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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

\begin{document}

\noindent Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ L2\ UE MATH4

\noindent Ann\'ee 2018-2019 \hfill 

\noindent Printemps 2019 \hfill
\bigskip 

\begin{center}
  {\large\bf FICHE TD 4 -- Transformation de Laplace}
\end{center}
\medskip 
\noindent
On rappelle que la transform\'ee de Laplace d'une fonction $f$ est définie, pour tout \(s\in\R\), par
$$\Ll[f](s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-st} f(t) dt. $$

\begin{exo} 
  Par un calcul explicite, trouver la transform\'ee de Laplace de
  \[
  (a)\: f(t) =te^{6t},\qquad  (b)\: f(t) =e^{-t} \sin 2t.
  \]
  En se ramenant à des r\'esultats connus, trouver la transform\'ee de Laplace de~:
  \[
  (c)\: f(t) = e^{\gamma t} \sin(\alpha t)\cos(\beta t), 
  \]
  où \(\alpha,\beta,\gamma\) sont des réels.
\end{exo} 

\begin{exo} (\emph{Valeur initiale et finale})
  Soit $f(t) = e^{\gamma t}\cos(t)$. D\'eterminer, pour $\gamma<0$, puis pour $\gamma\geq 0$,
  \[
  \lim_{s\to 0} s\Ll[f](s)\text{, et }\lim_{s\to +\infty} s\Ll[f](s),
  \]
  lorsque cela est possible.
\end{exo}

\begin{exo} (\emph{Inversion de la transformation de Laplace}) Trouver la fonction $f$ telle que 
  $\Ll[f](s) = Y(s)$, o\`u
  \[
  (a)\: Y(s) = \frac{7s-25}{s^2-7s+12},
  \quad (b)\: Y(s) = \frac{2s-5}{s^2+4s+8},
  \quad (c)\: Y(s) = \frac{s+4}{(s-2)^3},
  \quad (d)\: Y(s) = \frac{s^2-3s+3}{s^3-3s^2+4s-2}.
  \]
\end{exo}

\begin{exo} (\emph{\'Equations diff\'erentielles lin\'eaires avec conditions initiales}) En utilisant la transformation de Laplace,
  r\'esoudre pour $f$ l'\'equation
  \begin{alignat*}{3}
    &(a)\:f''(t)-3f'(t)+2f(t)=e^{3t}, &&f(0)=1,\quad &&f'(0)=0, \\
    &(b)\:f''(t)-2f'(t)+2f(t)=\cos(t),\quad &&f(0)=1, &&f'(0)=0.
  \end{alignat*}
\end{exo}

\end{document}




