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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

\begin{document}

\noindent Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ L2\ UE MATH4

\noindent Ann\'ee 2018--2019 \hfill 

\noindent Printemps 2019 \hfill
\bigskip 

\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 2 -- Int\'egrales d\'ependant d'un param\`etre}
\end{center}
\medskip 

\begin{exo}
En utilisant le th\'eor\`eme de convergence domin\'ee, calculer la limite quand $n \rightarrow \infty$ des int\'egrales suivantes~:
\begin{align*}
  &  (a)\: \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n(x)\,dx,
  && (b)\: \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^n+e^x},
  && (c)\: \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{nx+x^2}\,dx,
  && (d)\:\int_{0}^{\infty} \frac{n\,\log(1+\frac{x}{n})}{x(1+x^2)}\,dx,
  \\
  &  (e)\:\int_{-\infty}^{\infty} \left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-n}\,dx. &&&&&&
\end{align*}
\end{exo} 

\begin{exo} Pour $p>0$, soit
$$F(p) = \int_0^\infty  e^{-px}\frac{\sin x}{x}dx.$$
Le but est de calculer $F(p)$ en passant par sa d\'eriv\'ee.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'int\'egrale dans la d\'efinition de $F(p)$ est convergente pour tout $p>0$. 
\item Soit $p_0>0$. Montrer que $F'(p)$ existe pour tout $p\geq p_0$. En d\'eduire que $F'(p)$ existe pour tout $p > 0$.
\item V\'erifier, en d\'erivant, que
  \[
  \frac{p\sin x +\cos x}{1+p^2}e^{-px}
  \]
  est une primitive de $-e^{-px}\sin x$, puis calculer $F'(p)$.
 \item En d\'eduire que $F(p) = -\arctan p +C$ pour une constante $C\in\R$.
\item Montrer que $$ C = \lim_{p\to+\infty} \left(F(p) + \arctan p\right)  = \frac\pi 2.$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} D\'erivation des int\'egrales \`a param\`etres.
\bigskip

Soit $f(x)\coloneq \displaystyle \int_0^{\infty}\frac{e^{-t}\sin(tx)}{1+t^4}\,dt$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'int\'egrale définissant $f(x)$ est convergente pour tout $x\in \mathbb{R}$. 
\item Montrer que la $k$-i\`eme d\'eriv\'ee $f^{(k)}(x)$ existe pour tout $x\in \mathbb{R}$ et $k\in\mathbb N$.
%est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
\item Montrer que f v\'erifie l'\'equation diff\'erentielle : $f^{(4)}(x)+f(x)=\displaystyle\frac{x}{1+x^2}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} \'Etude de la fonction $\Gamma$ d'Euler.\bigskip

Soit $\Gamma(x)\coloneq\displaystyle\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Gamma$ est d\'efinie et continue sur $[a,b]$, pour tout $b>a>0$. En d\'eduire 
que $\Gamma$ est d\'efinie et continue sur $]0;\infty[$.
\item Montrer que $\forall x \in ]0;\infty[$, $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ et en d\'eduire $\Gamma(n+1)=n!,\,\forall n \in \mathbb{N}$.
\item %Montrer que $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $]0;\infty[$ et 
Exprimer $\Gamma'(x)$ \`a l'aide d'une int\'egrale param\'etrique.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} 
Soit $F:\R^+\times\R^+\to \R$, $\displaystyle F(x,y) = \frac1{(1+y)(1+x^2y)}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} F(x,y) dx dy$.
\item En d\'eduire que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} F(x,y) dy dx = \frac{\pi}2$.
\item Montrer que $\displaystyle F(x,y) = \frac1{x^2-1}\left(\frac{x}{(1+x^2y)} - \frac{1}{(1+y)}\right)$.
\item Montrer que $\displaystyle \int_0^{+\infty} \left(\frac{x}{(1+x^2y)} - \frac{1}{(1+y)}\right)dy = 2\ln x$.
\item En d\'eduire que $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2-1} dx = \frac{\pi}4$.
\end{enumerate} 
\end{exo}

%
%\begin{exo} Convergence uniforme.

%Soit 
%$$F(s) = \int_0^{+\infty} f(t,s) dt,\quad
%f(t,s)=e^{-st}\frac{\sin(st)}t$$  
%d\'efinie pour $s\in \R$, $s>0$. {\em On rappelle (resultat du cours) que $F(1) = \frac\pi 4$}. 
%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer les limites simples $\lim_{s\to 0} f(t,s)$ et $\lim_{s\to +\infty} f(t,s)$ pour $t>0$.  
%\item Calculer $F(s)$ pour $s>0$ (changement de variable) et d\'eterminer $\lim_{s\searrow 0} F(s)$ et $\lim_{s\to +\infty} F(s)$.
%\item En d\'eduire que la suite des fonctions $(F_n)_n$, $\displaystyle F_n(s) = \int_0^{n} f(t,s) dt$ ne converge pas {\em uniform\'ement} vers $F$ (par contre, la suite converge {\em simplement} vers $F(s)$, pourquoi?). 
%\end{enumerate} 
%\end{exo}

\end{document}




