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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

\begin{document}

\noindent Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ L2\ UE MATH4

\noindent Ann\'ee 2018--2019 \hfill 

\noindent Printemps 2019 \hfill
\bigskip 

\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 8 -- Fonctions \`a une variable complexe II}
\end{center}
\medskip 
\noindent


\bigskip


\begin{exo}
Trouver les r\'esidus $-$ en leurs p\^oles $-$ des fonctions donn\'ees:
\bigskip

$\displaystyle
(a)\:\:f(z)=\frac{z^{2}}{(z-2)(z^2+1)},\hspace{4cm} (b)\:\:g(z)=\frac{1}{z(z+2)^{3}},$
\bigskip

$\displaystyle(c)\:\:h(z)=\frac{z e^{2019 z}}{(z-3)^{2}},\hspace{5cm} (d)\:\:k(z)=\frac{z^2-2z}{(z+1)^{2}(z^2+4)}.$
\end{exo}
%
%\begin{exo}
%(a) D\'eterminer le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty z^n$. Quelle est sa somme?
%\bigskip

%(b) Developper la fonction $\displaystyle \frac1{1-z^2) $ en s\'erie enti\`ere. Quel est son rayon de convergence?

%\bigskip

%(c) Soit $a\in \C$. Developper la fonction $\displaystyle \frac1{a-z) $   en s\'erie enti\`ere.
%\end{exo}
\bigskip

\begin{exo}
Par le th\'eor\`eme des r\'esidus, calculer les int\'egrales des fonctions de l'exercice 1 le long des lacets donn\'es (le cercle $\gamma$ est toujours centr\'e sur 0 et parcouru dans le sens direct) :

\bigskip
$\displaystyle\bigskip
(a)\:\:\int_{\gamma}f(z)dz \: \:\text{avec}\:\: \gamma\:\: \text{le cercle de rayon}\:\: \frac{3}{2} \:\:\text{puis celui de rayon}\:\: 10\\
\bigskip
\indent(b)\:\:\int_{\gamma}g(z)dz \:\:\text{avec}\:\: \gamma\:\:\text{le cercle de rayon}\:\: 1 \:\:\text{puis celui de rayon} \:\:3\\
\bigskip
\indent(c)\:\:\int_{\gamma}h(z)dz \:\:\text{avec} \:\:\gamma\:\: \text{le cercle de rayon} \:\:1\:\: \text{puis celui de rayon} \:\:2019\\
\bigskip
\indent(d)\:\:\int_{\gamma}k(z)dz \:\:\text{avec}\:\: \gamma \:\:\text{le cercle de rayon}\:\:\frac{3}{2}\:\:\text{puis celui de rayon}\:\: 5
$
\end{exo}

\bigskip
\begin{exo}
En utilisant la formule des r\'esidus et en choisissant soigneusement le contour montrer 
que~:

\begin{itemize}

\item à partir d'un demi cercle de centre l'origine et de diam\`etre sur l'axe des r\'eels

\bigskip
$\displaystyle \bigskip
(a)\: \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{ 1 + x^{2} } dx=\pi,\hspace{1cm} (b)\: \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^4}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}, \hspace{1cm} (c)\: \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ e^{i px} }{ 1 + x^{2} } dx=\pi{e^{-p}} \:\:\text{pour tout $p>0$},$

\item en choisissant comme contour le bord de l'intersection d'un disque avec un cône, comme par exemple le bord de \(K=\{re^{i\theta},\ 0<r<R,\ 0<\theta<2\pi/n\}\),
  
\bigskip

$\displaystyle\bigskip
(d)\: \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^n}=\frac{\pi/n}{\sin(\pi/n)},$

\item en choisissant cette fois le bord d'un anneau de rayon intérieur \(\varepsilon\) et de rayon extérieur \(R\), duquel on a enlevé les \(\{t+iy, t\geq 0, -\varepsilon\leq y\leq \varepsilon\}\), 

  $\displaystyle\bigskip
  (e)\: \int_0^\infty \frac{1}{x^a(1+x)}dx=\frac{\pi}{\sin(\pi a)}\:\:\text{pour tout}\:\: a\in]0,1[$.
\end{itemize}


\end{exo} 

\end{document}




