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%---- Dimensions des marges ---
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

%---- Année en cours ------
\newcommand{\yyear}{2019--2020}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre automne \yyear}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des Math\'ematiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no4} \\ \textsc{Fonctions usuelles} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
 \newenvironment{exo}[1][]
 {\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}


\begin{document}
\baselineskip=0.6cm
 \entete

\section{\sc Logarithme}

\begin{exo}
Résoudre sur $\R$ les équations suivantes:
\begin{tasks}(2)
  \task $\ln(x^2-1)-\ln(2x-1)+\ln 2=0$
  \task $\log_{10}(x+2)-\log_{10}(x+1)=\log_{10}(x-1)$  
\end{tasks}	
\end{exo}

\begin{exo}
Quel est le nombre de chiffres en base 10 du nombre $2^{43112609}$?	
\end{exo}

\begin{exo}
Y a-t-il un point du graphe du logarithme népérien tel que la tangente au graphe en ce point passe par l'origine ?
\end{exo}

\begin{exo}
Démontrer que pour tout $x\geq 0$, on a:
$$
x-\frac{x^2}2\leq \ln(1+x)\leq x
$$	
\end{exo}

\begin{exo}
Démontrer que $\log_{10} (2)$ est irrationnel.	
\end{exo}

\begin{exo}
	Montrer que l'équation 
	$$
	\ln(1+|x|)=\frac 1{x-1}
	$$
	possède exactement une solution $\alpha\in \R\backslash\{1\}$ et que $1<\alpha<2$.
\end{exo}

\begin{exo}
	Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $2^n\geq n^2$. 
\end{exo}

%%%
\section{Exponentielle}
\begin{exo}
  Etudier la parité des fonctions suivantes:
  \begin{tasks}(3)
    \task $\displaystyle{f(x)=e^x-e^{-x}}$
    \task $\displaystyle{g(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}$
    \task $\displaystyle{h(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}}$.    
  \end{tasks}
\end{exo}

\begin{exo}
	Résoudre sur $\R$ les équations suivantes:
        \begin{tasks}(3)
          \task $e^{2x}-e^x-6=0$
          \task $3e^x-7e^{-x}-20=0$
          \task $e^{5x} + e^{3x} + e^x = 0$
        \end{tasks}
	
\end{exo}

\begin{exo}
	Déterminer la limite en $+\infty$ des expressions suivantes :

\begin{center}
	\begin{tasks}(4)
          \task $\ln(x)-e^x$
          \task $\displaystyle \frac{x^3}{\exp(\sqrt{x})}$
          \task $\displaystyle \frac{\ln(1+e^x)}{\sqrt{x}}$
          \task $\displaystyle \frac{\exp(\sqrt{x})+1}{\exp(x^2)+1}$
	\end{tasks}	
\end{center}

\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x\in \R$, $e^x >x$.
\item On considère $f : \R \to \R$, $x \mapsto \dfrac{e^x}{e^x-x}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est continue sur $\R$.
\item Calculer, si elles existent, les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$. \\
\emph{Rappel :} $\displaystyle{\lim_{t\to +\infty} \frac{e^t}{t} =+\infty}$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item En déduire que $f$ atteint un maximum sur $\R$ puis le déterminer.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

%%%
\section{\sc Fonctions trigonométriques}
 
\begin{exo}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$$
f(x)=\cos (3x)\cos^3 (x)
$$
\begin{enumerate}
	\item Pour $x\in\R$, exprimer $f(-x)$ et $f(x+\pi)$ en fonction de $f(x)$. Sur quel intervalle $I$ peut-on se contenter d'étudier $f$?
	\item Calculer $f'$ et déduire le sens de variation de $f$ sur $I$.
	\item Tracer le graphe de $f$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
	Déterminer la valeur de 
	\begin{center}
	\begin{tasks}(3)
          \task $\arcsin(-1/2)$
          \task $\arccos(-\sqrt{2}/2)$
          \task $\arctan(\sqrt{3})$ 
          \task $\arccos(\cos(2\pi/3))$
          \task $\arccos(\cos(-2\pi/3))$
          \task $\arccos(\cos(4\pi/3))$.
	\end{tasks}
	\end{center}
\end{exo}
\begin{exo}
  Donner le domaine de définition maximal des équations suivantes puis les résoudre :
  \begin{tasks}(3)
    \task $\sin^2(x) = 1$
    \task $\cos(x) = \frac{1}{2}$
    \task $\arcsin(x) = \frac{\pi}{3}$
  \end{tasks}
\end{exo}
\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Tracer le graphe des fonctions $\arcsin \circ \sin$ et $\sin \circ \arcsin$. 
  \item Donner le domaine de définition maximal des expressions suivantes puis simplifier les:
	\begin{tasks}(3)
		\task $\tan(\arcsin x)$ \task $\sin(\arccos x)$ \task $\cos(\arctan x)$.
	\end{tasks}

  \end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}
	Montrer que pour tout $x\in [0,1]$, on a 
	$$\arccos x+\arcsin x=\frac \pi 2$$
\end{exo}

\begin{exo}
	Soit $p\in\N$.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que $\arctan(p+1)-\arctan(p)=\arctan\left(\frac 1{p^2+p+1}\right)$
		\item Déterminer la limite de la suite
		$$
		S_n=\sum_{p=0}^n\arctan\left(\frac 1{p^2+p+1}\right)
		$$
	\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
  Donner le domaine de définition maximal des fonctions suivantes. Puis, donner leur domaine de dérivabilité et calculer leur dérivée.
  \begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle{ f(x) =\sqrt{\arcsin(x)}}$
		\task $\displaystyle{ g(x) = \arcsin(\cos(x))}$
		\task $\displaystyle{ h(x) = \arctan\left(\frac{2x}{1- x^2}\right)}$
            	\end{tasks}
\end{exo}
%%%
\section{\sc Fonctions trigonométriques hyperboliques}

\begin{exo}
	Résoudre l'équation $\cosh(x)=2$.
\end{exo}

\begin{exo}
	On considère la fonction $f:\R^*\to\R$ définie par $f(x)=x\sinh(1/x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Etudier la parité de $f$.
		\item Etudier le comportement de $f$ en $\pm\infty$ et en $0$.
		\item Justifier que $f$ est dérivable sur $\R^*$ et calculer sa dérivée.
		\item Justifier que pour tout $y\geq 0$ on a $\tanh(y)\leq y$. En déduire le tableau de variations de $f$ et tracer son graphe.
	\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
	Déterminer les couples de réels $(a,b)$ tels que le système suivant admette une solution :
	$$
	\begin{cases}
		\cosh(x)+\cosh(y) &=\; a\\
		\sinh(x)+\sinh(y) &=\; b
	\end{cases}
	$$
\end{exo}

\begin{exo}
	Montrer que pour tout $x\in\R$ et tout entier $n\geq 1$ on a
	$$
	\left(\frac{1+\tanh(x)}{1-\tanh(x)}\right)^n=\frac{1+\tanh(nx)}{1-\tanh(nx)}
	$$
\end{exo}
\end{document}



