\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[english,francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ae}
\usepackage{aeguill}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm,graphicx}

%\usepackage{textcomp}

%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}


%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}


%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des Math\'ematiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no3} \\ \textsc{Logique et raisonnement} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
 \newenvironment{exo}[1][]
 {\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}
 \begin{document}
\baselineskip=0.6cm
 \entete
\begin{exo}
\begin{itemize}\item[1.\bf{Vrai-faux.}]Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
\begin{enumerate}
\item
$(6 < \frac{25}{4}) \Rightarrow (\sqrt{6} < \frac{5}{2})$.
\item $(2=3) \Rightarrow (4$ est un nombre pair).
\item $(2=3) \Rightarrow (3=4)$.
\item $\forall x\in\R,\,((x\leq0)\Rightarrow(x-1<0))$.
\item Pour tout r\'eel $x$, on a $x\leq0$ donc $x-1<0$.
\end{enumerate}
\item[2. \bf{Analyse-synth\`ese.}]~
\\
 1. Déterminer les réels $x$ tels que $\sqrt{x(x-3)}=\sqrt{3x-5}$.\\
2. Déterminer les réels $x$ strictement positifs tels que $x^{(x^x)}=(x^x)^x$.
\end{itemize}
\end{exo}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Soit $P$, $Q$ et $R$ trois propositions. Donner la n\'egation des propositions qui suivent.
\begin{enumerate}
\item $(P\textrm{  et  }Q)\Longrightarrow R$.
\item $P\textrm{  et  }(\textrm{non}(Q)\textrm{  ou  }R)$.
\end{enumerate}
\item Montrer que les propositions qui suivent sont fausses.
\begin{enumerate}
\item $\forall (x,y)\in\R^2,\,(xy\neq0\textrm{  et  }x\leq y)
\Longrightarrow
\left(\displaystyle{\frac1y\leq\frac1x}\right)$.
\item $\exists x\in\R, \left((x\leq0)
\textrm{  et  }
\left((\sqrt{x^2}\neq -x)\textrm{  ou  }((x+1)^2>x^2+1)\right)\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item {\bf Contrapos\'ee.} Montrer que, pour toutes propositions $P$ et $Q$,
$$
\left(P\Rightarrow Q\right)
\Longleftrightarrow
\left(\textrm{non}(Q)\Rightarrow \textrm{non}(P)\right).
 $$
\item Montrer que, pour tous r\'eels $x$ et $y$,
$\left(x\neq y\right)\Longrightarrow\left((x+1)(y-1)\neq(x-1)(y+1)\right)$.
\item Soit $n$ un entier naturel. Montrer que si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer la {\bf transitivit\'e} de l'implication, c'est-\`a-dire que, pour toutes propositions $P$, $Q$ et $R$,
$$
\left((P\Rightarrow Q)\;\textrm{et}\;(Q\Rightarrow R) \right)
\Longrightarrow
\left(P\Rightarrow R\right).
 $$
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout r\'eel $x$, $(x^2-5x+6\leq0)\Longrightarrow (2\leq x\leq3)$.
\item Montrer que, pour tout r\'eel $x$, $(x^2-5x+6\leq0)\Longrightarrow ((x-1)(10-x^2)\geq0)$.
\end{enumerate}
\item Soit $P$, $Q$ et $R$ trois propositions. D\'emontrer que
$$
(P\Leftrightarrow Q)\textrm{  et  }
(Q\Leftrightarrow R)\textrm{  et  }
(R\Leftrightarrow P)
$$
\'equivaut \`a
$$
(P\Rightarrow Q)\textrm{  et  }
(Q\Rightarrow R)\textrm{  et  }
(R\Rightarrow P).
$$
\item Soit $(x_0,y_0)\in\R^2$. Montrer que sont \'equivalents:
\begin{enumerate}
\item $\forall t\in\R,\ x_0^2+y_0^2\leq (t-x_0)^2+(-t-y_0)^2$;
\item $x_0-y_0=0$;
\item $\forall t\in\R,\ x_0\,t+y_0\,(-t)\leq 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item {\bf Absurde.} Montrer que, pour toutes propositions $P$ et $Q$,
$$
\left(P\Rightarrow Q\right)
\Longleftrightarrow
\textrm{non}\left(P\textrm{  et  }\textrm{non}(Q)\right).
$$
\item Montrer que, pour tout r\'eel $x$,
$\left(-x^4+x^3+x-11\leq0\right)\Rightarrow\left(-x^4+x^3-9<0\right)$.
\item Soit $\mathcal P=\{2k ;\; k\in \Z\}$ et $\mathcal I=\{2k+1 ; \; k \in \Z\}$ les ensembles formés respectivement des entiers pairs et impairs. Montrer que $\mathcal P \cap \mathcal I=\emptyset$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour toutes propositions $P$, $Q$ et $R$,
$$
\left(P\Rightarrow(Q\textrm{  ou  }R)\right)
\Longleftrightarrow
\left((P\textrm{  et  }\textrm{non}(Q))\Rightarrow R\right).
$$
\item Montrer que, pour tout r\'eel $x$,
$\left(x^3+x^2-x-1>0\right)
\Rightarrow
\left((x\leq -1)\textrm{  ou  }(x^4>1)\right)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ et $y$ deux nombres r\'eels. Nier la proposition
$$
(x=2) \; \mbox{et} \; \left((x+y=5) \; \mbox{ou} \; (y \geq 3)\right).
$$
\item Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$. Nier
$$
\forall x\in\R,\forall\varepsilon>0,\exists\eta>0,\forall y\in\R,
((|x-y|<\eta)\Rightarrow(|f(x)-f(y)|<\varepsilon)).
$$
\item Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ et $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de telles fonctions. Nier
$$
\forall\varepsilon>0,\exists N\in\N,\forall x\in\R,\forall n\in\N,
((n\geq N)\Rightarrow(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon)).
$$
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Examiner la v\'eracit\'e des propositions qui suivent.

$
    1. \ \forall x \in \R, \ (\forall \varepsilon > 0, x \leq \varepsilon) \Rightarrow x \leq 0. \quad 2. \ \forall x \in \R, \ \forall \varepsilon > 0, (x \leq \varepsilon \Rightarrow x \leq 0).\\
    \quad 3. \ \forall x \in \R, \ (\forall \varepsilon > 0, |x| \leq \varepsilon) \Rightarrow x = 0.\\
    4. \ \mbox{Pour tout intervalle ouvert} \ I \ \mbox{born\'e, on a :}  \ \forall x \in I,\  \exists \varepsilon >0, \ ]x-\varepsilon, x+ \varepsilon[ \subset I. \\
    5. \ \mbox{Pour tout intervalle ouvert} \ I \ \mbox{born\'e, on a :}  \  \exists \varepsilon >0, \ \forall x \in I, \ ]x-\varepsilon, x+ \varepsilon[ \subset I. \\
6. \  \forall (x,y) \in (\R^*)^2,
 \ \left(x \leq y \Rightarrow \displaystyle{\frac{1}{y} \leq \frac{1}{x}}\right). \quad
 7. \ \forall (x,y) \in (\R_-^*)^2, \ \left(x \leq y \Rightarrow \displaystyle{\frac{1}{y} \leq \frac{1}{x}}\right).
$\end{exo}


\begin{exo} 
1. \ \'Ecrire l'\'enonc\'e qui traduit ``La suite $(u_n)_{n \in \N}$ n'est pas croissante''.
\\
\indent 2. \ Cet \'enonc\'e est-il \'equivalent \`a ``La suite $(u_n)_{n \in \N}$ est d\'ecroissante'' ?
\end{exo}

\begin{exo}

1. \ Soit $n \in \N^*$ et $ (x_1, \cdots, x_n)\in (\R^+)^n.$

Montrer que si $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i= 0}, $ alors, pour tout $i \in [[1,n]],$ \ on a $x_i = 0.$

2. \ Soit $x \in \R^*, n \in \N^*$ et $ (x_1, \cdots, x_n)\in (\R^+)^n$
tel que $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i= x.}$

Montrer qu'il existe   $i \in [[1,n]],$  tel que $x_i \leq \displaystyle{\frac{x}{n}}.$
\end{exo}


\begin{exo} Compl\'eter, lorsque c'est possible, avec $\forall$ ou $\exists$ pour obtenir les \'enonc\'es vrais les plus forts.
\[\begin{array}{lll}
1. \ \dots\,x \in \R,  \ (x+1)^2=x^2+2x+1. &
2. \ \dots\,x \in \R, \ x^2+3x+2=0. &
3. \ \dots\,x \in \R, \ 2x+1=0.\\
4.\ \dots\,x \in \N, \ x \leq \pi. &
5. \ \dots\,x \in \R, \ x^2+2x+3=0. &
6. \ \dots\,x\in\emptyset, \  2=3.
\end{array}\]
\end{exo}

\begin{exo}
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Lorsqu'elles sont fausses, \'enoncer leur n\'egation.
\[
\begin{array}{lll}
1. \ \exists x \in \N, \ x^2 >7.
& 2. \ \forall x \in \N, \ x^2 >7. &
3. \ \forall x \in \N , \ \exists y \in \N, \ y >x^2.\\
4. \ \exists y \in \N,\ \forall x \in \N, \  y >x^2. &
5. \ \forall (x,y) \in \Z^2, \ ((x\leq y)\Leftrightarrow(x^2\leq y^2)).
&6. \ \forall (x,y)\in\Z^2, ((xy\leq x^2)\Rightarrow(y\leq x)).
\end{array}\]
\end{exo}

\begin{exo}
On note $A=[0,1]$. Examiner les propositions suivantes. Lorsqu'elles sont vraies, en donner une d\'emonstration ; sinon, proposer un contre-exemple.

1.\  $\forall x \in A$, $\forall y \in A$, $(x+y) \in A$. \quad
2.\  $\forall x \in A$, $\exists y \in A$, $(x+y) \in A$.\quad 3.  \ $\exists x \in A$, $\forall y \in A$, $(x+y) \in A$.
\end{exo}



\begin{exo}
On consid\`ere la proposition : $\forall x\in\R,\ \exists y\in\R_+,\ \forall z\in\R_+,\
((z\leq y)\Rightarrow(z^2\leq x^2))$.\\
L'\'ecrire en français puis d\'ecider sa v\'eracit\'e.
\end{exo}



\begin{exo} Donner une preuve directe ainsi qu'une preuve par
r\'ecurrence des faits suivants:
\begin{enumerate}
\item La somme $1+2+\cdots +(n-1)+n$  des $n$ premiers naturels non
nuls est \'egale \`a $\frac{n(n+1)}{2}$.
\item
Pour tout entier $n \in \N$, l'entier $10^n-1$ est divisible par
$9$.
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
Soit $\alpha \in \R.$ Pour  $n \in \N$, \'etablir l'in\'egalit\'e :
$\left| \sin (n \alpha)\right| \leq n \left|\sin \alpha\right|.
$
\emph{Indication : utiliser la formule $\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b.$}
\end{exo}




\begin{exo} Trouver une faute dans  le raisonnement :
\begin{quote}
On ``montre" par récurrence que $2^n = (-1)^n$  pour tout $n$ comme suit. On initialise avec \(n=0\).
Hérédité : les deux suites sont solution de $u_{n+1}=u_n+2u_{n-1}$.
Conclusion : $2^n = (-1)^n.$
\end{quote}

\end{exo}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sqrt{2} \not\in \Q.$
\item Calculer $\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}},$
puis montrer que $\exists x \in \R \setminus \Q, \ x^{\sqrt{2}} \in \Q.$
\item Montrer que $1 + \sqrt{2} \not\in \Q,$
puis montrer que $\exists (x,y) \in (\R \setminus \Q)^2, \ x^y \not\in \Q.$
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Soient $x$ et $y$ deux réels distincts de $1$. Montrer que si $x \neq y$, alors $\dfrac{1}{x-1} \neq \dfrac{1}{y-1}$.
\item Montrer que l'ensemble des nombres premiers est infini.
\item Montrer que toute fonction de $\R$ dans $\R$ peut s'écrire comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


 
\begin{exo}
{\bf Pythagore r\'eciproque.}
On admet le th\'eor\`eme de Pythagore "direct" :

Si $ABC$ est un triangle rectangle avec l'angle droit en $A$,  alors $|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2.$

Prouver la r\'eciproque suivante :

Si dans un triangle $ABC$ on a $|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A.$
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $E_1, E_2, . . . , E_n \  n$ ensembles distincts deux à deux.
Montrer qu'au moins l'un  des ensembles ne contient
aucun autre.
\end{exo}





\begin{exo}  On définit, pour tout entier $n\in \N$, $A_n=3^{2n+2}-2^{n+1}$.
Calculer $A_{n+1}-2A_n$. Montrer par récurrence que pour
tout $n\geq 1$, $A_n$ est divisible par $7$. \end{exo}


\begin{exo}
Soit $n \in \N$. 1. Calculer $\displaystyle{\sum_{k=1}^n (2k+1)}.$ \quad 2. Montrer  que $\displaystyle{\sum_{k=1}^n (k^3)= \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2} .$
\end{exo}


\begin{exo} Soit $f: \R \to \R$ telle que $\forall (x,y) \in \R^2, \ |f(x) - f(y)| = |x-y|. $ Montrer qu'il existe $a \in \R$ tel  que soit $( \forall x \in \R, \ f(x) = x + a)$ soit $(\forall x \in \R, \ f(x) = -x + a). $
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $A$ une partie de $[[1; 2n]]$ de cardinal superieur ou \'egal \`a  $n+1.$ Montrer qu'on
peut trouver dans $A$ deux \'el\'ements $p$ et $q$ tels que $p$ divise $q.$
\end{exo} 

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $n \geq 4$, on a $n^2 \leq 2^n$.
\item Montrer que pour toute fonction $j:\N\to\N$ strictement croissante et tout $n\in\N$, on a $j(n)\geq n$.
\item Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ la suite réelle déterminée par $u_0 = 2$, $u_1 = 3$ et pour tout $n\in \N$, $u_{n+2} = 3u_{n+1}-2u_n$. Montrer que pour tout $n\in \N$, $u_n = 2n + 1$.
\item Soit $(v_n)_{n \geq 0}$ la suite définie par $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = v_0 + v_1 + \dots + v_n$ pour tout $n\geq 0$. Donner une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}  Montrer que pour tout entier $n\geq 2$,  $S_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}
{n}$ n'est pas un entier. \end{exo}


\begin{exo}
Montrer par r\'eccurence que
si $a\in]0,1[,$ alors  $1-na < (1-a)^n < 1/(1+na).$
\end{exo}



