\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article}
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% \geometry{scale=0.9, nohead}

%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}

%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}
\newcommand{\dsp}{\displaystyle}

\newcommand{\dspt}{\displaystyle}
\DeclareMathOperator{\Card}{\mathrm{Card}}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des math\'ematiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no5} \\ \textsc{Ensembles et applications} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
 \newenvironment{exo}[1][]
 {\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}
 
\begin{document}
\baselineskip=0.6cm
\entete
 
% \begin{exo}\begin{enumerate}
% \item On note $A=\{1,2,3,4\}$ et $B=\{0,1,2,3\}$. D\'ecrire les ensembles $A\cap B$, $A\cup B$ et $A\times B$.
% \item On note $A=[1,3]$ et $B=]2,4]$. D\'eterminer $A\cap B$ et $A\cup B$.
% \item D\'eterminer $[3,8[\cap\Z$, $[-3,2[\cap\N$ et $]0,1[\cap\Z$.
% \item D\'eterminer le compl\'ementaire dans $\R$ des parties $]-\infty,0]$ et $[1,2[$.
% \item D\'eterminer $]-2,3]\setminus \Z$, $]-2,3]\setminus[0,4]$ et $]-2,3]\setminus[-4,4]$.
% \end{enumerate}
% \end{exo}


% \begin{exo}
% D\'ecider si les ensembles suivants sont vides.
% \begin{enumerate}
% \item $\left\{\ x\in\R\ \middle|\ x^2-3x\geq2\ \right\}$;
% \item $\left\{\ x\in\R_-\ \middle|\ \dfrac{x+1}{2x-1}>4\ \right\}$;
% \item $\left\{\ (x,y)\in\R^2\ \middle|\ x^2-3xy+4y^2 =-1\ \right\}$;
% \item $\left\{\ (x,y)\in\R^2\ \middle|\ x^2-3xy+4y^2 =4\ \right\}$;
% \item $\left\{\ (x,y)\in[0,5]\times[0,3]\ \middle|\ 2x-5y-10\geq0\ \right\}$.
% \end{enumerate}
% \end{exo}

\begin{exo}
Soit $I$ un intervalle de $\R$, et $f:I\to\R$ une application d\'efinie sur $I$ et \`a valeurs r\'eelles. Exprimer \`a l'aide de quantificateurs:
\begin{tasks}(2)
\task la fonction $f$ s'annule ;
\task la fonction $f$ est toujours nulle ;
\task $f$ n'est pas une fonction constante ;
\task $f$ est croissante ;
\task $f$ est d\'ecroissante ;
\task $f$ pr\'esente un minimum ;
\task $f$ pr\'esente un maximum.
\end{tasks}
\end{exo}

\begin{exo}
Donner la n\'egation des assertions de l'exercice pr\'ec\'edent.
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble et $(A,B,C)\in\P(E)^3$.
\begin{enumerate}
\item Montrer
$(A\setminus C)\cup(B\setminus C)=(A\cup B)\setminus C$
et
 $(A\cup B)\cap(B\cup C)\cap(C\cup A)=(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(C\cap A)$.
\item %\setlength\hsize{\linewidth}
Montrer l'\'equivalence des propositions :
\begin{tasks}(4)
  \task $A\subset B$
  \task $A\cap B=A$
  \task $A\cup B=B$
  \task $A\setminus B=\emptyset$
\end{tasks}
\item Montrer l'\'equivalence des propositions :
\begin{tasks}(2)
  \task $A\cup B=A\cap C$
  \task $B\subset A \subset C$
\end{tasks}
\item Montrer les implications
$$
\left(  A\cap B = A \cap C \ \mbox{et} \ B  \setminus A=C  \setminus A  \right)
\ \Longrightarrow\
B= C.
$$
$$
\left(A\cup B\subset A\cup C\textrm{  et  }A\cap B\subset A\cap C\right)
\ \Longrightarrow\
B\subset C\ .
$$
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
\begin{tasks}(2)
  \task $f :        \begin{array}{l}
\N \to \N \\
n \mapsto  n+1
                    \end{array}$
 \task  $g :   \begin{array}{l}
\Z \to \Z \\
n \mapsto  n+1
                    \end{array} $
  \task $ h :  \begin{array}{l}
\R^2 \to \R ^2 \\
                       (x,y) \mapsto  (2x-y, 4x - 2y) \end{array}$ 
 \task $k :   \begin{array}{l}
\R\setminus\{1\} \to \R \\
x \mapsto  \frac{x+1}{x-1}
\end{array}$ 
\end{tasks}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient :
\begin{align*}
 \begin{array}{ccl}
f & : & \N \to \N \ \\
  &   & n \mapsto 2n
         \end{array} && \begin{array}{ccl}
g & : & \N \to \N\\
  &   & n \mapsto E \left( \frac{n}{2} \right)
  \end{array} 
\end{align*}


o\`u $E(x)$ d\'esigne la partie enti\`ere de $x$.

Les fonctions $f$ et $g$ sont-elles injectives, surjectives ? Comparer
$f\circ g$ et $g\circ f$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f$ l'application de l'ensemble $\{1,2,3,4\}$ dans lui-m\^eme d\'efinie par $f(1)=4$, $f(2)=1$, $f(3)=2$, $f(4)=2$. D\'eterminer $f^{-1}(A)$ lorsque $A=\{2\}$, $A=\{1,2\}$, $A=\{3\}$.
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $f$ une application de $E$ vers $F$ avec
$\hbox{Card}(E)=\hbox{Card}(F)=n$. Montrer que les trois
propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes :
\begin{tasks}(3)
  \task $f$ est injective ;
  \task $f$ est surjective ;
  \task $f$ est bijective.
\end{tasks}
\end{exo}

\begin{exo}
Pour un entier $n\in {\N}^*$ on d\'esigne par $I_n$ l'ensemble
$\{1,2,\dots , n\}$.
\begin{enumerate}
\item On suppose $n\ge 2$. Combien y a-t-il d'applications injectives $f: I_2\rightarrow I_n?$
 \item   Soit $p \in \N^\ast.$ Combien y a-t-il d'applications strictement croissantes de $I_p$ dans $I_n$ ?
\item A quelle condition portant sur les entiers $m$ et $n$ peut-on
d\'efinir une application $f: I_m\rightarrow I_n$ qui soit injective,
surjective, bijective?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} Soit $E$ un ensemble de cardinal $n \in \N^\ast.$ Montrer qu'il y a $n!$ bijections de $E$ vers $E.$
\end{exo}



\begin{exo} 

 Soit $E$ un ensemble, avec
$\text{Card}(E)=n$. D\'emontrer que $\text{Card} ({\cal P}(E)) = 2^n$,
\begin{itemize}
\item en utilisant les coefficients $\dbinom{n}k$ ;
\item en raisonnant par r\'ecurrence sur $n$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo} Montrer que $\Z$ est d\'enombrable \`a l'aide de l'application $\varphi : \Z \rightarrow \N $ d\'efinie par :
\[ \varphi(n) = 2n-1 \mbox{ si } n>0 \mbox{  et  } \varphi(n)=-2n \mbox{ si } n\leq 0. \]
\end{exo}




%\section{Dénombrement}

\begin{exo} Soient $E$,$F$ deux ensembles non vides. Soient $A$ une partie de $E$, $B$ une partie de $F$ et $f$ une application de $E$ dans $F$.
D\'eterminer si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
\begin{enumerate}
\item Si $A$ est une partie finie de $E$, alors $f(A)$ est une partie finie de $F$.
\item Si $f(A)$ est une partie finie de $F$, alors $A$ est une partie finie de $E$.
\item Si $B$ est une partie finie de $F$, alors $f^{-1}(B)$ est une partie finie de $E$.
\item Si $f^{-1}(B)$ est une partie finie de $E$, alors $B$ est une partie finie de $F$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} Soit $n\in \N^*.$
D\'enombrer les couples
d'entiers $(n_1,n_2)\in \N\times \N$ tels que
\begin{tasks}(2)
  \task $n_1+n_2 \leq n$, 
  \task $n_1+n_2=n.$
\end{tasks}
M\^emes questions pour les triplets $(n_1, n_2, n_3)\in \N^3.$
Pouvez-vous g\'en\'eraliser aux cas des $m-$uplets?


\emph{Indication:} il est utile et instructif de repr\'esenter les couples $(n_1, n_2)$ dans le plan $\R^2$ et, pour la deuxi\`eme partie, les triplets
$(n_1, n_2, n_3)$ dans l'espace $\R^3$ .
\end{exo}

\begin{exo} Soient $E$ un ensemble fini non vide, $F$ un ensemble quelconque, et $f$ une application de $E$ dans $F$.
 \begin{enumerate}
 \item
 Montrer que $f$ est injective si et seulement si $\Card(f(E))=\Card(E)$.
  \item
  Montrer que  $f$  est surjective si et seulement si $\Card(f(E))=\Card(F)$.
  \end{enumerate}
\end{exo}




\begin{exo}Soient $n \in \N, n \geq 2$ et $E$ un ensemble \`a $n$ \'el\'ements. Soit $f : E \to \P(E)$  une application.
On suppose que pour tout $x \in E,$ on a $x \in f(x)$ et que pour tous $x,y \in E$, on a l'implication
$x \in f(y) \Rightarrow y \in f(x).$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in E,$  on a $\Card f(x) \geq 1.$
\item  On suppose qu'il existe $a \in E$ tel que $\Card f(a) = n.$ Montrer que pour tout $x \in E,$ on a
$\Card f(x) \geq  2.$
\item Montrer qu'il existe des \'el\'ements $x,y \in  E$ diff\'erents tels que les ensembles $f(x)$ et $f(y)$ aient le
m\^eme nombre d'\'el\'ements.
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo} Soit $E$ un ensemble avec $\text{Card}(E) = n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le cardinal de l'ensemble $\{ (A,B) \in {\cal P}(E)^2 / A \subset B \}$. \\ \emph{Indication : pour chaque $B\subset E$, compter les parties $A \subset B.$}
\item Montrer que pour tout $(A,B) \in {\cal P}(E)^2$, $A \subset B$ \'equivaut \`a $A^c \cup B = E$.
\item En d\'eduire le cardinal de l'ensemble $\{ (A,B) \in {\cal P}(E)^2 / A \cup B = E \}$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
D\'ecider si les paires de fonctions qui suivent sont \'egales:
\begin{enumerate}
\item $f:\R\to\R,\,x\mapsto(x^2+2x+1)(x-1)$ et $g:\R\to\R,\,x\mapsto(x+1)(x^2-1)$;
\item $f:\R\to\R,\,x\mapsto\sin(x)$ et $g:\R\to\R,\,x\mapsto\exp(x)$;
\item $f:\R\to\R,x\mapsto \sin(x)$ et $g:\R\to[-1,1],x\mapsto \sin(x)$;
\item $f:\R\to\R,\,x\mapsto x+1$ et $g:\R\setminus\{1\}\to\R,\,x\mapsto\dfrac{x^2-1}{x-1}$;
\item $f:\{\,x\in\R\,|\,|x-2|<\frac12|x+3|\,\}\to\R,\,x\mapsto 0$ et $g:\ ]\frac13,7[\to\R,\,x\mapsto 0$;
\item $f:\R_+\to\R,\,x\mapsto (\sqrt{x})^2$ et $g:\R\to\R,\,x\mapsto x$.
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
D\'ecrire les ensembles qui suivent.
\begin{tasks}(2)
  \task $\tan(\{ 0\})$
  \task $\sin^{-1}(\{2\})$
  \task $\cos^{-1}([0,1])$
  \task $\left(\cos\vert_{[3,7]}\right)^{-1}([0,1])$
  \task $\left(\cos\vert_{[0,\pi]}\right)^{-1}([0,1])$
  \task $\sqrt{\,\cdot\,}\,([0,1])$ 
  \task $f^{-1}([0,1])$ pour $f:\R\to\R,\,x\mapsto x^2$
  \task $f^{-1}([0,1])$ pour $f:\left[-\frac12,\frac43\right]\to\R,\,x\mapsto x^2$
  \task $f^{-1}([0,1])$ pour $f:\R_+\to\R,\,x\mapsto x^2$
  \task $f^{-1}([-1,1[\cup\{2\})$ et $f([0,1]^3)$ pour $f:\R^3\to\R,\,(x,y,z)\mapsto y$
  \task $|\,\cdot\,|([-2,-1]\cup[2,4[)$
  \task $\left(|\,\cdot\,|\vert_{[-8,7]}\right)^{-1}([2,3])$
  \task $|\,\cdot\,|^{-1}(\{1\})$
  \task $\exp (]-\infty , 2])$
  \task $\exp^{-1} ([-1,e])$
  \task $\ln (\R_-)$
  \task $\ln^{-1}([3,+\infty [)$
\end{tasks}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ et $F$ deux ensembles non vides et $f:E\to F$.
\begin{enumerate}
\item Soient $A,B\subset E$. Montrer que
$$
f\left(A\cup B\right) =f(A)\cup f(B)
\quad\text{et}\quad
f\left(A\cap B\right)\subset f(A)\cap f(B).
$$
\item Pour l'inclusion de la question pr\'ec\'edente, donner un contre-exemple \`a l'inclusion r\'eciproque.
\item Soient maintenant $A,B\subset F$. Montrer que
$$
f^{-1}\left(A\cup B\right)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)
\quad\text{et}\quad
f^{-1}\left(A\cap B\right)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B).
$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\'Etudier l'injectivit\'e et la surjectivit\'e des applications qui suivent. Lorsqu'elles sont bijectives, donner leur inverse.
\begin{tasks}(2)
  \task $\R\to\R,\,x\mapsto\cos(x)$ ;
  \task $[\pi,2\pi]\to[-1,1],\,x\mapsto\sin(x)$ ;
  \task $\R^2\to\R^2,\,(x,y)\mapsto(x+y,x-y)$ ;
  \task $\N\to\R,\,x\mapsto x$ ;
  \task $\R\to\R,\,x\mapsto \left\{\begin{array}{cl}
                                     -\ln x&\text{si }x>0\\
                                     x^2&\text{sinon }
                                   \end{array}\right.$ ;
  \task $\R\to\R,\,x\mapsto
  \left\{\begin{array}{cl}
           \frac 1x&\text{si   }x<0\\[1ex]
           x^2&\text{sinon }
         \end{array}\right.$ ;
   \task $\{0,1,2\}\to\{-1,0,1\},\,x\mapsto-(x-1)$ ;
   \task $\F(\R,\R)\to\R,\,f\mapsto f(0)$ ;
   \task $\{0,1,2,3\}\to\{1,7,9,11\},\,x\mapsto
   \left\{\begin{array}{cl}
            1&\textrm{si   }x=0\\
            11&\textrm{si   }x=1\\
            7&\textrm{si   }x=2\\
            9&\textrm{si   }x=3
          \end{array}\right.$.
\end{tasks}
\end{exo}

\begin{exo}
On consid\`ere l'application $f:I\to J,x\mapsto x^2$, o\`u $I$ et $J$ sont deux intervalles de $\R$. Trouver $I$ et $J$ tels que:
\begin{enumerate}
\item $f$ est injective mais pas surjective;
\item $f$ est surjective mais pas injective;
\item $f$ est bijective.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
 Soit $E$ un ensemble non vide. 
 Soient $f, g$ et $h$ des fonctions de $E$ dans $E$.
On suppose $h \circ g \circ f$ et $g \circ f \circ h$ injectives et $f \circ h \circ g$ surjective.
 Montrer que $f, g$  et $h$ sont bijectives.
\end{exo}


% \begin{exo}
% Soit $E$, $F$ et $G$ trois ensembles non vides. Soit $f\in\F(E,F)$ et $g\in\F(F,G)$.
% \begin{enumerate}
% \item On suppose $g\circ f$ injective. Montrer que $f$ est injective et que $g$ l'est aussi si $f$ est surjective.
% \item On suppose $g\circ f$ surjective. Montrer que $g$ est surjective et que $f$ l'est aussi si $g$ est injective.
% \end{enumerate}
% \end{exo}




\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble non vide et $f:E\to\P(E)$.\\
\'Etudier la surjectivit\'e de $f$ en consid\'erant $A=\{x\in E\,|\,x\notin f(x)\}$.
\end{exo}


\begin{exo}
Soient $E$ et $F$ deux ensembles non vides et $f:E\to F$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $B\subset F$, $f(f^{-1}(B))=B\cap f(E)$.
\item En d\'eduire que si $f$ est surjective alors, pour tout $B\in\P(F)$, $f(f^{-1}(B))=B$.
\item Montrer que, pour tout $A\subset E$, $A\subset f^{-1}(f(A))$.
\item Montrer que si $f$ est injective alors, pour tout $A\in\P(E)$, $f^{-1}(f(A))=A$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
  Pour chacune des relations définies ci dessous, determiner si ce sont des relations d'ordre ou d'équivalence:
\begin{tasks} 
  \task Pour $m$ et $n$ deux entiers relatifs, $n \equiv m$ si et seulement si 4 divise $m-n$.
  \task Pour $f$ et $g$ deux fonctions réelles, $f\mathcal Rg$ si et seulement si il existe $x \in \R$ tel que $f(x) = g(x) $.
  \task Pour $f$ et $g$ deux fonctions réelles, $f \sim g$ si et seulement si il existe $h: \R \to \R$ tel que $f = h \cdot g $ et que h ait limite 1 en $+\infty$.
  \task Soit $E$ un ensemble. On définit, pour $A$ et $B$ deux parties de $E$, $A \prec B$ si et seulement si il existe une fonction injective de $A$ dans $B$.
    \task Soit $E$ un ensemble. On définit, pour $A$ et $B$ deux parties de $E$, $A \bowtie B$ si et seulement $A \cap B = \emptyset$.
    \task Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f : E  \to F$. On définit, pour $x$ et $y$ dans $E$, $x \smile y$ si et seulement si $f(x) = f(y)$.
    \task (*) Soient $E$ un ensemble et $\ll$ une relation réflexive et transitive sur ces éléments. Soit $X = \{ \{y \in E, x \ll y \text{ et } y \ll x\}, x \in E\} $.
    On définit pour $A$ et $B$ deux éléments de $X$, $A \lll B$ si et seulement il existe $a$ dans $ A$ et $b$ dans $B$ tels que $a \ll b$.
  \end{tasks}  
\end{exo}


 \begin{exo} {\bf Indicatrice d'une partie d'un ensemble}
 
 Soit $E$ un ensemble. On note $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble de parties de $E.$ Soit $A$ une partie de $E : \ A \in \mathcal{P}(E).$ On note  $\overline{A}= E \setminus A,$ le compl\'ementaire de $A$ dans $E.$
 
 Pour tout $A \subset E$ on d\'efinie une fonction \emph{indicatrice de $A$ }  sur $E$  \`a valeurs dans $\{0,1\}, $ not\'ee ${\mathbf 1}_A, $
 d\'efinie  pour $\forall x \in E$  par :
 \[
 {\mathbf 1}_A(x) = \left\lbrace\begin{array}{cl}
                                 1 & \mbox{si} \ x \in A \\
                                 0 & \mbox{si} \ x \in \overline{A}.
                               \end{array}
   \right.
 \]
 
 \begin{enumerate}
 \item On consid\`ere deux exemples:
 \begin{enumerate}
 \item
 Soient $E= \{a,b,c,d\}, \ A = \{ a,b,c\} \subset E$ et $B = \{ c, d\} \subset E.$
  Expliciter les fonctions ${\mathbf 1}_E,\  {\mathbf 1}_{\emptyset}, \ {\mathbf 1}_A, \ {\mathbf 1}_{\overline{A}}, \ {\mathbf 1}_B$ ainsi que ${\mathbf 1}_{A\cap B} $ et ${\mathbf 1}_{A\cup B}.$
 \item Soient $A$ une partie de $\R$ et $ {\mathbf 1}_A: \R \to  \{0;1\}$  sa fonction indicatrice sur $\R$. D\'ecrire les ensembles $ {\mathbf 1}_A (A), \ {\mathbf 1}_A({\overline{A}}), \ {\mathbf 1}_A(\R),\ {\mathbf 1}_A^{-1}(\{1\}), \ {\mathbf 1}_A^{-1}(\{0\}), \ {\mathbf 1}_A^{-1}(\{0;1\}).$
 \end{enumerate}
 \item Soient $E$ un ensemble et $A,B \in \mathcal{P}(E).$  D\'emontrer les propri\'et\'es de la fonction indicatrice :
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $({\mathbf 1}_{A}) ^2 = {\mathbf 1}_{A}.$
 \item Inclusion :  $A \subset B \Leftrightarrow {\mathbf 1}_{A} \leq {\mathbf 1}_{B}. $
 (Cela veut dire que pour $\forall x \in E,$ on a ${\mathbf 1}_{A}(x) \leq {\mathbf 1}_{B}(x).$)
 
     \'Egalit\'e : $A = B \Leftrightarrow {\mathbf 1}_{A} = {\mathbf 1}_{B}. $
 \item Op\'erations ensemblistes :
 \[
 {\mathbf 1}_{\overline{A}} = 1 - {\mathbf 1}_{A} ; \quad {\mathbf 1}_{A \cap B} = \min\{ {\mathbf 1}_{A}, {\mathbf 1}_{B} \} = {\mathbf 1}_{A} \cdot {\mathbf 1}_{B} ; \quad 
 {\mathbf 1}_{A \cup B} = \max\{{\mathbf 1}_{A}, {\mathbf 1}_{B} \} = {\mathbf 1}_{A} + {\mathbf 1}_{B} - {\mathbf 1}_{A} \cdot {\mathbf 1}_{B}.
 \]
 \item Lien avec le cardinal : si $E$ est de cardinal fini,
 $|A|=  \sum_{x \in E} {\mathbf 1}_{A}(x).$
 \end{enumerate}
 \item \underline{Formule du crible.}  Soient $E$ un ensemble et $A,B,C \in \mathcal{P}(E).$
 Montrer que
 \[ | A \cup B \cup C| = | A| + |B| +  |C| - | A \cap B| - |  B \cap C| - | A \cap  C| + | A \cap B \cap C|
 \]
 \item Soit $E$ un ensemble fini de cardinalit\'e $n$. Notons $\mathcal{F}$ l'ensemble des applications de $E$
 dans $\{0,1\}.$
 \begin{enumerate}
 \item
  Quel est le cardinal de $\mathcal{F}$ ?
  \item
  Soit $$\phi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{F} :  \ A \mapsto {\mathbf 1}_{A} $$ une application qui \`a chaque partie $A$ de $E$ associe sa fonction indicatrice.
   Montrer que $\phi$ est une application injective. En d\'eduire que $\phi$ est bijective.
 \item En d\'eduire que $\mathcal{P}(E)$ est fini  et calculer son cardinal.
     \end{enumerate}
 \item  Soit $E$ un ensemble fini de cardinalit\'e $n$. Calculer
 $\dspt\sum_{A,B\subset E}|A\cap B|$,
 $\dspt\sum_{A,B\subset E}|A\cup B|$.
 \end{enumerate}
 \end{exo}


\end{document}
