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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
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\begin{document}
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%============================EN TETE===============================
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\noindent \textbf{Université Claude Bernard Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019 - 2020 \newline
Cursus prépa - Première année \vspace{-5mm}
\begin{center}
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\end{center} \vspace{-5mm}
\begin{center}
\textbf{Fondamentaux des mathématiques - DS n°1} \\
P\begin{scriptsize}ARTIE COMMUNE\end{scriptsize}  \vspace{-5mm}
\end{center}
\begin{center}
\hrulefill
\end{center}

\textit{On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. On veillera à justifier soigneusement toutes ses réponses.
Si on repère ce qui semble être une erreur d'énoncé, on le signalera sur sa copie et poursuivra la composition, en expliquant les raisons de cette initiative. \newline
Les exercices sont indépendants et peuvent donc être traités dans n'importe quel ordre. Au cours
d'un exercice, lorsqu'on ne peut pas répondre à une question, il est vivement recommandé
de poursuivre en admettant le résultat que la question demandait de démontrer.} \newline \newline

\textit{\textbf{Durée :} 1h30. Les calculatrices ne sont \textbf{pas autorisées}. Ce sujet comprend \textbf{deux pages}.}

 \vspace{10mm}  \vspace{10mm} 

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%============================EXERCICE 1 ================================
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\noindent \underline{\textbf{Exercice 1 :}}
\vspace{2mm}

Soit $f:\R\to\R$ une fonction. Formuler les propositions suivantes avec des quantificateurs et des connecteurs logiques :
\begin{enumerate}
\item \og $f$ est constante. \fg{}
\item \og $f$ n'est pas croissante. \fg{} 
\item \og $f$ est injective. \fg{}
\item \og $f$ n'est pas surjective. \fg{}
\end{enumerate}

\vspace{4mm} 


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%============================EXERCICE 2 ================================
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\noindent \underline{\textbf{Exercice 2 :}}
\vspace{2mm}

On définit la fonction $f:x\mapsto x^{-\ln(x)}$.
\begin{enumerate}
\item Pour $x>0$ et $y\in\R$, rappeler la définition de $x^y$.
\item Quel est le domaine de définition maximal pour $f$ ?
\item Donner les limites de $f$ aux bornes de ce domaine de définition.
\item Calculer la dérivée de $f$.
\item Donner le tableau de variation de $f$.
\item On définit la fonction 
\[g: \begin{array}{ccc}
	[1,+\infty[ & \to & ]0,1] \\
	x & \mapsto & f(x).
	\end{array}\]
Montrer que $g$ est bijective.
\end{enumerate}

\vspace{4mm} 


\newpage

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%============================EXERCICE 3 ================================
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\noindent \underline{\textbf{Exercice 3 :}}
\vspace{2mm}

Soit $n\in\N^*$. Exprimer les sommes suivantes en fonction de $n$ :
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle{S_1=\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1-k}\right)}$.
\item $\displaystyle{S_2=\sum_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!}}$. \textit{Indication : on pourra l'exprimer comme une somme télescopique.}
\item $\displaystyle{S_3=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (i+j)^2}$. 
\end{enumerate}
On rappelle que $\displaystyle{\sum_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)}{2}}$ et que $\displaystyle{\sum_{k=1}^n k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$.

\vspace{4mm} 


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%============================EXERCICE 4 ================================
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\noindent \underline{\textbf{Exercice 4 :}} 
\vspace{2mm}

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x\in\R\backslash\{-3,-1/2,1\}$,
\[\frac{1}{x^2+2x-3} - \frac{3}{2x^2+7x+3}=\frac{4-x}{(x-1)(x+3)(2x+1)}.\]
\item Déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que
\[\frac{1}{x^2+2x-3}\geq \frac{3}{2x^2+7x+3}.\]
\end{enumerate}


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%============================EXERCICE 5 ================================
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\noindent \underline{\textbf{Exercice 5 :}} 
\vspace{2mm}

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par : $u_0=3$, et pour tout $n\in\N$,
\[u_{n+1}=2u_n-1.\]
Donner l'expression du terme général $u_n$ pour $n\in\N$.

On pourra commencer par calculer les premiers termes de la suite, puis formuler une conjecture sur l'expression de $u_n$, et montrer cette conjecture par récurrence.


\end{document}
