\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article}
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%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
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\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
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\newcommand{\argth}{{\rm argth} \,}
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%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des Mathématiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no10} \\ \textsc{Continuité et dérivabilité} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
 \newenvironment{exo}[1][]
 {\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}
 
 
 
 \begin{document}
\baselineskip=0.6cm
\entete



\begin{exo}
  Soient $(a,b)\in\R^2$ tel que $a<b$, $x_0\in\ ]a,b[$ et $f:\ ]a,b[\to\R$. On suppose que $f$ est continue en $x_0$ et que $f(x_0)>0$. Montrer qu'il existe un intervalle ouvert $I$ inclus dans $]a,b[$ et contenant $x_0$, tel que $\forall x \in I$, $f(x)>0$. 
\end{exo}



\begin{exo}
  \'Etudier la continuité des fonctions suivantes sur leur domaine de définition :
  \begin{enumerate}
  \item $f:[0,2]\to\R$ définie par $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2 & \text{si } 0\leq x\leq 1 \\ 2x-1 & \text{si } 1<x\leq 2.\end{cases}$
  \item $f:\R\to\R$ définie par $f(x)=x+\frac{\sqrt{x^2}}{x}$ si $x\neq 0$, et $f(0)=1$.
  \item $f:\R_+\to\R$ définie par $f(x)=x\,E\!\left(\frac{1}{x}\right)$ si $x\neq 0$, et $f(0)=1$, où $E$ est la fonction <<partie entière>>.
  \item $f:[-2,2]\to\R$ définie par $f(x)=x^2\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$.
  \end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $f:\R\to\R$ est une fonction continue telle que
    \[
    \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\ \text{ et } \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,
    \]
    alors $f$ est surjective.
  \item Soit $P\in\R[X]$ un polynôme de degré impair. Montrer que $P$ admet une racine réelle.
  \item Donner un exemple de polynôme à coefficients réels, de degré pair, n'admettant pas de racine réelle.
  \end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
  Montrer qu'il existe $x\in \left[\frac{3\pi}{4},\pi\right]$ tel que
  \[
  \tan(x) + \frac{x}{3} = 0.
  \]
\end{exo}


\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soit $f : [0,1] \to \R$ une application continue, telle que $f([0,1]) \subset [0,1]$. Montrer que $f$ possède un point fixe.
  \item Soit $g:[0,1]\to [0,1]$ une application. On suppose que pour tout $(x,y)\in[0,1]^2$ tels que $x\neq y$, on a $|g(x)-g(y)|< |x-y|$ . Montrer que $g$ admet un unique point fixe.
  \end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soit $f:\R\to\R$ une fonction continue et périodique. Montrer que $f$ est bornée.
  \item Calculer
    \[
    \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x\left( \sin^8(x)+\cos^{14}(x) \right)}.
    \]
  \end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
  Montrer que la fonction $f:\R\to\R, \; x\mapsto x^2$ n'est pas uniformément continue.
\end{exo}



\begin{exo}
  Le but de cet exercice est de déterminer l'ensemble des applications $f : \R \to \R$ continues qui vérifient la condition 
  $$
  (*) \; : \qquad \forall (x,y) \in \R^2 , \; f(x+y)=f(x) \, f(y) \, .
  $$
  Soit $f$ vérifiant $(*)$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que : $\forall n \geq 2$, $\forall (x_1, \dots , x_n) \in \R^n$, $f(x_1 + \cdots + x_n)=f(x_1) \, \cdots \, f(x_n)$. 
  \item Quelles sont les valeurs possibles pour $f(0)$ ?
  \item On suppose qu'il existe $x_0 \in \R$ tel que $f(x_0)=0$. Que peut-on dire de $f$ ? \\
    On suppose désormais que $f$ ne s'annule pas. 
  \item Montrer qu'il existe $\alpha \in \R_+^\star$ tel que pour tout $n \in \N$, $f(n)=\alpha^n$.
  \item Montrer que : $\forall k \in \Z$, $f(k)=\alpha^k$.
  \item Montrer que : $\forall r \in \Q$, $f(r)=\alpha^r$.
  \item Conclure.
  \end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
  Soit $a\in\Z$. On définit
  $f:\R^\star\to\R,\ x\longmapsto x^a\cos\left(\frac1x\right)$.
  \begin{enumerate}
  \item À quelle condition sur $a$ la fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ?
  \item Lorsqu'il existe, à quelle condition ce prolongement est-il dérivable en $0$ ?
  \item Dans ce cas, la dérivée de $f$ est-elle continue en $0$ ?
  \end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
  Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par
  \[
  f(x)=\begin{cases}
  0 & \text{si } x=0 \\
  x + \frac{x\ln(x)}{1-x} & \text{si } 0<x<1 \\
  0 & \text{si } x=1.
  \end{cases}
  \]



  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la fonction $f$ est continue sur $[0,1]$, et dérivable sur $]0,1[$.
    \item La fonction $f$ est-elle dérivable en $0$ ? En $1$ ?
    \item Montrer qu'il existe $c\in]0,1[$ tels que $f'(c)=0$.
  \end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
  Soient un entier $n\geq 1$ et une fonction $f:\R\rightarrow \R$, $n$ fois dérivable, et telle que $f^{(n)}$ est continue. On suppose que $f$ s'annule en $n+1$ points distincts.

  Montrer que $f'$ s'annule au moins $n$ fois, puis que $f^{(n)}$ s'annule au moins une fois.
\end{exo}



\begin{exo}
  À l'aide du théorème des accroissements finis, montrer que pour tout $t>0$
  $$
  \arctan t > \frac{t}{1+t^2}.
  $$
\end{exo}



\begin{exo}
  À l'aide du théorème des accroissements finis, déterminer
  $$
  \lim_{x\rightarrow \infty} \left( (x+1)e^{\frac{1}{x+1}}-x e^{\frac{1}{x}}\right).
  $$
\end{exo}


\begin{exo}
  Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction dérivable sur $[0,1]$ telle que $f(0)=0$.
  \begin{enumerate}
  \item On suppose que pour tout $x\in[0, 1]$, on a $f'(x)\neq 0$. Montrer que $f$ est de signe constant sur $[0,1]$.
  \item On suppose de plus que $f'$ est continue sur $[0,1]$, et que $f'(x)>0$ pour $x\in[0,1]$. Montrer qu'il existe un réel $m>0$ tel que pour $x\in[0,1]$, $f(x)\geq mx$.
  \end{enumerate}
\end{exo}

 \end{document}


 %\begin{exo}
 %Soit $f:\R_+^\star\to\R$.\\
 %En quels points $a\in\R\cup\{+\infty,-\infty\}$ la fonction $f$ peut-elle admettre une limite ?
 %\end{exo}


 %\begin{exo}
 %\'Etudier l'existence d'une limite en $+\infty$ pour $f:\R\longrightarrow\R$, $x\longmapsto\sin(x)$.
 %\end{exo}


 %\begin{exo}
 %Soit $x_0\in\R$ et $f : \R \to \R$. On suppose 
 %$$
 %\exists\varepsilon_0 >0,\;\forall n\in\N^\star,\;\exists x_n\in\R,\;(\,|x_n-x_0|<\frac{1}{n}\ \textrm{ et }\ |f(x_n)-f(x_0)|\geq\varepsilon_0\,)\,.
 %$$
 %Que peut-on en conclure ?
 %\end{exo}


 %\begin{exo}
 %Soit $f:[0,1]\to\R$. Montrer que si $f$ est continue, alors
 %$$
 %\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall(x,y)\in[0,1]^2,(|x-y|\leq\delta\Longrightarrow|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon).
 %$$
 %\emph{Indication :} raisonner par contraposée et introduire des suites.
 %\end{exo}


 %\begin{exo}
 %Soit $E\in\P(\R)$ tel que
 %\begin{enumerate}
 %\item[(i)] pour tout $x\in E$, il existe $\varepsilon>0$ tel que $]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset E$ ;
 %\item[(ii)] pour tout $x\in E^c$, il existe $\varepsilon>0$ tel que $]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset E^c$.
 %\end{enumerate}
 %\begin{enumerate}
 %\item Montrer que l'application
 %$$
 %\chi_E:\R\longrightarrow\{0,1\},\ x\longmapsto
 %\left\{\begin{array}{cl}
 %1&\textrm{si }x\in E\\
 %0&\textrm{sinon}
 %\end{array}\right.
 %$$
 %est continue.
 %\item En déduire que $E=\emptyset$ ou $E=\R$.
 %\end{enumerate}
 %\end{exo}


 %\begin{exo}
 %Soit $(a,b)\in \R^2$ et $f:[a,b]\rightarrow \R$ une fonction continue. Montrer que $f$ est bornée et atteint ses bornes sur $[a,b]$.
 %\end{exo}







 %\begin{exo}
 %Soit $f:\R\to\R$ et $g:\R\to\R$ dérivables.\\
 %On pose $h=\min(\{f,g\})$, autrement dit $h:\R\to\R$, $x\longmapsto\min(\{f(x),g(x)\})$.\\
 %Soit $x_0\in\R$ tel que $f(x_0)<g(x_0)$.
 %\begin{enumerate}
 %\item Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que, pour tout $x\in]x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon[$, $h(x)=f(x)$.
 %\item En déduire que $h$ est dérivable en $x_0$.
 %\end{enumerate}
 %\end{exo}



 %\begin{exo}
 %Soit $f:[0,1]\to\R$ deux fois dérivable telle que $f''$ soit continue.\\
 %Soit $(a,b)\in[0,1]^2$ tel que $a\neq b$.\\
 %Pour tout $(\alpha,\beta)\in\R^2$, on définit $\phi_{\alpha,\beta}:[0,1]\to\R$, $x\longmapsto \alpha+\beta(x-a)$.
 %\begin{enumerate}
 %\item Montrer qu'il existe $(\alpha,\beta)\in\R^2$ tels que $f(a)=\phi_{\alpha,\beta}(a)$ et $f(b)=\phi_{\alpha,\beta}(b)$.
 %\item Montrer que si $g:[0,1]\to\R$ est une fonction deux fois dérivables qui s'annule au moins trois fois, alors $g''$ s'annule au moins une fois.
 %\item Montrer que, pour tout $x\in[0,1]\setminus\{a,b\}$, il existe $\gamma_x$ tel que $f(x)=\phi_{\alpha,\beta}(x)+\gamma_x(x-a)(x-b)$.
 %\item Montrer que, pour tout $x\in[0,1]$, on a :
 %$$
 %|f(x)-(\alpha+\beta(x-a))|\ \leq\ |(x-a)(x-b)|\ \frac12\max_{[0,1]}|f''|.
 %$$
 %\end{enumerate}
 %\end{exo}


 %\begin{exo}
 %On pose 
 %$$
 %A=\left\{\ \frac{\cos(x)-\cos(y)}{x-y}\ \middle|\ (x,y)\in\R^2,\ x\neq y\ \right\}.
 %$$
 %Montrer que $A$ possède des bornes inférieure et supérieure et les déterminer.
 %\end{exo}


 %\begin{exo}
 %\begin{enumerate}
 % \item
 %\begin{enumerate} 
 %\item Montrer que, pour tout $x>0$, on a : $e^x-1>x>0$. \\
 %\emph{Indication :} on pourra au choix étudier les variations d'une fonction bien choisie, appliquer le théorème des accroissements finis ou écrire $e^x-1$ comme une intégrale.
 %\item En déduire que si $x \geq 0$ vérifie $x(e^x-1)=x^2$, alors $x=0$.
 %\end{enumerate}
 %\item On définit $(u_n)_{n\in\N}\in(\R_+^\star)^\N$ par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{e^{u_n}-1}$.
 %\begin{enumerate}
 %\item Montrer que $(u_n)$ est décroissante.
 %\item Montrer que $(u_n)$ converge et donner sa limite.
 %\end{enumerate}
 %\end{enumerate}
 %\end{exo}


 %\begin{exo}
 %On s'intéresse à l’équation différentielle
 %\begin{equation}\label{edo}
 %x\ y'(x)\ +\ y(x)\ =\ \cos(x).
 %\end{equation}
 %\begin{enumerate}
 %\item Résoudre \eqref{edo} sur $]\,0\,,\,+\infty[$ puis sur $]-\infty\,,\,0\,[$.
 %\item Résoudre \eqref{edo} sur $\R$.
 %\end{enumerate}
 %\end{exo}


 %\begin{exo}
 %\begin{enumerate}
 %\item Montrer que l'équation (E) : $2\ln x-x+2=0$ en $x\in\R_+^*$ admet une unique solution sur $[2,+\infty [$.\\ 
 %On note $a$ cette solution. Vérifier que de plus $a\in\ ]5,6[$.
 %\item Afin de déterminer une approximation de $a$, on introduit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0=5$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\varphi (u_n)$, où $\varphi :\,[2,+\infty [ \to [2,+\infty [$, $x\mapsto 2\ln x +2$.
 %\begin{enumerate}
 % \item 
 % \begin{enumerate}
 %  \item Démontrer que, pour tout $n\in\N$, $u_n\in [5,6]$.
 %  \item Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est croissante.
 %  \item Montrer que  $(u_n)_{n\in\N}$ est convergente et que sa limite est $a$.
 %  \end{enumerate}
 %  \item 
 %  \begin{enumerate}
 %   \item Montrer que, pour tout $x\in [5,6]$, $|\varphi'(x)| \leq \dfrac{2}{5}$.
 %   \item En déduire que, pour tout $n\in\N$, 
 %   $$
 %   |u_{n+1} -a| \ \leq \ \frac{2}{5} \ |u_n-a| .
 %   $$
 %   \item Démontrer que, pour tout $n\in\N$, $|u_n-a| \leq \left( \dfrac{2}{5}\right)^n$.
 %   \end{enumerate} 
 %   \item Déterminer un entier $n$ tel que $u_n$ soit une valeur approchée de $a$ à $10^{-3}$ près.
 % \end{enumerate} 
 %\end{enumerate}
 %\end{exo}

