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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

\begin{document}

\noindent Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ L2\ UE MATH4

\noindent Ann\'ee 2018-2019 \hfill 

\noindent Printemps 2019 \hfill
\bigskip 

\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 7 -- Fonctions \`a une variable complexe I}
\end{center}
\medskip 

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Mettre les nombres complexes suivants sous forme polaire (aussi dite forme trigonom\'etrique) : $(1 + i )^{10}$, $(-1+i\sqrt{3})$, $10$.
\item D\'ecrire les ensembles $\{ z \in \C ; | z - \overline{z} | = 2\}$, $\{ z \in \C ; | z - 2 | = 1\}$, $\{ z+1/z: |z|=1\}$.
\item Donner l'expression de la rotation de centre 1 et d'angle $\pi/4$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} 
En v\'erifiant que la limite $\displaystyle \lim_{w\to z\atop w\neq z} \frac{f(z)-f(w)}{z-w}$ existe,
d\'eterminer si les fonctions suivantes sont holomorphes ou non:
\medskip


$\displaystyle (a)\: f(z) = z^2\: \mbox{sur } \C,\quad (b)\: f(z) = |z|^2 \: \mbox{sur } \C
,\quad \displaystyle (c)\: f(z) = \frac1{z}\: \mbox{sur } \C^*$
\end{exo}

\begin{exo} S\'eries enti\`eres.
  \begin{enumerate}
  \item D\'eterminer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty z^n$. Quelle est sa somme?
  \item D\'evelopper la fonction $\displaystyle \frac1{(1-z) ^2}$ en s\'erie enti\`ere. Quel est son rayon de convergence?
  \item (*) D\'evelopper la fonction $\displaystyle \log{(1-z)}$  en s\'erie enti\`ere autour de $0$. Ici, $\log$ est le logarithme principal et $z-1\notin \R^+$.
    Quel est son rayon de convergence?
  \item (*) Soit $a\in \C^*$. Montrer que $\displaystyle \frac1{z-a}=-\frac1{a}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{a}\right)^n$  pour tout $|z|<|a|$. Montrer que $\displaystyle \frac1{z-a}=\frac1{z}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{a}{z}\right)^n$  pour tout $|z|>|a|$. 
  \end{enumerate}
  
\end{exo}

\begin{exo} Int\'egrales le long un chemin.
\begin{enumerate}
\item Donner un lacet $\gamma$ qui trace un cercle de rayon $R>0$ autour de $0$ dans le sens direct. Puis calculer l'int\'egrale de $f(z) = \frac1{z}$ le long de $\gamma$, $\int_\gamma \frac1{z} dz$.
\item Soit $\gamma:[0,1]\to \C$ le lacet $\gamma(t) = 25 + 24 e^{2 \pi i t^2}$. 
Calculer l'int\'egrale $\int_\gamma \frac1{z} dz$.
\item Soit $\gamma:[0,3]\to\C$, $\gamma(t) = \left\{\begin{array}{cl} R e^{\pi i t} & t\in [0,1]\\
R(t-2) & t\in [1,3]\end{array}\right.$. Calculer les int\'egrales 
$\int_\gamma \frac1{z-i} dz$ et $\int_\gamma \frac1{z+i} dz$ pour $0<R<1$ et $1<R$.
\end{enumerate}   
\end{exo}


\begin{exo}
$\mathcal{C}$ est le cercle unit\'e parcouru une fois dans le sens direct. Calculer les int\'egrales suivantes:
\begin{enumerate}
\item 
$\int_{\gamma}z dz$ avec $\gamma$ param\'etrant $[0,1]$ avec $\gamma(0)=0,\gamma(1)=1$.
\item
$\int_{\mathcal{C}} z^n dz$, avec $n \in \Z$ et $\mathcal{C}$ le cercle unit\'e.

 \item $\int_{\mathcal{C}}e^{z}
dz.$
\item $\int_{\mathcal{C}}e^{z^3}dz.$
\item $\int_0^{2\pi}e^{cos(\theta)}\cos(\theta+\sin(\theta))d\theta$

\item $\int_{\mathcal{C}} \frac{f ( z )}{z}dz$
avec successivement : $f ( z ) =\cos(z) , f ( z ) = \sin(z) , f ( z ) =\frac{e^{\pi z}}{z + 2}.$
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} R\'esidus des fonctions m\'eromorphes.
D\'eterminer les p\^oles et r\'esidus des fonctions m\'eromorphes
suivantes~:

$\displaystyle (a)\: f(z) = \frac{z^2-4}{z^2-2z-3}, \quad \displaystyle (b)\: f(z) = \frac{e^z}{z^2}, \quad
\displaystyle %(c)\: f(z) = \tan(z), \quad \displaystyle 
(c)\: f(z) = \frac{z}{\sin(\pi z)}, \quad \displaystyle (d)\: f(z) = \frac{\sin(z)}{(z-1)^2}.$
\end{exo}

\end{document}

