\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article}
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% \usepackage{geometry}
% \geometry{scale=0.9, nohead}

%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}

%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}
\newcommand{\dsp}{\displaystyle}

\newcommand{\dspt}{\displaystyle}
\DeclareMathOperator{\Card}{\mathrm{Card}}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des math\'ematiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no5} \\ \textsc{Ensembles et applications} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
 \newenvironment{exo}[1][]
 {\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}
 
\begin{document}
\baselineskip=0.6cm
\entete
 
%\begin{exo}\begin{enumerate}
%\item On note $A=\{1,2,3,4\}$ et $B=\{0,1,2,3\}$. D\'ecrire les ensembles $A\cap B$, $A\cup B$ et $A\times B$.
%\item On note $A=[1,3]$ et $B=]2,4]$. D\'eterminer $A\cap B$ et $A\cup B$.
%\item D\'eterminer $[3,8[\cap\Z$, $[-3,2[\cap\N$ et $]0,1[\cap\Z$.
%\item D\'eterminer le compl\'ementaire dans $\R$ des parties $]-\infty,0]$ et $[1,2[$.
%\item D\'eterminer $]-2,3]\setminus \Z$, $]-2,3]\setminus[0,4]$ et $]-2,3]\setminus[-4,4]$.
%\end{enumerate}
%\end{exo}


%\begin{exo}
%D\'ecider si les ensembles suivants sont vides.
%\begin{enumerate}
%\item $\left\{\ x\in\R\ \middle|\ x^2-3x\geq2\ \right\}$;
%\item $\left\{\ x\in\R_-\ \middle|\ \dfrac{x+1}{2x-1}>4\ \right\}$;
%\item $\left\{\ (x,y)\in\R^2\ \middle|\ x^2-3xy+4y^2 =-1\ \right\}$;
%\item $\left\{\ (x,y)\in\R^2\ \middle|\ x^2-3xy+4y^2 =4\ \right\}$;
%\item $\left\{\ (x,y)\in[0,5]\times[0,3]\ \middle|\ 2x-5y-10\geq0\ \right\}$.
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\begin{exo}
Soit $I$ un intervalle de $\R$, et $f:I\to\R$ une application d\'efinie sur $I$ et \`a valeurs r\'eelles. Exprimer \`a l'aide de quantificateurs:
\begin{enumerate}
\item la fonction $f$ s'annule;
\item la fonction $f$ est toujours nulle;
\item $f$ n'est pas une fonction constante;
\item $f$ est croissante;
\item $f$ est d\'ecroissante;
\item $f$ pr\'esente un minimum;
\item $f$ pr\'esente un maximum.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Donner la n\'egation des assertions de l'exercice pr\'ec\'edent.
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble et $(A,B,C)\in\P(E)^3$.
\begin{enumerate}
\item Montrer
$(A\setminus C)\cup(B\setminus C)=(A\cup B)\setminus C$
et
 $(A\cup B)\cap(B\cup C)\cap(C\cup A)=(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(C\cap A)$.
\item %\setlength\hsize{\linewidth}
Montrer l'\'equivalence des propositions :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $A\subset B$
\item $A\cap B=A$
\item $A\cup B=B$
\item $A\setminus B=\emptyset$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Montrer l'\'equivalence des propositions :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A\cup B=A\cap C$
\item $B\subset A \subset C$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Montrer les implications
$$
\left(  A\cap B = A \cap C \ \mbox{et} \ B  \setminus A=C  \setminus A  \right)
\ \Longrightarrow\
B= C.
$$
$$
\left(A\cup B\subset A\cup C\textrm{  et  }A\cap B\subset A\cap C\right)
\ \Longrightarrow\
B\subset C\ .
$$
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
$$1. \  \displaystyle f : \left\{ \begin{array}{l}
\N \to \N \\
n \mapsto  n+1
\end{array} \right. \ \ 2. \ \displaystyle g : \left\{ \begin{array}{l}
\Z \to \Z \\
n \mapsto  n+1
\end{array} \right. \ \ 3. \  \displaystyle h : \left\{ \begin{array}{l}
\R^2 \to \R ^2 \\
(x,y) \mapsto  (2x-y, 4x - 2y)
\end{array} \right.  \ \ 4. \  \displaystyle k : \left\{ \begin{array}{l}
\R\setminus\{1\} \to \R \\
x \mapsto  \frac{x+1}{x-1}
\end{array} \right. $$

\end{exo}

\begin{exo}
Soit :
$$ \begin{array}{ccl}
f & : & \N \to \N \ \mbox{\ \ et soit}\\
  &   & n \mapsto 2n
  \end{array} \
\begin{array}{ccl}
g & : & \N \to \N\\
  &   & n \mapsto E \left( \frac{n}{2} \right)
  \end{array} $$
o\`u $E(x)$ d\'esigne la partie enti\`ere de $x$.

Les fonctions $f$ et $g$ sont-elles injectives, surjectives ? Comparer
$f\circ g$ et $g\circ f$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f$ l'application de l'ensemble $\{1,2,3,4\}$ dans lui-m\^eme d\'efinie par $f(1)=4$, $f(2)=1$, $f(3)=2$, $f(4)=2$. D\'eterminer $f^{-1}(A)$ lorsque $A=\{2\}$, $A=\{1,2\}$, $A=\{3\}$.
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $f$ une application de $E$ vers $F$ avec
$\hbox{Card}(E)=\hbox{Card}(F)=n$. Montrer que les trois
propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes :
\begin{multienumerate}
\mitemxxx{\quad $f$ est injective}{\quad $f$ est surjective}{\quad $f$ est bijective}
\end{multienumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Pour un entier $n\in {\N}^*$ on d\'esigne par $I_n$ l'ensemble
$\{1,2,\dots , n\}$.
\begin{enumerate}
\item On suppose $n\ge 2$. Combien y a-t-il d'applications injectives $f: I_2\rightarrow I_n?$
 \item   Soit $p \in \N^\ast.$ Combien y a-t-il d'applications strictement croissantes de $I_p$ dans $I_n$ ?
\item A quelle condition portant sur les entiers $m$ et $n$ peut-on
d\'efinir une application $f: I_m\rightarrow I_n$ qui soit injective,
surjective, bijective?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} Soit $E$ un ensemble de cardinal $n \in \N^\ast.$ Montrer qu'il y a $n!$ bijections de $E$ vers $E.$
\end{exo}


% \Rightarrow  \Longleftrightarrow
% \begin{exo} {\bf Indicatrice d'une partie d'un ensemble}
% 
% Soit $E$ un ensemble. On note $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble de parties de $E.$ Soit $A$ une partie de $E : \ A \in \mathcal{P}(E).$ On note  $\overline{A}= E \setminus A,$ le compl\'ementaire de $A$ dans $E.$
% 
% Pour tout $A \subset E$ on d\'efinie une fonction \emph{indicatrice de $A$ }  sur $E$  \`a valeurs dans $\{0,1\}, $ not\'ee ${\mathbf 1}_A, $
% d\'efinie  pour $\forall x \in E$  par :
% \[
% {\mathbf 1}_A(x) = \left\lbrace\begin{array}{cl}
%                                 1 & \mbox{si} \ x \in A \\
%                                 0 & \mbox{si} \ x \in \overline{A}.
%                               \end{array}
%   \right.
% \]
% 
% \begin{enumerate}
% \item On consid\`ere deux exemples:
% \begin{enumerate}
% \item
% Soient $E= \{a,b,c,d\}, \ A = \{ a,b,c\} \subset E$ et $B = \{ c, d\} \subset E.$
%  Expliciter les fonctions ${\mathbf 1}_E,\  {\mathbf 1}_{\emptyset}, \ {\mathbf 1}_A, \ {\mathbf 1}_{\overline{A}}, \ {\mathbf 1}_B$ ainsi que ${\mathbf 1}_{A\cap B} $ et ${\mathbf 1}_{A\cup B}.$
% \item Soient $A$ une partie de $\R$ et $ {\mathbf 1}_A: \R \to  \{0;1\}$  sa fonction indicatrice sur $\R$. D\'ecrire les ensembles $ {\mathbf 1}_A (A), \ {\mathbf 1}_A({\overline{A}}), \ {\mathbf 1}_A(\R),\ {\mathbf 1}_A^{-1}(\{1\}), \ {\mathbf 1}_A^{-1}(\{0\}), \ {\mathbf 1}_A^{-1}(\{0;1\}).$
% \end{enumerate}
% \item Soient $E$ un ensemble et $A,B \in \mathcal{P}(E).$  D\'emontrer les propri\'et\'es de la fonction indicatrice :
% \begin{enumerate}
% %\item Montrer que $({\mathbf 1}_{A}) ^2 = {\mathbf 1}_{A}.$
% \item Inclusion :  $A \subset B \Leftrightarrow {\mathbf 1}_{A} \leq {\mathbf 1}_{B}. $
% (Cela veut dire que pour $\forall x \in E,$ on a ${\mathbf 1}_{A}(x) \leq {\mathbf 1}_{B}(x).$)
% 
%     \'Egalit\'e : $A = B \Leftrightarrow {\mathbf 1}_{A} = {\mathbf 1}_{B}. $
% \item Op\'erations ensemblistes :
% \[
% {\mathbf 1}_{\overline{A}} = 1 - {\mathbf 1}_{A} ; \quad {\mathbf 1}_{A \cap B} = \min\{ {\mathbf 1}_{A}, {\mathbf 1}_{B} \} = {\mathbf 1}_{A} \cdot {\mathbf 1}_{B} ; \quad 
% {\mathbf 1}_{A \cup B} = \max\{{\mathbf 1}_{A}, {\mathbf 1}_{B} \} = {\mathbf 1}_{A} + {\mathbf 1}_{B} - {\mathbf 1}_{A} \cdot {\mathbf 1}_{B}.
% \]
% \item Lien avec le cardinal : si $A$ est une partie finie de $E$ alors
% $|A|=  \sum_{x \in E} {\mathbf 1}_{A}(x).$
% \end{enumerate}
% \item \underline{Formule du crible.}  Soient $E$ un ensemble et $A,B,C \in \mathcal{P}(E).$
% Montrer que
% \[ | A \cup B \cup C| = | A| + |B| +  |C| - | A \cap B| - |  B \cap C| - | A \cap  C| + | A \cap B \cap C|
% \]
% \item Soit $E$ un ensemble fini de cardinalit\'e $n$. Notons $\mathcal{F}$ l'ensemble des applications de $E$
% dans $\{0,1\}.$
% \begin{enumerate}
% \item
%  Quel est le cardinal de $\mathcal{F}$ ?
%  \item
%  Soit $$\phi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{F} :  \ A \mapsto {\mathbf 1}_{A} $$ une application qui \`a chaque partie $A$ de $E$ associe sa fonction indicatrice.
%   Montrer que $\phi$ est une application injective. En d\'eduire que $\phi$ est bijective.
% \item En d\'eduire que $\mathcal{P}(E)$ est fini  et calculer son cardinal.
%     \end{enumerate}
% \item  Soit $E$ un ensemble fini de cardinalit\'e $n$. Calculer
% $\dspt\sum_{A,B\subset E}|A\cap B|$,
% $\dspt\sum_{A,B\subset E}|A\cup B|$.
% \end{enumerate}
% \end{exo}

\begin{exo} %{\bf Deux autres preuves}

 Soit $E$ un ensemble, avec
$\text{Card}(E)=n$. D\'emontrer que $\text{Card} ({\cal P}(E)) = 2^n$,
\begin{itemize}
\item en utilisant les coefficients $\dbinom{n}k$ ;
\item en raisonnant par r\'ecurrence sur $n$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo} Montrer que $\Z$ est d\'enombrable \`a l'aide de l'application $\varphi : \Z \rightarrow \N $ d\'efinie par :
\[ \varphi(n) = 2n-1 \mbox{ si } n>0 \mbox{  et  } \varphi(n)=-2n \mbox{ si } n\leq 0. \]
\end{exo}



\begin{exo}
Soient $E$ et $F$ deux ensembles et soit $f$ une application de $E$ dans $F$. Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$. Montrer que :
\begin{enumerate}
\item $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$.
\item $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$. Trouver un exemple o\`u l'inclusion est stricte.
\end{enumerate}
\end{exo}



%\section{Dénombrement}

\begin{exo} Soient $E$,$F$ deux ensembles non vides. Soient $A$ une partie de $E$, $B$ une partie de $F$ et $f$ une application de $E$ dans $F$.
D\'eterminer si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
\begin{enumerate}
\item Si $A$ est une partie finie de $E$, alors $f(A)$ est une partie finie de $F$.
\item Si $f(A)$ est une partie finie de $F$, alors $A$ est une partie finie de $E$.
\item Si $B$ est une partie finie de $F$, alors $f^{-1}(B)$ est une partie finie de $E$.
\item Si $f^{-1}(B)$ est une partie finie de $E$, alors $B$ est une partie finie de $F$.
\end{enumerate}
\end{exo}


%\begin{exo} Soit $n\in \N^*.$
%D\'enombrer les couples
%d'entiers $(n_1,n_2)\in \N\times \N$ tels que
%$$(1)\,\, n_1+n_2 \le n, \quad\quad (2)\,\, n_1+n_2=n.$$
%M\^emes questions pour les triplets $(n_1, n_2, n_3)\in \N^3.$
%Pouvez-vous g\'en\'eraliser aux cas des $m-$uplets?
%
%
%{\sl Indication:} il est utile et instructif de repr\'esenter les couples $(n_1, n_2)$ dans le plan $\R^2$ et, pour la deuxi\`eme partie, les triplets
%$(n_1, n_2, n_3)$ dans l'espace $\R^3$ .
%\end{exo}

\begin{exo} Soient $E$ un ensemble fini non vide, $F$ un ensemble quelconque, et $f$ une application de $E$ dans $F$.
 \begin{enumerate}
 \item
 Montrer que $f$ est injective si et seulement si $\Card(f(E))=\Card(E)$.
  \item
  Montrer que  $f$  est surjective si et seulement si $\Card(f(E))=\Card(F)$.
  \end{enumerate}
\end{exo}




\begin{exo}Soient $n \in \N, n \geq 2$ et $E$ un ensemble \`a $n$ \'el\'ements. Soit $f : E \to \P(E)$  une application.
On suppose que pour tout $x \in E,$ on a $x \in f(x)$ et que pour tous $x,y \in E$, on a l'implication
$x \in f(y) \Rightarrow y \in f(x).$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in E,$  on a $\Card f(x) \geq 1.$
\item  On suppose qu'il existe $a \in E$ tel que $\Card f(a) = n.$ Montrer que pour tout $x \in E,$ on a
$\Card f(x) \geq  2.$
\item Montrer qu'il existe des \'el\'ements $x,y \in  E$ diff\'erents tels que les ensembles $f(x)$ et $f(y)$ aient le
m\^eme nombre d'\'el\'ements.
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo} Soit $E$ un ensemble avec $\text{Card}(E) = n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le cardinal de l'ensemble $\{ (A,B) \in {\cal P}(E)^2 / A \subset B \}$. \\ {\sl Indication : pour chaque $B$ compter les parties $A \subset B.$}
\item Montrer que pour tout $(A,B) \in {\cal P}(E)^2$, $A \subset B$ \'equivaut \`a $A^C \cup B = E$.
\item En d\'eduire le cardinal de l'ensemble $\{ (A,B) \in {\cal P}(E)^2 / A \cup B = E \}$.
\end{enumerate}
\end{exo}


%\begin{exo}
%Soit $D$ l'ensemble de droites dans le plan $\R^2$. Pour des applications suivantes
%discuter leur injectivit\'e et surjectivit\'e sur un domain o\`u elles sont bien d\'efinies.
%\begin{enumerate}
%\item
%une application $\R^2 \times  \R^2 \to D$ qui  aux couples de
%points du plan $(x,y), (x',y')$  associe la droite  qui passe par ces deux points.
%
%\item
%une application $\R^2 \times  \R^2 \to D$ qui aux couples de
%points du plan $(x,y), (x',y')$   associe  la droite perpendiculaire au segment reliant ces deux points.
%\item
%une application $\R^2 \times  \R^2 \to D$ qui aux couples de
%points du plan $(x,y), (x',y')$ associe  la droite  qui passe par des points $(1,0)$ et $(0,1)$.
%
%\item une application $\R^2 \to D$ qui \`a  un vecteur $\overrightarrow{V} = (x,y)$ associe la droite passant par le point $(0,1)$ et parall\`ele \`a $\overrightarrow{V}.$
%
%\item une application $\R^2 \to D$ qui \`a  un point $ (x,y)$ du plan associe la droite passant par $(x,y)$ et le point $(2x,2y).$
%
%\end{enumerate}
%\end{exo}



\begin{exo}
D\'ecider si les paires de fonctions qui suivent sont \'egales:
\begin{enumerate}
\item $f:\R\to\R,\,x\mapsto(x^2+2x+1)(x-1)$ et $g:\R\to\R,\,x\mapsto(x+1)(x^2-1)$;
\item $f:\R\to\R,\,x\mapsto\sin(x)$ et $g:\R\to\R,\,x\mapsto\exp(x)$;
\item $f:\R\to\R,x\mapsto \sin(x)$ et $g:\R\to[-1,1],x\mapsto \sin(x)$;
\item $f:\R\to\R,\,x\mapsto x+1$ et $g:\R\setminus\{1\}\to\R,\,x\mapsto\dfrac{x^2-1}{x-1}$;
\item $f:\{\,x\in\R\,|\,|x-2|<\frac12|x+3|\,\}\to\R,\,x\mapsto 0$ et $g:\ ]\frac13,7[\to\R,\,x\mapsto 0$;
\item $f:\R_+\to\R,\,x\mapsto (\sqrt{x})^2$ et $g:\R\to\R,\,x\mapsto x$.
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
D\'ecrire les ensembles qui suivent.
\begin{enumerate}[(a)]
\item{$\tan(\{0\})$;}{$\sin^{-1}(\{2\})$;}{$\cos^{-1}([0,1])$;}
\item{$\left(\cos_{\,|\,[3,7]}\right)^{-1}([0,1])$;}{$\left(\cos_{\,|\,[0,\pi]}\right)^{-1}([0,1])$;}{$\sqrt{\,\cdot\,}\,([0,1])$;}
\item{$f^{-1}([0,1])$ pour $f;\R\to\R,\,x\mapsto x^2$;}{$f^{-1}([0,1])$ pour $f:\left[-\frac12,\frac43\right]\to\R,\,x\mapsto x^2$;}
\item{$f^{-1}([0,1])$ pour $f:\R^+\to\R,\,x\mapsto x^2$;}{$f^{-1}([-1,1[\cup\{2\})$ et $f([0,1]^3)$\\[0.5em] pour $f:\R^3\to\R,\,(x,y,z)\mapsto y$;}
\item{$|\,\cdot\,|([-2,-1]\cup[2,4[)$;}{$\left(|\,\cdot\,|_{\,|\,[-8,7]}\right)^{-1}([2,3])$;}{$|\,\cdot\,|^{-1}(\{1\})$;}
\item{$\exp (]-\infty , 2])$;}{$\exp^{-1} ([-1,e])$;}{$\ln (\R_-)$;}
\item{$\ln^{-1}([3,+\infty [)$.}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ et $F$ deux ensembles non vides et $f:E\to F$.
\begin{enumerate}
\item Soit $I$ un ensemble et $(A_i)_{i\in I}\in\P(E)^I$. Montrer que
$$
f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)\ =\ \bigcup_{i\in I}f\left(A_i\right)
\quad\textrm{et}\quad
f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\ \subset\ \bigcap_{i\in I}f\left(A_i\right)\ .
$$
\item Pour l'inclusion de la question pr\'ec\'edente, donner un contre-exemple \`a l'inclusion r\'eciproque.
\item Soit $I$ un ensemble et $(B_i)_{i\in I}\in\P(F)^I$. Montrer que
$$
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)\ =\ \bigcup_{i\in I}f^{-1}\left(B_i\right)
\quad\textrm{et}\quad
f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)\ =\ \bigcap_{i\in I}f^{-1}\left(B_i\right)\ .
$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\'Etudier l'injectivit\'e et la surjectivit\'e des applications qui suivent. Lorsqu'elles sont bijectives, donner leur inverse.
\begin{enumerate}[(i)]
\item {$\R\to\R,\,x\mapsto\cos(x)$;}{$[\pi,2\pi]\to[-1,1],\,x\mapsto\sin(x)$;}
\item {$\R^2\to\R^2,\,(x,y)\mapsto(x+y,x-y)$;}{$\N\to\R,\,x\mapsto x$;}
\item {$\R\to\R,\,x\mapsto
\left\{\begin{array}{cl}
-\ln x&\textrm{si   }x>0\\
x^2&\textrm{sinon }
\end{array}\right.$;}{$\R\to\R,\,x\mapsto
\left\{\begin{array}{cl}
\frac 1x&\textrm{si   }x<0\\[1ex]
x^2&\textrm{sinon }
\end{array}\right.$;}
\item {$\{0,1,2,3\}\to\{1,7,9,11\},\,x\mapsto
\left\{\begin{array}{cl}
1&\textrm{si   }x=0\\
11&\textrm{si   }x=1\\
7&\textrm{si   }x=2\\
9&\textrm{si   }x=3
\end{array}\right.$;}
\item {$\{0,1,2\}\to\{-1,0,1\},\,x\mapsto-(x-1)$;}{$\F(\R,\R)\to\R,\,f\mapsto f(0)$.}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On consid\`ere l'application $f:I\to J,x\mapsto x^2$, o\`u $I$ et $J$ sont deux intervalles de $\R$. Trouver $I$ et $J$ tels que:
\begin{enumerate}
\item $f$ est injective mais pas surjective;
\item $f$ est surjective mais pas injective;
\item $f$ est bijective.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$, $F$ et $G$ trois ensembles non vides. Soit $f\in\F(E,F)$ et $g\in\F(F,G)$.
\begin{enumerate}
\item On suppose $g\circ f$ injective. Montrer que $f$ est injective et que $g$ l'est aussi si $f$ est surjective.
\item On suppose $g\circ f$ surjective. Montrer que $g$ est surjective et que $f$ l'est aussi si $g$ est injective.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble non vide et $f:E\to\P(E)$.\\
\'Etudier la surjectivit\'e de $f$ en consid\'erant $A=\{x\in E\,|\,x\notin f(x)\}$.
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $E$ et $F$ deux ensembles non vides et $f:E\to F$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $B\subset F$, $f(f^{-1}(B))=B\cap f(E)$.
\item En d\'eduire que si $f$ est surjective alors, pour tout $B\in\P(F)$, $f(f^{-1}(B))=B$.
\item Montrer que, pour tout $A\subset E$, $A\subset f^{-1}(f(A))$.
\item Montrer que si $f$ est injective alors, pour tout $A\in\P(E)$, $f^{-1}(f(A))=A$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
