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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

\begin{document}

\noindent Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ L2\ UE MATH4

\noindent Ann\'ee 2018--2019 \hfill 

\noindent Printemps 2019 \hfill
\bigskip 

\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 5 -- Transformation de Fourier}
\end{center}
\medskip 
\noindent
On rappelle que la transform\'ee de Fourier de la fonction $f:\R\to\C$ est définie par
$$\hat{f}(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ipx} f(x) dx $$
\bigskip


\begin{exo} 
  La fonction sinus cardinal, notée \(\operatorname{sinc}\), est définie par \(\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}{x}\) si \(x\neq 0\), et \(\operatorname{sinc}(0)=1\). 
Soient \(a\geq0\), et $\chi_{[-a,a]}$ la fonction indicatrice sur $[-a,a]$. 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la transform\'ee de Fourier de $\frac1{2a}\chi_{[-a,a]}$.
\item   D\'eterminer $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{sinc}(x)dx$.
\item   D\'eterminer $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{sinc}^2(x)dx$.
\item Calculer la transform\'ee de Fourier de la fonction triangle d\'efinie par 
$\dis f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
1+x&\textrm{si }\!-1\leq x\leq 0\\
1-x&\textrm{si }\: 0\leq x\leq 1\\
0&\textrm{si }\:|x|>1 \end{array}\right.$
\item
D\'eterminer $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{sinc}^4(x)dx$.
\end{enumerate}
\end{exo} 

\begin{exo} 
Soient $k_0\in \R$ et $f:\R\to\C$ une fonction absolument int\'egrable.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la transform\'ee de Fourier de $x\mapsto f(x)\cos(k_0x)$ (en termes de la transform\'ee de $f$).
\item Tracer le graphe de  la transform\'ee de Fourier de $x\mapsto \chi_{[-\frac12,\frac12]}(x)\cos(2\pi x)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} 
Soit $H(x)$ la fonction de Heavyside. 
\begin{enumerate}
\item
Calculer la transform\'ee de Fourier de $f(x) = x e^{-x} H(x)$.
\item
Calculer la transform\'ee de Fourier de $f(x) = x^n e^{-x} H(x)$.
\item
Calculer la transform\'ee de Fourier de $f(x) = x e^{-|x|}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
  Calculer la transform\'ee de Fourier de la fonction \(f\) définie par
  \[
  f(x) = \frac{\cos(\pi x)}{\pi(x-\frac12)}.
  \]
{\em Indication}: on pourra utiliser le fait que $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}2-\alpha)$.
\end{exo}


\begin{exo} On cherche une solution $f:\R\to \R$ de l'\'equation diff\'erentielle
$$ -f''(x) + f(x) = e^{-2|x|}.$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, si $f$ est solution alors $\hat f$ satisfait
$$\hat f(k) = \frac43\left(\frac1{1+k^2} - \frac1{4+k^2}\right)$$
\item En d\'eduire $f(x)$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}




