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%   Math4 CC3 2019
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\DeclareMathOperator{\sinc}{sinc}
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{quc}{Question de cours}
\newtheorem*{cor}{Corrigé}
%% \newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}
%% \newenvironment{cours}{\begin{quc} \em}{\end{quc}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI L2\ UE Math4

\noindent %\hspace{-1cm}
Ann\'ee universitaire 2018/2019

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2019


\bigskip\bigskip


\begin{center}
  {\large\bf Corrigé du CC3 du 12.04.2019}
\end{center}
\bigskip


\begin{exo}
  Le but de cet exercice est de calculer la transform\'ee de Fourier de la fonction \(f\) d\'efinie, pour tout \(x\neq 0\), par
  \[
  f(x)=\frac{\sin(x)}{x}e^{-|x|}.
  \]

  Soit \([-1,1]\) la fonction caract\'eristique de l'intervalle \([-1,1]\), c'est-\`a-dire que
  \[
  \chi_{[-1,1]}(x)=
  \begin{cases}
    1 & \text{si } x\in[-1,1]\\
    0 & \text{sinon.}
  \end{cases}
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Calculer la transform\'ee de Fourier de \(\frac{1}{2}\chi_{[-1,1]}\).

  \item Grace \`a la formule d'inversion de la transform\'ee de Fourier, en d\'eduire la transform\'ee de Fourier de \(x\mapsto\frac{\sin(x)}{x}\).

  \item Calculer la transform\'ee de Fourier de \(x\mapsto e^{-|x|}\).

  \item \textbf{Question bonus :} On rappelle que si \(f_1\) et \(f_2\) sont deux fonctions de carr\'e int\'egrable, alors la transform\'ee de Fourier de leur produit est donn\'ee par \(\mathcal F[f_1f_2]=\frac{1}{2\pi}(\mathcal F[f_1])*(\mathcal F[f_2])\).

    En conclure que
    \[
    \mathcal F[f](p)=\arctan(p+1)-\arctan(p-1).
    \]
  \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{cor}
  On pose, dans tout l'exercice, \(f_1=\sinc\), et \(f_2:x\mapsto e^{-|x|}\).
  \begin{enumerate}
  \item Soit \(p\in\R^*\).
    \begin{align*}
      \frac{1}{2}\widehat{\chi_{[-1,1]}}(p)&= \int_{\R}\frac{1}{2}\chi_{[-1,1]}(x)e^{-ixp}dx = \frac{1}{2}\int_{-1}^1e^{-ixp}dx\\
      &= \frac{1}{2}\left[\frac{e^{-ixp}}{-ip}\right]_{-1}^1= \frac{e^{ip}-e^{-ip}}{2ip} = \frac{\sin(p)}{p}.
    \end{align*}
    Le même calcul, lorsque \(p=0\), donne \(\frac{1}{2}\widehat{\chi_{[-1,1]}}(0)=1\), donc \(\frac{1}{2}\widehat{\chi_{[-1,1]}}=f_1\).
  \item La formule d'inversion de Fourier s'applique car les fonctions sont de carré intégrable : soit \(x\in\R\), alors
    \[
    \widehat{f_1}(x)=\frac{1}{2}\widehat{\widehat{\chi_{[-1,1]}}}(x)=\frac{2\pi}{2} \chi_{[-1,1]}(-x)=\pi\chi_{[-1,1]}(x).
    \]
  \item On procède à un calcul direct. Soit \(p\in\R\), alors
    \begin{align*}
      \widehat{f_2}(p)&=\int_R e^{-|x|}e^{-ixp}dx \\
      &= \int_{\R_-} e^{x(-ip+1)}dx + \int_{\R_+} e^{-x(ip+1)}dx\\
      &= \frac{1}{1-ip}\left[e^{x(-ip+1)}\right]^0_{-\infty} -\frac{1}{1+ip}\left[e^{-x(ip+1)}\right]_0^{+\infty}\\
      &= \frac{1}{1-ip} + \frac{1}{1+ip} \\
      &= \frac{2}{1+p^2}.
    \end{align*}
  \item \(f=f_1f_2\), donc, en appliquant directement la formule, pour \(p\in\R\),
    \begin{align*}
      \widehat f (p)&= \widehat{f_1f_2}(p) = \frac{1}{2\pi}\left(\widehat{f_1}*\widehat{f_2}\right)(p)\\
      &=\frac{1}{2\pi}\int_\R \pi\chi_{[-1,1]}(p-q)\frac{2}{1+q^2}dq\\
      &= \int_{p-1}^{p+1}\frac{1}{1+q^2}dq\\
      &=\arctan(p+1)-\arctan(p-1).
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{cor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo} 
  Calculer la d\'eriv\'ee au sens des distributions  
  \begin{enumerate}
  \item du produit $\sin(x)  \chi_{\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}\left( x\right)$  
  \item des produits $\sin(x) \delta_0$ et $\cos(x) \delta_0$, o\`u $\delta_0$ est la distribution de Dirac en $0$.
  \item \textbf{Question bonus :} donner la d\'eriv\'ee seconde des distributions des deux questions pr\'ec\'edentes.
  \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{cor}
  On rappelle le résultat suivant : soit $f : \R \to \R$ une fonction de classe $\mc C^1$ par morceaux avec des sauts éventuels en \(a_1,\,a_2,\,\dots,a_n\). Alors, la dérivée de la distribution associée à \(f\) est
  \[
  (T_f)' = T_{f'} +\sum_{k=1}^n (f (a_k^+)- f (a_k^- ))\delta_{a_k},
  \]
  
  où \(f'\) est la dérivée de \(f\) partout où elle existe.
  \begin{enumerate}
  \item $f(x)=\sin(x)  \chi_{\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}\left( x\right)$ est de classe \(\mc C^1\) par morceaux, elle n'est dérivable ni en \(-\pi/2\), ni en \(\pi/2\), et admet \(x\mapsto \cos(x) \chi_{\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}(x)\) comme dérivée partout ailleurs. Les sauts de la fonction \(f\) valent tous les deux \(-1\), et donc
    \[
    (T_f)'=T_{\cos \chi_{\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}} - \delta_{-1} - \delta_1.
    \]
    On répète l'argument pour calculer la dérivée seconde, mais cette fois, \(x\mapsto \cos(x) \chi_{\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}(x)\) ne présente aucun saut. Alors
    \[
    (T_f)''=-T_{\sin \chi_{\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}} - \delta'_{-1} - \delta'_1.
    \]
  \item On commence par simplifier les produits. Soit \(\varphi\) une fonction test. Alors
    \[
    (\sin\delta_0) (\varphi)=\delta_0(\sin \varphi)=\sin(0)\varphi(0)=0,
    \]
    et
    \[
    (\cos\delta_0) (\varphi)=\delta_0(\cos \varphi)=\cos(0)\varphi(0)=\varphi(0),
    \]
    donc \(\sin\delta_0=0\) et \(\cos\delta_0=\delta_0\), et on en conclut immédiatement que
    \[
    (\sin\delta_0)'=(\sin\delta_0)''=0,\quad (\cos\delta_0)'=\delta'_0, \quad (\cos\delta_0)''=\delta''_0.
    \]
  \end{enumerate}
\end{cor}

\end{document}
