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%---- Dimensions des marges ---
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
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\newcommand{\intd}{]\!]}


%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des Mathématiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no1} \\ \textsc{Révisions d'Analyse - Fonctions réelles} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
 \newenvironment{exo}[1][]
 {\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}
 
 
 
 \begin{document}
\baselineskip=0.6cm
\entete

\text{ORDRE ET INEGALIT\'ES} \vspace{5mm}

\begin{exo}
Ordonner les nombres qui suivent : $2$ ; $1$ ; $\frac{13}{15}$ ; $\frac{7}{8}$ ; $\sqrt{3}$ ; $\frac35+\tfrac23$.
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des $x\in\R$ qui vérifient $x=\sqrt{x^4}$.
\item Déterminer l'ensemble des $x\in\R$ qui vérifient $x\leq x^2$.
\item Déterminer l'ensemble des $x\in[-1,\infty[$ qui vérifient $\sqrt{1+x}=1-x$.
\item Déterminer l'ensemble des $x\in\R\setminus\left\{2,-\frac23\right\}$ qui vérifient $\dfrac{1}{x-2} < \dfrac{1-x}{3x+2}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Donner les ensembles de définition maximaux des fonctions suivantes:
\begin{enumerate}
\item $t \mapsto t^2 + t + 3 $
\item $t \mapsto \sqrt{(t-1)(t+1)}$
\item $x \mapsto \dfrac{1}{x^2 - 4x + 6} $
\item $x \mapsto \ln(x^{2}-4)$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[(*)]
  Soient \(x,\,y\in[0,1]\). Montrer que \(x^2+y^2-xy \leq 1\).
\end{exo}

\vspace{5mm} \text{PARIT\'E ET COMPOSITION} \vspace{5mm}

\begin{exo}
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ croissante telle que $\forall x \in \mathbb{R}\, , f \circ f(x) = x$. Montrer que $\forall x \in \mathbb{R} \, , \,f(x)=x$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ telle que $f(x)=\left\lbrace \begin{array}{ll} x \text{ si } x \in [0,1] \cap \mathbb{Q} \\
1 - x \text{ sinon } \end{array} \right.$.\\
Montrer que $f \circ f = id$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2} + 1$ et $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 3x - 1$. A-t-on $f \circ g  = g \circ f$ ?
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles paires. Que peut-on dire sur la parité de la somme ? du produit ? et de la composée ?
\item Etudier le cas $f$ et $g$ impaires.
\item Etudier le cas $f$ paire et $g$ impaire.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} 
\begin{enumerate}
\item Montrer que toute fonction impaire définie en $0$ vérifie $f(0)=0$.
\item Montrer que la seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle.
\item Montrer que toute fonction réelle se décompose en somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
\item Montrer que la dérivée d'une fonction paire est impaire et que la dérivée d'une fonction impaire est paire
\end{enumerate}
\end{exo}


\vspace{5mm} \text{D\'ERIVATION ET COMPOSITION} \vspace{5mm}


\begin{exo}
Calculer les dérivées des fonctions suivantes: \vspace*{5mm}\\
 $\left.\begin{array}{ccl} f: &\mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\
& x &\longmapsto \sin(x^2(x+1)) \end{array}\right.$
 \qquad   
 $\left.\begin{array}{ccl} g:&]1, + \infty[ &\longrightarrow \mathbb{R} \\
&x &\longmapsto \ln(\ln(x)) \end{array}\right.$
\qquad   
$\left.\begin{array}{ccl} h:&]-\pi/2, \pi/2[ &\longrightarrow \mathbb{R} \\
&x &\longmapsto \dfrac{1}{\cos(x)} \end{array}\right.$
\end{exo}


\begin{exo}
Retrouver les dérivées classiques des fonctions suivantes à l'aide du résultat sur la dérivation de fonctions réciproques:  \vspace*{5mm} \\
$\left.\begin{array}{ccl} f:&\mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R}  \\
&x& \longmapsto x^{1/3} \end{array}\right.$
\qquad $\left.\begin{array}{ccl} g:&]0, + \infty[ &\longrightarrow \mathbb{R} \\
&x& \longmapsto \ln{x} \end{array}\right.$
\end{exo}


\begin{exo}[(*)]
  Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables définies sur \(\R\). Montrer que pour tout entier naturel \(n\),
  \[
  (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}
    n \\ k
  \end{pmatrix}f^{(k)}g^{(n-k)},
  \]
  où \(f^{(k)}\) désigne la dérivée \(k\)-ième de \(f\).
\end{exo}


\vspace{5mm} \text{ETUDES DE FONCTIONS} \vspace{5mm}

\begin{exo} \vspace{3mm} \newline
\vspace{3mm} \textbf{PARTIE A} \vspace{3mm} 
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 1 - (x^{2} - 2x + 2) \exp(-x)$.
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $g$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
\item Calculer $g'$ et déterminer son signe.
\item En déduire le tableau de variations de $g$.
\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $ \alpha $ dans $\mathbb{R}$.
\item En déduire le signe de $g$.
\end{enumerate}
%\newline
\vspace{3mm} \textbf{PARTIE B} \vspace{3mm}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - 1 + (x^{2} + 2) \exp(-x)$.
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
\item Calculer $f'$. Dresser le tableau de variations de $f$.\\
\textit{Indication:} On pourra s'aider de la partie A
\item Démontrer que $f(\alpha) = \alpha \left(1 + 2 \exp(-\alpha)\right)$.
\item On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$. Donner une équation de la tangente $T$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.
\item Tracer $T$ puis $(\mathcal{C})$ (on admettra que $0.35 < \alpha < 0.36$ et que $0.85 < f(\alpha) < 0.86$).
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Etudier les fonctions suivantes:
\begin{enumerate}
\item $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \dfrac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$.
\item $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}$.
\item $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2} + x - \dfrac{1 + \ln(x)}{x}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\vspace{5mm} \text{INJECTIVIT\'E, SURJECTIVIT\'E, BIJECTIVIT\'E} \vspace{5mm}


\begin{exo}
Soit $f:[1,+ \infty[ \rightarrow [0,+ \infty[ \, , \, x \longmapsto x^{2} - 1$. Cette fonction est-elle bijective ?
\end{exo}

\begin{exo} 
\begin{enumerate}
\item Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives ou bijectives ?

\begin{equation*}
\left.\begin{array}{ccl} f: &\mathbb{N} &\longrightarrow \mathbb{N} \\
&n& \longmapsto n+1 \end{array}\right. \qquad  \qquad \left.\begin{array}{ccl} g:&\mathbb{Z} &\longrightarrow \mathbb{Z} \\
&n& \longmapsto n+1 \end{array}\right. \qquad  \qquad \left.\begin{array}{ccl} h:&\mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\
&x& \longmapsto x^2+1 \end{array}\right.
\end{equation*}

\item Soit $f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$.
 \begin{enumerate}
 \item $f$ est-elle injective ? Surjective ?
 \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}$, on a $f(x) \in [-1,1]$.
 \item Montrer que la restriction $g=f_{|[-1,1]}$ est une bijection.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
Soit $f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto 2x / (x^{2} + 1)$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est-elle injective ? surjective ?
\textit{Indication : pour l'injectivité, on pourra montrer que pour tous réels $u,v$, on a $f(u)=f(v) \Leftrightarrow 2(v-u)(uv-1)=0$. Pour la surjectivité, on pourra s'intéresser à l'équation $f(x)=2$.}
 \item Montrer que $f(\mathbb{R}) = [-1,1]$.
\item Montrer que la restriction $g:[-1,1] \longrightarrow [-1,1], x \longmapsto f(x)$ est une bijection.
\item Retrouver ce résultat en étudiant les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}[(*)]
  Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies de \(\R\) dans \(\R\). Étudier les assertions suivantes (en proposer une démonstration si elles sont vraies, et un contre-exemple lorsqu'elles sont fausses)
  \begin{enumerate}
  \item Si \(f\circ g\) est surjective, alors \(f\) l'est aussi.
  \item Si \(f\circ g\) est surjective, alors \(g\) l'est aussi.
  \item Si \(f\circ g\) est injective, alors \(f\) l'est aussi.
  \item Si \(f\circ g\) est injective, alors \(g\) l'est aussi.
  \item Si \(f\) est injective, alors \(f\circ g\) l'est aussi.
  \end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}

