\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article}
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%---- Dimensions des marges ---
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
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\newcommand{\C}{\textbf{C}}
\newcommand{\K}{\textbf{K}}
\newcommand{\dsp}{\displaystyle}
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\newcommand{\intd}{]\!]}

%---- Modifications de symboles -----
\newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des math\'ematiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no2} \\ \textsc{Récurrence, sommes et produits} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
 \newenvironment{exo}[1][]
 {\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}



 \begin{document}
\baselineskip=0.6cm
\entete




\begin{exo}
 Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite d\'efinie par $u_0=1$ et:
 \[
  \forall n\in\N, \ u_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n+4n+6)
 \]
D\'emontrer que  pour tout $n \in \N$, $\dsp u_n=2n+\frac{1}{3^n}$.
%Calculer les premiers termes de la suite, \'emettre une conjecture sur l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et d\'emontrer cette conjecture par r\'ecurrence.
\end{exo}

\begin{exo}
 Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite d\'efinie par $u_0=1$ et:
 \[
  \forall n\in\N, \ u_{n+1} = \frac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}}
 \]
%D\'emontrer que  pour tout $n \in \N$, $\dsp u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$.
Calculer les premiers termes de la suite, \'emettre une conjecture sur l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et d\'emontrer cette conjecture par r\'ecurrence.
\end{exo}

\begin{exo}[(*)]
  Soit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par récurrence par $u_0 = 1$, et, pour $n \in \N$, par
  \[
  u_{n+1} = 4u_n +9.
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $\R$ tel que la suite $(v_n)_{n\in\N} = (u_n - \lambda )_{n\in\N}$ soit une suite g\'eometrique.
    \item En d\'eduire une expression de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.
  \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
  Calculer le terme g\'en\'eral des suites d\'efinies par r\'ecurrence suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item $u_0 = 2$ et pour $n \in \N$ par $u_{n+1} = u_n^3$
  \item $v_0 = 3$ et pour $n \in \N$ par $v_{n+1} = 2v_n^3$
  \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer par r\'ecurrence les assertions suivantes:
\begin{enumerate}
 \item Pour tout $n \in \N$, $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est un multiple de 7.
 \item Pour tout $n \in \N^*$, $3^{2n}+2^{6n-5}$ est un multiple de 11.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\'Ecrire \`a l'aide du symbole $\sum$ les expressions suivantes:
\begin{multienumerate}
 \mitemxx{\quad $3^4+3^5+3^6+...+3^{15}$}{\quad $\frac 12 +\frac 24 +\frac 38 +\frac{4}{16}+...+ \frac{10}{1024}$}
 \mitemxx{\quad $x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+\frac{x^n}{n}$}{\quad $2-4+6-8+...+50$}
\end{multienumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
\label{exo4}
Montrer par r\'ecurrence les propri\'et\'es suivantes:
\begin{multienumerate}
 \mitemxx{\quad $\forall n\in\N^*$, $\dsp \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$}{\quad $\forall n\in\N^*$, $\dsp \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$}
 \mitemxx{\quad $\forall n\in\N^*$, $\dsp \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$}{\quad $\forall n \geq 4$, $2^n\leq n!$ (avec $n!=1\times2\times3\times...\times n$ pour $n\in\N^*$)}
\end{multienumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[\bf (Formule du bin\^ome de Newton)]

\begin{enumerate}
%\item Soit $n\in\N^*$, $p\in\intg0,n\intd$ et $E$ un ensemble à $n$ éléments.
%\begin{enumerate}
% \item On rappelle qu'un \emph{arrangement} de $p$ éléments de $E$ est un $p$-uplet d'éléments distincts de $E$. Calculer $\textrm{A}_n^p$, le nombre d'arrangements de $p$ éléments de $E$.
% \item Une \emph{permutation} de $E$ est un arrangement de $n$ éléments de $E$. Déduire $\textrm{A}_n^n$, le nombre de permutations de $E$, de la question précédente.
% \item Vérifier l'égalité $\textrm{A}_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}$ et en donner une interprétation combinatoire. On notera que l'on retrouve bien $\textrm{A}_n^0=1$. 
% \item On note $\textrm{C}_n^p$ ou $\binom{n}{p}$ le nombre de parties à $p$ éléments de $E$. Démontrer que 
% $$
% \binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}
% $$
% puis calculer $\binom{n}{0}$ et $\binom{0}{0}$.
% \end{enumerate}
\item Pour $n\in\N$ et $p\in\intg0,n\intd$, on note (avec la convention $0!=1$):
$$
\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}.
$$
Calculer $\binom{0}{0}$, $\binom{n}{n}$ et $\binom{n}{0}$ pour $n\in\N$.
\item  Formule du bin\^ome de Newton.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0\leq p\leq n$ :
$$\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}.$$
\item {\bf Triangle de Pascal.} Montrer que, pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $1\leq p \leq n-1$, on a
$$
\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}.
$$
\item 
Montrer la formule du bin\^ome de Newton: pour tout $(a,b)\in\R^2$ et tout $n\in\N$,
$$
(a+b)^n\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\,a^k\,b^{n-k}\ .
$$
\end{enumerate}
\item Mise en pratique.
\begin{enumerate}
\item 
Soit $n\in\N^*$. Simplifier les sommes $\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$ et  $\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k$. 
\item Montrer que pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $1\leq p \leq n$ :
\[
 p\binom{n}{p}= n\binom{n-1}{p-1}.
\]
\item En d\'eduire la somme $\dsp \sum_{k=1}^n k\,\binom{n}{k}$ pour $n\in\N^*$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[\bf (Factorisation de $a^n-b^n$)]\\
Montrer que, pour tout $(a,b)\in\R^2$ et tout $n\in\N^*$,
$$
a^{n}-b^{n} = (a-b)\times \sum_{k=0}^{n-1}\,a^k\,b^{n-1-k}\ .
$$
\end{exo}

\begin{exo}
 Soit $x\in\R$ et $n\in\N^*$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $\dsp S_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,x^k$.
  \item En d\'eduire la valeur de $\dsp T_n(x)=\sum_{k=1}^n k\,\binom{n}{k} \,x^k$.
  \item Retrouver la valeur de $\dsp\sum_{k=1}^n k\,\binom{n}{k}$ pour $n\in\N^*$.
 \end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}
Calculer les sommes suivantes. On pourra admettre les r\'esultats de l'exercice 7.
\begin{multienumerate}
 \mitemxxxx{\quad $\dsp \sum_{k=5}^{11} k$}{\quad $\dsp \sum_{i=2}^{10} (3+5i)$}{\quad $\dsp \sum_{k=5}^{11} \frac{2^{k+1}}{3^{k-1}}$}{\quad $\dsp \sum_{i=2}^{10} \frac{48}{2^i}$}
 \mitemxxxx{\quad $\dsp \sum_{k=1}^{n} (2k+1)$}{\quad $\dsp \sum_{k=1}^n (-1)^k$}{\quad Pour $n\geq 3$, $\dsp \sum_{k=3}^{n} \, 5$}{\quad $\dsp \sum_{k=1}^{n} (3k^2+2k+1)$}
 \mitemxxxx{\quad $\dsp \sum_{k=1}^{n} k(2k^2-1)$}{\quad $\dsp \sum_{k=1}^{n} 5^{2k}$}{\quad $\dsp \sum_{k=1}^{n} (2^k+k^2+1)$}{\quad $\dsp \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k}{4^{k+1}}$}
 \end{multienumerate}
 \end{exo}

\begin{exo}
 Calculer les produits suivants:
\begin{multienumerate}
 \mitemxxx{\quad $\dsp \prod_{k=0}^n\,3$}{\quad $\dsp \prod_{k=0}^n (2k)$}{\quad $\dsp \prod_{k=0}^n (2k+1)$}
 \mitemxxo{\quad $\dsp \prod_{k=0}^n q^{k}$}{\quad $\dsp \prod_{k=0}^n q^{2^k}$}
\end{multienumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[\bf (Sommes et produits t\'elescopiques)]
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item D\'eterminer deux r\'eels $a$ et $b$ tels que pour tout $k\in\N$, $\dsp \frac{1}{(k)(k+1)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}$.
 \item Simplifier, pour tout $n\in\N^*$, la somme
 $\dsp
  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}.
 $
 \item En d\'eduire la limite de la suite
  $\dsp \Big( 
  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}\Big)_{n\in\N^*}
 $ lorsque $n\to+\infty$. 
 \end{enumerate}
 \item Calculer $\dsp \sum_{k=1}^n \ln\Big(1+\frac 1k\Big) $.
 \item Calculer $\dsp \prod_{k=2}^n \Big(1-\frac{1}{k^2} \Big)$.
 \item Calculer $\dsp \sum_{k=0}^n k \times k!$
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}[(*)]
Pour tout \(n\in\N^*\) et \(x\in\R\), on définit 
\[P_n(x)=\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{x}{k}\right).\]
 \begin{enumerate} 
 	\item Pour \(n\in\N^*\), que valent \(P_n(0),P_n(1),P_n(-n)\) ?
 	\item Montrer que pour tout \(x\in\R^*\), on a \[P_n(x)=\frac{x+n}{x}P_n(x-1).\] 
 	\item Pour tout \(k\in\N^*\), écrire \(P_n(k)\) comme un coefficient binomial.
 \end{enumerate} \end{exo}


\begin{exo}[\bf (Sommes doubles)]\\
Calculer les sommes suivantes:
\begin{multienumerate}
 \mitemxxx{\quad $\dsp \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=i}^n \frac{1}{j} \right)$}{\quad $\dsp \sum_{1\leq i,j \leq n} ij$}{\quad $\dsp \sum_{1\leq i \leq j \leq n} ij$}
\end{multienumerate}
\end{exo}



\end{document}
