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%---- Dimensions des marges ---
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\Z}{\textbf{Z}}
\newcommand{\Q}{\textbf{Q}}
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\newcommand{\K}{\textbf{K}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}


%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des Mathématiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no11} \\ \textsc{Polynômes} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
\newenvironment{exo}[1][]
               {\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}
                
 
               
\begin{document}
\baselineskip=0.6cm
\entete




\begin{exo}
  Quelles sont les racines (dans $\C$, dans $\R$ et dans $\Q$) des polynômes suivants ?
  \begin{tasks}(3)
  \task $X^3- 7X^2 + 14X - 8$,
  \task $X^n-1$, où $n$ est un entier,
  \task $X^6-4$,
  \task $X^4-13X^2+36$,
  \task $X^4+6X^2+25$.
  \end{tasks}
\end{exo}


\begin{exo}
  Pour chacun des polynômes suivants, dresser la liste complète des polynômes qui le divisent dans l'anneau de polynômes précisé : 
  \begin{tasks}(2)
  \task $X+1$ dans $\R[X]$,
  \task $X^2-1$ dans $\R[X]$,
  \task $X^2+1$ dans $\C[X]$,
  \task $X^2+1$ dans $\R[X]$.
  \end{tasks}
\end{exo}


\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soit $P$ un polynôme à coefficients réels. Montrer que, pour tout $a \in \C$, on a $\overline{P(a)}= P(\overline{a})$.
  \item Soit $P,Q$ deux polynômes à coefficients complexes tels que $P(x)=Q(x)$ pour tout $x \in \R$. Montrer que $P=Q$.
  \item Soit $P \in \C[X]$ tel que $P(x) \in \R$ pour tout $x \in \R$. Montrer que $P \in \R[X]$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
  Développer $P = (X^3-X^2+1)(X^2+X+1) \in\R[X]$. En déduire une preuve que $100011$ n'est pas un nombre premier.
\end{exo}


\begin{exo}
  Soit $P$ un polynôme de \(\R[X]\), et soient $a$ et $b$ deux réels distincts. Soient $\lambda$ (respectivement, $\mu$) le reste de la division euclidienne de $P(X)$ par $X-a$ (respectivement, par $X-b$). Calculer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$. Commenter le cas $\lambda = \mu =0$.
\end{exo}


\begin{exo}
  \'Etablir les identités, pour $n \in \N^*$
  \[ X^n - 1 = (X-1)(X^{n-1}+X^{n-2} + \cdots + X + 1) ,\]
  \[ X^{2n+1} + 1 = (X+1)(X^{2n} -X^{2n-1}+X^{2n-2}- \cdots + (-1)^p X^p \cdots -X +1). \]
  En déduire les résultats suivants
  \begin{enumerate}
  \item Si le nombre de Mersenne $M_n=2^n-1$ est premier, alors $n$ est premier.
  \item Si le nombre de Fermat $F_n=2^n+1$ est premier, alors $n$ est soit nul, soit une puissance de $2$.
  \end{enumerate}
\end{exo}
 


\begin{exo}
  Pour quels entiers $n$ le polynôme $X^{2n}+X^n+1$ est-il divisible par $X^2+X+1$ dans $\R[X]$ ?
\end{exo}


\begin{exo}
  Factoriser les polynômes suivants en polynômes irréductibles
  \begin{enumerate}
  \item $X^n+X^{n-1}+ \cdots +1$ dans $\C[X]$,
  \item $X^{11}+2^{11}$ dans $\C[X]$ puis dans $\R[X]$,
  \item $X^4+4$ dans $\C[X]$ puis dans $\R[X]$, et enfin dans $\Q[X]$,
  \item $X^4-j$ dans $\C[X]$, où $j = \exp(2 i \pi/3)$.
  \item $X^8+X^4+1$ dans $\R[X]$.
  \item $X^5-1$ dans $\R[X]$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} 
  Soit $P=(X^2-X+1)^2+1$.
  \begin{enumerate}
  \item V\'erifier que $i $ est racine de $P$.
  \item  En d\'eduire alors la d\'ecomposition en produit de facteurs irr\'eductibles de $P$ sur ${\R}[X]$ et sur $\C[X]$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} 
  Soit $a \in \R$, $n \in N$, et le polynôme $P = (\cos a +X \sin a)^n\in\R[X]$. Calculer le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^2+1$.
\end{exo}



%% \begin{exo}
%%   Déterminer un polynôme $P\in \C[X]$ de degré $5$ tel que $P(X)+1$ soit divisible par $(X-1)^3$ et $P(X)-1$ soit divisible
%% par $(X+1)^3$.
%% \end{exo}


\begin{exo} 
  On rappelle que $j=e^{2i\pi/3}$.
  Soit le polynôme $P=X^8+2X^6+3X^4+2X^2+1$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $j$ est racine de ce polynôme. 
    Déterminer son ordre de multiplicité. 
  \item Décomposer $P$ en facteurs irréductibles dans $\C[X]$ et dans $\R[X]$ (on pourra utiliser judicieusement le fait que $P$ est pair).
  \end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}
  Soit le polynôme $P = X^6+ 4X^5+ 8X^4+ 10X^3 + aX^2 + 4X + 1 \in \R[X]$. On suppose que $-1$ est une racine de $P$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer $a$.
  \item Montrer que $-1$ est racine double de $P$.
  \item Montrer que $j$ est racine multiple de $P$.
  \item Factoriser $P$ en facteurs irréductibles, d'abord dans $\C[X]$ puis dans $\R[X]$.
  \end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
  Soit $\theta$ un réel, et $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Démontrer que le reste de la division euclidienne dans $\C[X]$ de $X^n \sin (\theta) -X \sin (n\theta) +\sin ((n-1)\theta)$ par $X^2 -2X \cos (\theta) +1$ est nul. Qu'en est-il dans $\R[X]$ ?
\end{exo}


\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Calculer le PGCD unitaire des polynômes $2X^4 + X^2 +X +1$ et de $X^6 - X^5 + X^4 - 2X^3 +3X^2 - 3X +1$.
  \item Montrer que les polynômes $X^4 -1$ et $X^3 + 2X^2 -X -1$ sont premiers entre eux, et établir un relation de Bézout entre eux.
  \item Soient les polynômes complexes $A = X^5-X^4+2X^3+1$ et $B = X^5+X^4+2X^2-1$. Calculer leur PGCD unitaire. En déduire une relation de Bézout entre \(A\) et \(B\). Déterminer tous les couples de polynômes $(U,V)$ vérifiant cette identité.
  \item Reprendre la question 3. avec $A = X^4-X^3+2X^2-2X+1$ et $B = X^3-X^2+2X-1$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} 
  Soit $n$ et $m$ deux entiers. Calculer le PGCD unitaire des polynômes $X^n-1$ et $X^m-1$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda, \mu$ pour que $X^2+1$ divise $X^4+X^3+\lambda X^2+\mu X+2$. 
\end{exo}


\begin{exo}
  Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, on a
  \[
  \prod_{k=0}^{n-1} (X^2-2X \cos (2 k\pi/n) +1) = (X^n-1)^2.
  \]
\end{exo}


\begin{exo}
  Soit $n\in\mathbf{N}$, $n\ge1$, et soient $z_1,\dots,z_n$ des nombres complexes (pas nécessairement distincts). On pose $e_0=1$ et, pour~$k$ compris entre~$1$ et~$n$:
  \[
  e_k=\sum_{1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n}z_{j_1}z_{j_2}\cdots z_{j_k}.
  \]
  Voici quelques valeurs des $e_k$:
  \begin{align*}
    e_0&=1,\\
    e_1&=z_1+z_2+\cdots+z_n, \\
    e_2&=(z_1z_2+z_1z_3+\cdots+z_1z_n)+(z_2z_3+\cdots+z_2z_n)+\cdots+(z_{n-1}z_n), \\
    &\vdots\\
    e_{n-1}&=z_2\cdots z_n+z_1z_3\cdots z_n+\cdots+z_1\cdots z_{n-1}, \\
    e_{n}&=z_1z_2\cdots z_n.
  \end{align*}
  %% \[
  %% e_0=1, \quad 
  %% e_1=z_1+z_2+\cdots+z_n, \quad 
  %% e_2=(z_1z_2+z_1z_3+\cdots+z_1z_n)+(z_2z_3+\cdots+z_2z_n)+\cdots+(z_{n-1}z_n),
  %% \]
  %% \[
  %% e_{n-1}=z_2\cdots z_n+z_1z_3\cdots z_n+\cdots+z_1\cdots z_{n-1}, \quad
  %% e_{n}=z_1z_2\cdots z_n.
  %% \]
  \begin{enumerate}
  \item Pour $n=2$ (resp.  $n=3$), écrire explicitement $e_1$, $e_2$ (resp. $e_1$, $e_2$, $e_3$) et montrer que
    \[
    (X-z_1)(X-z_2)=X^2-e_1X+e_2\qquad \bigl(\text{resp.}\ (X-z_1)(X-z_2)(X-z_3)=X^3-e_1X^2+e_2X-e_3\bigr).
    \]
  \item Pour $n$ quelconque, montrer que l'on a:
    \[
    \prod_{j=1}^n(X-z_j)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^ke_kX^{n-k} \ .
    \]
  \item Sachant que $2i$ et $3-i$ sont des racines de $X^3+(i+1)X^2-(8+4i)X-4+28i$, calculer la troisième racine complexe de ce polynôme.
  \item Pour $n\in\mathbf{N}$, $n\ge2$, déterminer sans calcul $\sum_{1\leq j\leq n}e^{2\pi ij/n}$ et $\sum_{1\le j<k\le n}e^{2\pi i(j+k)/n}$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} 
  Soit $P = X^4+12X-5$. Décomposer ce polynôme en facteurs irréductibles dans $\R[X]$, en sachant qu'il admet exactement deux racines réelles, et que leur somme vaut $-2$.
\end{exo}



\begin{exo}
  Quels sont les polynômes $P \in \C[X]$ tels que $P'$ divise $P$ ?
\end{exo}


\begin{exo}  
  \begin{enumerate}
  \item Factoriser le polynôme $X^2-X+1$ dans $\C[X]$.
  \item Soit $n$ un entier naturel. Montrer que $(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}$ est divisible par $X^2-X+1$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} 
  Soit $P \in \C[X]$ défini par $P = X^3+3X^2+2X+i$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer les racines du polynôme dérivé $P'$.
  \item Montrer que $P$ n'admet aucune racine réelle.
  \item Déduire des questions précédentes que $P$ admet 3 racines distinctes dans $\C$, notées $\alpha,\beta$ et $\gamma$.
  \item Calculer $\alpha+\beta+\gamma$, $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ et $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


%% \begin{exo}
%%   Factoriser le polynôme $2X^3-(5+6i)X^2+9i X +1-3i$, sachant qu'il a une racine réelle.
%% \end{exo}

%% \begin{exo}
%%   Soit $P(X)= (X+1)^n- e^{2i n a}$ (où $n \in \N$ et $a \in \R^*$)
%%   Factoriser $P$ dans $\C[X]$ 
%%   \emph{Indication: il pourra être utile d'utiliser, en le justifiant, que pour $\alpha \in \R$ on a $1-e^{i \alpha}= 2 i e^{i \alpha/2} \sin(\alpha/2)$).}
%%   En déduire la valeur de $\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} \sin \left(a+ \frac{k \pi}{n} \right)$.
%%   Combien vaut $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k \pi}{n} \right)$ ?
%% \end{exo}

\begin{exo}
  On note $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ et $\alpha_5$ les racines complexes du polynôme
  $P = X^5-29X^4+117X^3-11X^2+4X+1$. Montrer que ces nombres sont différents de 0. \'Ecrire le polynôme unitaire de degré $5$ dont les racines sont
  $1/\alpha_1, 1/\alpha_2, 1/\alpha_3, 1/\alpha_4$ et $1/\alpha_5$. 
\end{exo}


\begin{exo}
  Déterminer le PGCD unitaire de $X^5+X^4+X^3+X^2+X+1$ et de $X^4-1$, considérés comme éléments de $\Q[X]$.
\end{exo}


\begin{exo}
  Déterminer tous les polynômes de degré $3$, divisibles par $X-1$, et tels que les restes des divisions euclidiennes par $X-2$, par $X-3$ et par $X-4$ soient égaux (mais certainement non nuls).
\end{exo}


\begin{exo}
  Soit $n \in \N^*$, et considérons le polynôme à coefficients réels $P = aX^{n+1} + b X^n +c$. Peut-on choisir
  $a,b,c$ pour que $P$ admette $1$ comme racine multiple ? Quel est alors l'ordre de cette racine ?
\end{exo}


\begin{exo}
  Factoriser $X^6+X^3+1$ sous forme d'un produit de polynômes irréductibles de $\R[X]$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $n \in \N^*$. Montrer que les polynômes $\displaystyle 1+X+ \ldots + \frac{X^n}{n!}$ et $1+X+X^n$ n'ont que des racines simples dans $\C$.
\end{exo}


%% \begin{exo}
%%   Soit $n \in \N^*$. Factoriser dans $\C[X]$ les polynômes
%%   \begin{enumerate}
%%   \item $(X+1)^n-(X-1)^n$
%%   \item $ 1-X+ \frac{X(X-1)}{2}+ \ldots + (-1)^n \frac{X(X-1)\ldots(X-n+1)}{n!}$
%%   \end{enumerate}
%% \end{exo}


\begin{exo} 
  Montrer que le polynôme $P = X^{163}-24X^{57} -6$ possède au moins une racine réelle, mais ne possède pas de
  racine rationnelle.
\end{exo}


\begin{exo}
  Soient $a, b$ des réels, et $P = X^4 + 2aX^3 + bX^2 + 2X + 1$. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$
  le polynôme $P$ est-il le carré d'un polynôme de $\R[X]$ ?
\end{exo}


\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soient $p_1,p_2,p_3$ et $p_4$ quatre entiers. Trouver deux entiers $q_1$ et $q_2$ tels que $(p_1^2+p_2^2)(p_3^2+ p_4^2)=q_1^2+q_2^2$.
    \emph{(Indication : manipuler les nombres complexes $p_1+ip_2$ et $p_3+ip_4$).}
  \item Soient $P_1,P_2,P_3$ et $P_4$ quatre polynômes de $\R[X]$. En s'inspirant de la question précédente, trouver
    deux polynômes réels $Q_1,Q_2$ tels que $(P_1^2+P_2^2)(P_3^2+P_4^2)=Q_1^2+Q_2^2$.
  \item Soit $P \in \R[X]$. Montrer l'équivalence entre les deux assertions suivantes :
    \begin{enumerate}
    \item Pour tout réel $x$, on a $P(x) \geq 0$.
    \item Il existe $Q_1,Q_2$ dans $\R[X]$ tels que $P=Q_1^2+Q_2^2$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
  Déterminer tous les polynômes $P$ vérifiant les relations suivantes :
  \begin{tasks}(2)
  \task $P(X^2+1)=P(X)$,
  \task $P(2X+1)=P(X)$,
  \task $(1-X)P'(X)-P(X) = X^n$, où $n \in \N$,
  \task $P'(X)^2 = 4P(X)$,
  \task $P(P(X))=P(X)$.
  \end{tasks}
\end{exo}


%% \begin{exo}
%%   Dans cet exercice, on cherche à déterminer tous les polynômes $P \in \R[X]$ tels que $P(0)=0$ et $P(X^2+1)=P(X)^2+1$. Soit $P$ un tel polynôme.
%%   \begin{enumerate}
%%   \item On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=0$, et $u_{n+1}=u_n^2+1$ pour tout $n \in \N$. Montrer que $P(u_n)=u_n$ pour tout $n \in \N$.
%%   \item En déduire la valeur de $P$.
%%   \end{enumerate}
%% \end{exo}


\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soient $P_1, P_2$ et $Q$ trois polynômes. Montrer que $P_1-P_2$ divise $Q(P_1)-Q(P_2)$.
  \item Soit $P$ un polynôme. Montrer que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-X$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} {\bf (Polynômes de Tchebychev)}
   On considère la suite de polynômes $P_n$ définie par $P_0=1$, $P_1=X$, et pour $n \in \N$,
   \[
   P_{n+2} = 2 X P_{n+1} -P_n.
   \]
   \begin{enumerate}
   \item Préciser $P_2,P_3,P_4$.
   \item Déterminer le terme de plus haut degré de $P_n$.
   \item \'Etudier la parité de $P_n$.
   \item Montrer que pour tout $n \in \N$ et $\theta \in \R$, on a $P_n(\cos \theta) = \cos (n \theta)$. 
   \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} 
  Soit $P$ un polynôme réel scindé à racines simples.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $P'$ est aussi scindé à racines simples.
  \item Montrer que si $a$ et $b$ sont respectivement la plus petite et la plus grande racine de $P$ alors les racines de $P'$ sont comprises entre $a$ et $b$.    
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} 
  Soit $P $ et $Q$ deux polynômes rationnels.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $P | Q$ dans $\Q[X]$ si, et seulement si $P | Q$ dans $\C[X]$.
  \item Montrer que $P$ et $Q$ ont le même PGCD considérés comme polynômes à coefficients dans $\Q$ ou dans $\C$.
  \item Montrer que si $P$ est irréductible dans $\Q[X]$ alors $P$ et $P'$ sont premiers entre eux (on dit alors que $\Q$ est un \emph{corps parfait}).
  \end{enumerate}
\end{exo}
     


\end{document}

