\documentclass[11pt]{article}
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\newcommand{\sep}{\text{\quad}}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
%==================================================================
%============================EN TETE===============================
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\noindent \textbf{Université Claude Bernard Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019 - 2020 \newline
Cursus prépa - Première année \vspace{-2mm}
\begin{center}
\hrulefill \vspace{0mm}
\end{center} \vspace{-3mm}
\begin{center}
\textbf{Fondamentaux des mathématiques - DS n°3} \\
P\begin{scriptsize}ARTIE COMMUNE\end{scriptsize}  \vspace{-5mm}
\end{center}
\begin{center}
\hrulefill
\end{center}
\textit{L'étudiant attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Il veillera à justifier soigneusement toutes ses réponses. Si un étudiant est amené à repérer ce qui peut
lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. \newline
Les exercices sont indépendants et peuvent donc être traités dans n'importe quel ordre. Au cours
d'un exercice, lorsqu'un étudiant ne peut répondre à une question, il lui est vivement recommandé
de poursuivre en admettant le résultat qui lui était demandé de démontrer.} \newline \newline
\textit{\textbf{Durée :} 1h30. Les calculatrices ne sont \textbf{pas autorisées}.}
 \vspace{5mm} \newline
%\textbf{\textit{L'exercice 5 est à compléter directement sur l'énoncé. Pensez à la rendre avec votre copie.}} \vspace{10mm}  \vspace{10mm} \newline
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%============================EXERCICE 1 ================================
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\noindent \underline{\textbf{Exercice 1 :}} \textit{Questions de cours} %\vspace{2mm} \\
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une suite convergente est bornée.
\item On considère une suite $(u_n)$ définie par une relation de récurrrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, où $f$ est une fonction réelle continue. Montrer que si $(u_n)$ converge, alors elle converge vers un point fixe de $f$.
\item Montrer que pour tous nombres complexes $z_1, z_2$, on a:
%\begin{equation*}
$\vert z_1 + z_2 \vert^{2} = \vert z_1  \vert^{2} + 2Re(z_1 \bar{z_2} ) +  \vert  z_2 \vert^{2}$.
%\end{equation*}
\end{enumerate}
%\\
\vspace{4mm} 
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%============================EXERCICE 4 ================================
%======================================================================
\noindent \underline{\textbf{Exercice 2 :}} \vspace{2mm}
Soit $z \in \mathbb{C} \setminus \lbrace 1 \rbrace$. Montrer que
$\vert z \vert = 1$  si et seulement si $\dfrac{1 + z}{1 - z}$ est imaginaire pur.

%\noindent \underline{\textbf{Exercice 2 (bis):}} \vspace{2mm}
%Pour tout nombre complexe $z \in \mathbb{C}$, on pose $P(z) = z^{4} - 1$.
%\begin{enumerate}
%\item Factoriser $P(z)$.
%\item En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(z)=0$.
%\item Déterminer les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $\left( \dfrac{2z + 1}{z - 1}\right)^{4} =1$.
%\end{enumerate}
%======================================================================
%============================EXERCICE 2 ================================
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\noindent \underline{\textbf{Exercice 3 :}} \vspace{2mm}
On considère la suite $(u_n)$ définie par 
%\begin{equation*}
$\left\lbrace  \begin{array}{ll}
u_{n+1} = e^{u_n} - 2 \, , \, \forall n \geq 0 \\
u_0 \in \mathbb{R}
\end{array} \right.$
%\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Soit $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ définie par  $f(x) = e^x - 2$. Etudier les variations de $g :\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ définie par $f(x) - x$. En déduire que $f$ admet deux points fixes $a_1$ et $a_2$ tels que $a_1 < 0 < a_2$.
\item Montrer par récurrence que si $u_0\in \lbrace a_1 , a_2 \rbrace$, la suite $(u_n)$ est stationnaire.
\item Montrer que l'intervalle $]a_1 , a_2[$ est stable par $f$ (\textit{on rappelle qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ si $f(I) \subset I$}).
\item Montrer que si $u_0 \in ]a_1 , a_2[$, alors $(u_n)$ converge vers un réel que l'on précisera.
\item Etudier la convergence de $(u_n)$ dans les cas $u_0 \in ] - \infty,a_1[$ et $u_0 \in ] a_2 , +\infty[$.
\end{enumerate}\vspace{4mm} 
%======================================================================
%============================EXERCICE 3 ================================
%======================================================================
%\noindent \underline{\textbf{Exercice 4 :}} \vspace{2mm}
%On considère l'ensemble $X = \left\lbrace \dfrac{(-1)^2}{n} + \dfrac{2}{n} \, , n \in \mathbb{N}^{\ast}\right\rbrace$.
%\begin{enumerate}
%\item Justifier que $X$ admette une borne inférieure et une borne supérieure.
%\item Montrer que $X$ admet un plus grand élément et le déterminer.
%\item Déterminer la borne inférieure et la borne supérieure de $X$.
%\end{enumerate}\vspace{4mm} 

%======================================================================
%============================EXERCICE 5 ================================
%======================================================================
\noindent \underline{\textbf{Exercice 4 :}} \vspace{2mm}

\begin{enumerate}
\item Soient $A$ et $B$ deux ensembles de cardinal fini et $f:A \longrightarrow B$ bijective. Montrer que $Card(A) = Card(B)$.
\end{enumerate}
Soit $E$ un ensemble non vide de cardinal fini $n \in \mathbb{N}^{\ast}$. On note $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$. On considère $a$ un élément de $E$, et l'application suivante:
\begin{equation*}
\begin{array}{cccl}
\varphi : &\mathcal{P}(E) &\longrightarrow & \mathcal{P}(E)\\
& X &\longmapsto & \left\lbrace \begin{array}{ll}
X \cup \lbrace a \rbrace \text{ si } a \notin X \\
X \setminus \lbrace a \rbrace \text{ si } a \in X
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation*}
\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $X \in \mathcal{P}(E)$. Déterminer $\varphi \circ \varphi(X)$.
\item En déduire que $\varphi$ est bijective et déterminer son inverse.
\end{enumerate}
On note à présent $\mathbb{P}$ le sous-ensemble de $\mathcal{P}(E)$ constitué des parties de $E$ ayant un cardinal pair et $\mathbb{I}$ celui constitué des parties de $E$ de cardinal impair.
\begin{enumerate}[resume]
%\item Montrer que pour tout $X \in \mathbb{P}$, on a $\varphi(X) \in \mathbb{I}$.
\item Montrer que $\varphi(\mathbb{P}) = \mathbb{I}$.
\item En déduire que
%\begin{equation*}
$\displaystyle{\sum_{
\scriptsize{\begin{array}{c}
q \in \mathbb{N} \\ 
2q \leq n
\end{array}
}} \begin{pmatrix}
n \\ 2q
\end{pmatrix}} = \displaystyle{\sum_{
\scriptsize{\begin{array}{c}
q \in \mathbb{N} \\ 
2q+1 \leq n
\end{array}
}} \begin{pmatrix}
n \\ 2q+1
\end{pmatrix} \, .}$
%\end{equation*}
\end{enumerate}\vspace{4mm} 

\end{document}
