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%   Math4 CC1 2019
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newtheorem{quc}{Question de cours}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}
\newenvironment{cours}{\begin{quc} \em}{\end{quc}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI L2\ UE Math4

\noindent %\hspace{-1cm}
Ann\'ee universitaire 2018/2019

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2019


\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf CC3 du 12.04.2019\\[2mm]
Dur\'ee : 60 min}
\end{center}
\bigskip

\noindent
{\em Les calculatrices et t\'el\'ephones portables ne sont pas
autoris\'es.
On apportera un soin particulier \`a la pr\'esentation. Toute r\'eponse doit \^etre justifi\'ee.}
\smallskip


\begin{exo}

Le but de cet exercice est de calculer la transform\'ee de Fourier de la fonction \(f\) d\'efinie, pour tout \(x\neq 0\), par
\[
f(x)=\frac{\sin(x)}{x}e^{-|x|}.
\]

Soit \([-1,1]\) la fonction caract\'eristique de l'intervalle \([-1,1]\), c'est-\`a-dire que
\[
\chi_{[-1,1]}(x)=
\begin{cases}
  1 & \text{si } x\in[-1,1]\\
  0 & \text{sinon.}
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la transform\'ee de Fourier de \(\frac{1}{2}\chi_{[-1,1]}\).

\item Grace \`a la formule d'inversion de la transform\'ee de Fourier, en d\'eduire la transform\'ee de Fourier de \(x\mapsto\frac{\sin(x)}{x}\).

\item Calculer la transform\'ee de Fourier de \(x\mapsto e^{-|x|}\).

\item \textbf{Question bonus :} On rappelle que si \(f_1\) et \(f_2\) sont deux fonctions de carr\'e int\'egrable, alors la transform\'ee de Fourier de leur produit est donn\'ee par \(\mathcal F[f_1f_2]=\frac{1}{2\pi}(\mathcal F[f_1])*(\mathcal F[f_2])\).

En conclure que
\[
\mathcal F[f](p)=\arctan(p+1)-\arctan(p-1).
\]
\end{enumerate}
\end{exo}


\bigskip

\begin{exo} 
Calculer la d\'eriv\'ee au sens des distributions  
\begin{enumerate}
\item du produit $\sin(x)  \chi_{\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}\left( x\right)$  
\item des produits $\sin(x) \delta_0$ et $\cos(x) \delta_0$, o\`u $\delta_0$ est la distribution de Dirac en $0$.
\item \textbf{Question bonus :} donner la d\'eriv\'ee seconde des distributions des deux questions pr\'ec\'edentes.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
