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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

\begin{document}

\noindent Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ L2\ UE MATH4

\noindent Ann\'ee 2018--2019 \hfill 

\noindent Printemps 2019 \hfill
\bigskip 

\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 1 -- Int\'egrales impropres}
\end{center}
\medskip 

\begin{exo}
Calculer par int\'egration par parties ou changement de variables les int\'egrales \`a bornes suivantes~:\bigskip

$(a)\: \displaystyle \int_0^{2\pi}x\cos(x)dx, \quad (b)\: 
\int_{-\frac12}^\frac12 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$
\end{exo}

\begin{exo} Les int\'egrales impropres suivantes sont-elles convergentes ou divergentes ?
($n\in \N$, $a,b\in\R$, $a>0$).
  \begin{align*}
    &  (a)\: \int_1^\infty \frac{dx}{x^a},
    && (b)\: \int_0^\infty e^{-4t}dt,
    && (c)\: \int_0^\infty t^2e^{-t}dt,
    && (d)\: \int_0^\infty t^ne^{-t}dt, \\
    %
    &  (e)\: \int_0^\infty e^{-t^2}dt,
    && (f)\: \int_0^\infty \frac{t^5}{(t^4+1)\sqrt{t}}dt,
    && (g)\: \int_2^\infty \left(1-\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt,
    && (h)\: \int_0^1 \log(t)dt,\\
    %
    &  (i)\: \int_0^1 \sin\left(\frac{1}{t}\right)dt,
    && (j)\: \int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt,
    && (k)\: \int_0^{+\infty} \log(t)dt,
    && (l)\: \int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^n},\\
    %
    &  (m)\: \int_0^\infty e^{-bx}\sin(ax)dx,
    && (n)\: \int_0^\infty \frac{\sin(bx)}{x}e^{-ax}dx,
    && (o)\: \int_0^\pi \log(\sin(t))dt,
    && (p)\: \int_{\frac{2}{\pi}}^\infty\log\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt.
  \end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}
On rappelle qu'une fonction $f:\R\to\C$ est absolument int\'egrable (ou sommable) sur 
$\mathbb{R}$
si
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\vert f(x)\vert dx<+\infty .$$
%\begin{enumerate}
%\item 
Que peut-on dire des limites en $\pm\infty$ d'une fonction $f$ absolument int\'egrable sur $\mathbb{R}$ ?
%\item
%Si $f$ est absolument int\'egrable sur $\mathbb{R}$, que peut on dire de l'int\'egrabilit\'e absolue sur $\mathbb{R}$ de $e^{iax}f(x), a\in \mathbb{R}$ ?
%\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Soit $F:[1,+\infty[\mapsto \mathbb{R}$ une fonction born\'ee, qui est d\'erivable et de d\'eriv\'ee continue. Montrer que l'int\'egrale impropre
$$\int_1^\infty \frac{F^\prime(x)}{x}dx  $$
est convergente. En d\'eduire la convergence
de $\displaystyle \int_1^\infty \frac{\cos(x)}{x}dx$ et de  $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx.$\\
\end{exo}
\begin{exo}
Discuter selon les valeurs de $a,b\in \mathbb{R}$
la convergence de l'int\'egrale suivante~:
\[
\int_{2019}^\infty \frac{1}{(\log t)^a t^b} dt.
\]
\end{exo}
\end{document}




