
\documentclass[11pt]{article}
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
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\newcommand{\Q}{\textbf{Q}} 
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\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}
\newcommand{\partie}{\mathcal P}
\DeclareMathOperator{\card}{Card}
%\DeclareMathOperator{\cosh}{cosh}
%\DeclareMathOperator{\sinh}{sinh}
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
 \newenvironment{exo}[1][]
 {\pagebreak[3]
   \bigskip 
   \bigskip {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}               }
 {\stepcounter{exercice} \medskip}

\begin{document}
%==================================================================
%============================EN TETE===============================
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\noindent \textbf{Université Claude Bernard Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019 - 2020 \newline
Cursus prépa - Première année
%\vspace{-5mm}
\begin{center}
\hrulefill \vspace{0mm}
\end{center}
%\vspace{-5mm} 
\begin{center}
\textbf{Fondamentaux des mathématiques - DS n°2} \\
P\begin{scriptsize}ARTIE COMMUNE\end{scriptsize}  \vspace{-5mm}
\end{center}
\begin{center}
\hrulefill
\end{center}
\thispagestyle{empty}
\textit{On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. On veillera à justifier soigneusement toutes ses réponses.
  Si on repère ce qui semble être une erreur d'énoncé, on le signalera sur sa copie et poursuivra la composition, en expliquant les raisons de cette initiative.}
  
\textit{Les exercices sont indépendants et peuvent donc être traités dans n'importe quel ordre. Au cours
d'un exercice, lorsqu'on ne peut pas répondre à une question, il est vivement recommandé
de poursuivre en admettant le résultat que la question demandait de démontrer.} \newline \newline
\textit{\textbf{Durée :} 1h30. Les calculatrices ne sont \textbf{pas autorisées}. Ce sujet comprend \textbf{une page}.}

% \vspace{1mm} 

 
\begin{exo}
  \begin{tasks}
    \task Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f$ une fonction de $E$ dans $F$. Pour $A \in \partie(E)$ et $B \in \partie(F)$ rappelez la définition de $f[A] $ et de $f^{-1}[B]$.  
    \task Montrer que pour $A$ et $B$ dans $\partie(E)$ on a $(A \cup B)\subseteq (A\cap B)  \Leftrightarrow A = B$
    \task Pour $A \in \partie(E)$ on pose $f : \partie(E) \to \partie(E)$ définit si $X \in \partie(E)$ par $f(X) = X \cap A$.
    Montrer que $f$ est surjective si et seulement si $A = E$
  \end{tasks}
\end{exo}

 
\begin{exo}
Calculer les limites suivantes :
\begin{tasks}(3)
  \task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^6 - x - \ln(x)$
    \task $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x \ln (x) - e^{\sqrt x} x ^7$
  \task $\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$
  \end{tasks}

\end{exo}

\begin{exo}
  Soient $P, Q $ et $R$ trois propositions. Montrer que la proposition $(P \Rightarrow Q) \text{ et } (Q \Rightarrow R)$ est équivalente à la proposition $(P \text{ ou } Q) \Leftrightarrow (Q \text{ et } R)$
\end{exo}

\begin{exo}
  Pour les fonctions suivantes déterminer si elles sont injectives et si elles sont surjectives et le justifier :
  \begin{align*}
    &f :&  \R& \to \R &&g : & \Z \times \N^*& \to \Q &h :&&   \R^2& \to \R^2 \\
    &   & x &\mapsto \arctan(e^x - e^{-x}) &&&  (a,b)& \mapsto \frac{a}{b} &&& (x, y)& \mapsto (x + y , x- y)
  \end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $f$ la fonction défini par $x \mapsto \arcsin(2x^2 -1)$.
  \begin{tasks}
    \task Déterminer le domaine maximal de définition de $f$ ainsi que sa parité.
    \task Montrer que $f$ est dérivable sur $\left]-1, 1\right[\backslash\{0\}$ et y calculer sa dérivée. Dresser son tableau de variation.
    \task Que peut on dire de la fonction $f - 2   \arcsin $ sur $[0,1]$ ? En déduire une expression de $f$ sur $[-1,1]$.
    \task Tracer le graphe de $f$.
    \task Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0 ^-} \frac{f(x) - f(0)}{x}$. La fonction $f$ est-elle dérivable en zero ?
  \end{tasks} 
\end{exo}

\begin{exo}
  On pose la fonction suivante :
  \begin{align*}
    \Phi :  \N \times \N& \to \N \\
    (a,b) &\mapsto 2^a(2b+1)
  \end{align*}
  \begin{tasks}
    \task Montrer que $\Phi$ est injective
\task Montrer que $\Phi$ est surjective. Indication ??? 
  \end{tasks}
\end{exo}
\begin{exo}
  Soit $n \in \N$ et $(X_1, \cdots , X_n) \in \partie (E)^n$
  \begin{tasks}(1)
    \task Montrer que pour $x \in E$, on a \(\displaystyle x \in \bigcup_{i=1}^n X_i \Leftrightarrow \exists i \in \ldbrack 1, n \rdbrack , x \in X_i \)
    \task Supposons à partir de maintenant que pour tout $i$ dans $\ldbrack 1, n \rdbrack$, $X_i$ soit un ensemble fini. Montrer que $\bigcup_{i=1}^n X_i$ est fini et que $\displaystyle \card\left(\bigcup_{i=1}^n X_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \card(X_i)$
    \task Montrer que $\displaystyle \card\left(\bigcup_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \card(X_i) \Leftrightarrow \left( \forall (i, j) \in \ldbrack 1, n \rdbrack^n, i \neq j \Rightarrow X_i \cap X_j = \emptyset \right)$
    \task Soient maintenant un ensemble $X$ et  $f : X \to \ldbrack 1, n \rdbrack$. On suppose que tout élément de $\ldbrack 1, n \rdbrack$  a exactement deux antécédents par $f$. Ecrire cette propriété avec des quantificateurs.
    \task Montrer que $\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^nf^{-1}(\{i\})  $. En déduire que $X$ est fini et le cardinal de $X$ en fonction de $n$ 
  \end{tasks}
\end{exo}


\begin{exo}
  \begin{tasks}
    \task Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} = 0$
    \task Rappeler pourquoi $\forall x \geq 0, x \geq \sin(x)$ . Que se passe t-il sur $\R^-$ ?
    \task On définit la fonction $g : \R \to \R$ pour $x \in \R $ par $g(x) = \cos(x) - 1 + \frac{x^2}{2}$. Etudier les variations de $g$ pour obtenir $\forall x \in \R, \cos(x) - 1 + \frac{x^2}{2} \geq 0$. 
    \task De la même manière montrer que $\forall x \in \R, \cos(x) - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \leq 0$.
    \task En déduire la limite suivante $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}$
  \end{tasks}
\end{exo}

\newpage

%======================================================================
%============================EXERCICE 3 ================================
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\end{document}
