\documentclass[11pt]{article}

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 %Macros utilisées dans la base de données d'exercices 

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\newcommand{\crofer}{]\!]}
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}
\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}

\newcommand{\un}{\chi}
 %Document 

\begin{document} 
\noindent Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ L2\ UE MATH4

\noindent Ann\'ee 2018-2019 \hfill 

\noindent Printemps 2019 \hfill
\bigskip 

\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 3 -- Produit de convolution}
\end{center}
\medskip 



% Exercice 1718


\vskip0.3cm\noindent\textsc{Exercice 1} {\it - Fonctions indicatrices (caract\'eristique).} Soit $I\subset \mathbb R$ et 
$$\un_{I}(x) = \left\{\begin{array}{cc} 1 & \mbox{si } x\in I\\ 0 & \mbox{si }x\notin I
\end{array}\right.$$
la fonction indicatrice (ou caract\'eristique) sur $I$.
\begin{enumerate}
\item On pose $I=[-\frac12,\frac12]$.
Etablir par calcul direct que $\un_{I}\star \un_{I}$ est une fonction continue, qui est lin\'eaire par morceau. Tracer son graphe.   
\item On pose $I=[-\frac12,\frac12]$.
Etablir par calcul direct que $\un_{I}\star \un_{I}\star \un_{I}$ est une fonction d\'erivable, qui est quadratique par morceau. Tracer son graphe. 
\item Soit $h(x) =  \frac{1}{\sqrt{|x|}}$ si $x\neq 0$ et $h(0)=0$.
Etablir par calcul direct que
$\displaystyle  \un_{[-1,1]}\star h$ est continue.
\end{enumerate}

% Exercice 1719


\vskip0.3cm\noindent\textsc{Exercice 2} %{\it - Deux fonctions dans $L^1_{\textrm{loc}}$.}
%\vskip0.2cm
Soit $f_a(x) = e^{ax}$. Justifier l'existence et calculer les produits de convolution pour des valeurs $a,b$ r\'eelles: \medskip

$\displaystyle (a) \:(f_a\un_{[0,+\infty[})\star(f_b\un_{[0,+\infty[}), $
\medskip

$\displaystyle
(b)\: \un_{[-a,a]} \star (f_b\un_{[0,\infty]})  , $
\medskip

$\displaystyle (c)\:
 (\un_{[-a,a]} \star f_b)\un_{[0,\infty]}  $ 
 \bigskip
%$$ \un_{[-1,1]}(x) \star  \frac{1}{\sqrt{|x|}} . $$

% Exercice 1720


% Exercice 1721


\vskip0.3cm\noindent\textsc{Exercice 3} {\it - Convolée de Gaussiennes.}
\vskip0.2cm
Pour $(m,\sigma)\in\mtr\times\mtr_+^*$, on considère la fonction $g_{m,\sigma}:\mtr\to\mtr$ définie par
$$g_{m,\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}.$$
On admet que 
$\displaystyle \frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}2}dx=1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} g_{m,\sigma}(x) dx$.
\item Montrer que $g_{p,\sigma}\star g_{q,\tau} = g_{p+q,\sqrt{\sigma^2+\tau^2}}$. 
\end{enumerate}


\end{document}
% Exercice 1722


\vskip0.3cm\noindent\textsc{Exercice 4} {\it - Quand $C^1\star C^1$ donne $C^2$...}
\vskip0.2cm
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mtr$ de classe $C^1$, bornées, et dont les dérivées sont bornées.
On suppose que $f$ et $g'$ sont dans $L^1(\mtr)$. Montrer que $f\star g$ est bien définie, et qu'elle est de classe $C^2$.


%\end{document}
% Exercice 1737


\vskip0.3cm\noindent\textsc{Exercice 6} {\it - Fonction höldérienne.}
\vskip0.2cm
Soit $f\in L^1$ à support compact et $g:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue $\alpha$-höldérienne, avec $\alpha\in ]0,1]$ :
$$\exists C>0,\ \forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ |g(x)-g(y)|\leq C|x-y|^\alpha.$$
Démontrer que $f\star g$ existe et est une fonction $\alpha$-höldérienne.


% Exercice 1733


\vskip0.3cm\noindent\textsc{Exercice 7} {\it - Convergence du taux d'accroissement.}
\vskip0.2cm
Soit $f\in L^1(\mtr)$. 
\begin{enumerate}
\item Pour $h\in\mtr$, exprimer la fonction $x\mapsto \int_x^{x+h}f(t)dt$ comme le produit de convolution de $f$ par une fonction $\alpha_h$.
\item On pose $F(x)=\int_0^xf(t)dt$, et on pose $G_h(x)=\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$. Justifier que $G_h$ converge vers $f$ dans $L^1(\mtr)$ quand $h$ tend vers 0.
\end{enumerate}
\end{document}
