}
\medskip

\hrule

\begin{exo} [6 pts.]
Soient $f,H:\R\to\R$ les deux fonctions d\'efinies par :
$$\displaystyle
f(x) = \left\{\begin{array}{cl}
0 & \mbox{\rm si } x^2 > 1  \\
1-x^2 & \mbox{\rm si } x^2\leq 1
\end{array}
\right.
\qquad
H(x) = \left\{\begin{array}{cl}
0 & \mbox{\rm si } x <0   \\
1 & \mbox{\rm si } x\geq 0
\end{array}
\right.
$$
Tracer le graphe de $f$ et le graphe de $H$.
D\'eterminer $f\star H(x)$. Tracer le graphe de $f\star H$.
\end{exo}
\bigskip


\begin{exo} [3 pts.]
Soient $f(x) = x$ et $g(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}$. On rappelle que $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty g(x) dx = 1$.\\ 
D\'eterminer $f\star g$.
\smallskip

\noindent {\bf Bonus} [2 pts.]
Soit $g(x)$ une fonction continue paire qui satisfait $g(x)=0$ d\`es que $|x|\geq b$ pour une valeur réelle $b$ et $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) dx = 1$. 
Montrer que $f\star g = f$, où \(f\) est toujours la fonction définie par \(f(x)=x\).
\end{exo}
\bigskip

\begin{exo} [3 pts.]
Soit $f:\R^+\to\R$ la fonction d\'efinie par :
$$\displaystyle
f(x) = \left\{\begin{array}{cl}
0 & \mbox{\rm si } x > 1  \\
1-x^2 & \mbox{\rm si } x\leq 1
\end{array}
\right.
$$
Calculer la transformation de Laplace $\mathcal L[f]$ de $f$.
\end{exo}

\bigskip
\begin{exo} [8 pts.]
On consid\`ere l'équation diff\'erentielle sur $\R^+$ avec conditions initiales
$$ f''(t) + 2 f'(t) + f(t) = e^{-t} \qquad f(0)= 0,\: f'(0) = 2.$$
À l'aide de la transformation de Laplace, trouver la solution de cette équation.
\end{exo}

\end{document}
