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%---- Dimensions des marges ---
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
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\DeclareMathOperator{\Card}{\mathrm{Card}}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre d'automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des Math\'ematiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no6} \\
    \textsc{Nombres r\'eels et suites r\'eelles} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{0.2cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
 \newenvironment{exo}[1][]
 {\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}
 \begin{document}
\baselineskip=0.6cm
 \entete
 
\begin{exo} Pour chacun des ensembles qui suivent, déterminer s'ils poss\`edent des bornes sup\'erieure et inf\'erieure. Le cas \'ech\'eant, donner ces bornes et d\'ecider si ce sont \'egalement des extrema.
\begin{tasks}(2)
\task{$[0,1[$}
\task{$\left\{\ (-1)^n+\frac{1}{n}\ \middle|\ n\in {\bf N}^\star\ \right\}$}
\task{$\left\{\ \frac{m}{mn+1}\ \middle|\ (m,n)\in {\bf N}\times {\bf N}^\star\ \right\}$}
\task{$\left[0,\sqrt{2}\right]\cap {\bf Q}$}
\end{tasks}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de ${\bf R}$.
\begin{enumerate}
\item On note $-A=\left\{\,-a\,\middle|\,a\in A\,\right\}$.
\begin{tasks}(1)
\task Montrer que $\inf A$ existe si et seulement si $\sup(-A)$ existe et qu'alors $\inf A~=~-\sup(-A)$.
\task Montrer que $\sup A$ existe si et seulement si $\inf(-A)$ existe et qu'alors $\sup A~=~-\inf(-A)$.
\end{tasks}
\item Supposons $B\subset A$.
\begin{tasks}(1)
\task On suppose $A$ major\'e. Montrer que $B$ poss\`ede une borne sup\'erieure et que $\sup B\leqslant\sup A$.
\task On suppose $A$ minor\'e. Montrer que $B$ poss\`ede une borne inf\'erieure et que $\inf B\geqslant\inf A$.
\end{tasks}
\item On note $A+B=\{a+b \,|\, a\in A,b\in B\}$. \`A quelle condition $\sup(A+B)$ existe-t-elle ? Dans ce cas, l'exprimer en fonction de $\sup(A)$ et $\sup(B)$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $f : {\bf R} \rightarrow {\bf R}$ une fonction major\'ee. Pour
tout $y \in {\bf R}$, on pose :
$$f^*(y) = \sup_{x \leqslant y} f(x).$$

\begin{enumerate}
\item Illustrer la d\'efinition de $f^*$ par des figures rapides sur diff\'erents exemples de
fonctions $f$.
\item D\'eterminer $f^*$ dans le cas o\`u $f$ est croissante.
\item \'Etudier la monotonie de $f^*$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} Soit $f : [0,1] \rightarrow [0,1]$ une fonction croissante. On veut \'etablir que $f$ poss\`ede un \emph{point fixe}, c'est-\`a-dire qu'il existe $x_0 \in [0,1]$ tel que $f(x_0) = x_0$.

Posons $$T = \{x \in [0,1] \ | \ f(x) \leqslant x\}.$$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item D\'emontrer que $T$ poss\`ede une borne inf\'erieure $t$. 
\item D\'emontrer que $f(t)$ minore $T$.
\item \'Etablir l'inclusion $f(T) \subset T$.
\item En d\'eduire que $t$ est un point fixe de $f$.
\end{itemize}
\item Ce r\'esultat est-il toujours vrai pour une fonction croissante de $[0,1[$ dans $[0,1[$?
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} On appelle \emph{nombre dyadique} tout nombre rationnel de la forme $\frac{m}{2^n}$, avec $m \in {\bf Z}$ et $n \in {\bf N}$. D\'emontrer que l'ensemble des nombres dyadiques est dense dans ${\bf R}$.
\end{exo}


\begin{exo}\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite \`a valeurs dans $\Z$.\\ 
Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si elle est stationnaire, c'est-à-dire si elle est constante à partir d'un certain rang.
\item Soit $D\subset\Z$ un ensemble non vide et major\'e. Montrer que $D$ poss\`ede un plus grand \'el\'ement.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite r\'eelle convergeant vers $\ell \in \R_+^*$.  \\
Montrer qu'il existe $N_0 \in \N$ tel que $\forall n\in\N$, $n\geq N_0\Longrightarrow u_n \geq \frac{\ell}{2}$.
\end{exo}


\begin{exo} Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite r\'eelle born\'ee et $(v_n)_{n \in \N}$ convergeant vers une limite $\ell\in\R$.
\begin{enumerate}
\item On suppose $\ell=0$. Montrer que $(u_n\,v_n)_{n \in \N}$ converge vers 0.
\item Est-ce toujours vrai si on ne suppose pas que \((u_n)\) est bornée ?
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
Soient $(u_n)_{n \in {\bf N}}$ et $(v_n)_{n \in {\bf N}}$ deux suites r\'eelles convergentes. \'Etudier la convergence de la suite $\left(\max\{u_n,v_n\}\right)_{n \in {\bf N}}$ de deux mani\`eres diff\'erentes :

\begin{enumerate}
\item en commen{\c c}ant par chercher une expression simple de $\max\{x,y\}$ en fonction de $x$ et $y$ pour tous $x, y \in {\bf R}$ (\emph{Indication : on pourra s'int\'eresser \`a $\max\{x,y\} + \min\{x,y\}$ et $\max\{x,y\} - \min\{x,y\}$});
\item en revenant à la d\'efinition de la limite.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\'Etudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\in\N^*}$, dont le terme général est donné par  :

\begin{tasks}(3)
\task{$u_n=\dfrac{n}{n^2+1}$,}
\task{$u_n=\left(n+\dfrac{2}{n^2}\right)^3-n^3$,} 
\task{$u_n={\left(n+\frac1n\right)\left(n-\frac1n\right)-n^2}$,}
\task{$u_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+1}$,}
\task{$u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$,}
\task{$u_n=\dfrac{2n^6+5n+1}{n^6-2}$,}
\task{$u_n=(-1)^n n$,}
\task{$u_n=\dfrac{2^{n}-3^{n}}{2^{n}+3^{n}}$,}
\task{$u_n=\sqrt[n]{n}$,}
\task{$u_n=2+\dfrac{\sin(n)-4}{n^2}$,}
\task{$u_n=n^{\frac{1}{\ln n}}$,}
\task{$u_n=\dfrac{(-5)^n+n}{3^n-1}$.}
%\task {$u_n=\dfrac{n!}{n^n}$.}
\end{tasks}

\end{exo}


\begin{exo} \'Etudier la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$ d\'efinie pour $n\in\N^*$ par 
\[u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}.\]
\end{exo}



\begin{exo} Pour tout $n \in \N$, posons $$u_n = \sqrt{n} - \lfloor \sqrt n \rfloor.$$
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la convergence des suites $(u_{n^2})_{n \in \N}$ et $(u_{n^2+n})_{n \in \N}$. 
\item En d\'eduire que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ ne converge pas .
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} \emph{Irrationalit\'e de $e$}. \\
  Pour tout $n \in \N^*$ on pose $\displaystyle{u_n=\sum_{p=0}^{n} \frac{1}{p!}}$ et $\displaystyle{v_n=\sum_{p=0}^{n} \frac{1}{p!} + \frac{1}{n!}}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers la m\^eme limite.
\item Posons $\displaystyle{e=\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n}$. Nous allons d\'emontrer que $e$ est un nombre irrationnel en raisonnant par l'absurde. Supposons qu'il existe deux entiers naturels $p,q \geqslant 1$ tels que $e = \frac{p}{q}$.
\begin{itemize}
\item \'Etablir l'encadrement $u_n < e < v_n$ pour tout $n\in\N^*$.
\item V\'erifier que $q! u_q$ et $q! v_q$ sont  deux nombres entiers cons\'ecutifs.
\item Conclure le raisonnement.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \geq 0$ on a : $x - \frac{1}{2}x^2 \leq  \ln(1 + x) \leq x$.
\item En d\'eduire la limite des suites de terme général :
\begin{tasks}(2)
\task $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$\task $v_n = \prod_{k = 1}^n {\left({1 + \frac{k}{n^2}} \right)}$.
\end{tasks}
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}{\emph{Somme harmonique}} \\
Pour tout $n\in\N^*$, on pose $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$. 
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $k\in\N^*$, $ \displaystyle \int_k^{k+1}\frac{dx}{x}\leq \frac{1}{k}$. 
 \item En d\'eduire la nature de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} \emph{Lemme de Ces\`aro}.
\begin{enumerate}
 \item Soit $(u_n)$ une suite r\'eelle. On d\'efinit la suite $(v_n)$ dont le terme g\'en\'eral est la moyenne arithm\'etique des $n$ premiers termes de la suite $(u_n)$:
 \[
  v_n = \frac{u_1+u_2+...+u_n}{n}.
 \]
 Montrer que si $(u_n)$ converge vers $\ell \in \overline{\bf R}$ alors $(v_n)$ converge \'egalement vers $\ell$.
 \item Soit $(u_n)$ une suite r\'eelle. On suppose que la suite $(u_{n+1} - u_n)_{n \in {\bf N}}$ converge vers $\ell \in \overline{\bf R}$. D\'emontrer que la suite $\left(\frac{u_n}{n}\right)_{n \in \N^*}$ converge vers $\ell$. .
 \item Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite strictement positive telle que $$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell \in {\bf R}_+ \cup \{+\infty\}.$$ D\'emontrer que la suite $(\sqrt[n]{u_n})_{n \in \N^*}$ converge vers $\ell$.
 \item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede $$\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{{2n}\choose{n}} \ \ \ {\rm et} \ \ \ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.$$
(\emph{Indication : pour la seconde suite, on pourra utiliser l'exercice 14})
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}\emph{Suites arithm\'etico-g\'eom\'etriques}.\\
Soit $(a,b)\in\R^2$ tel que $a\neq1$ et soit $u^{(0)}\in\R$. On d\'efinit par r\'ecurrence $(u_n)_{n\in\N}$ telle que : $u_0=u^{(0)}$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=au_n+b$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe $\alpha\in\R$ tel que $\alpha=a\alpha+b$.
\item Montrer que la suite $(v_n)_{n\in\N}=(u_n-\alpha)_{n\in\N}$ est une suite g\'eom\'etrique.
\item En d\'eduire l'expression de $u_n$ pour tout $n\in\N$.
\item \'Etudier la convergence de $(u_n)$. (\emph{Indication : on distinguera les cas $|a|<1$, $|a|>1$ et $a=-1$}).
\item Calculer, pour tout $n\in\N$, la somme $\sum_{k=0}^nu_k$.
\end{enumerate}
\end{exo}




\begin{exo} \\
Le but de cet exercice est d'\'etudier la suite d\'efinie par r\'ecurrence comme suit :
\[
 \left \lbrace
 \begin{array}{ll}
  u_{n+1}=2 u_n (1-u_n), & \quad  \forall \ n\geq0,\\
  u_0\in\R.
 \end{array}
 \right.
\]
\begin{enumerate}
 \item Soit $f: \R\rightarrow \R$ d\'efinie par $f(x)=2x(1-x)$ pour tout $x\in\R$. Dresser le tableau des variations de $f$ et dessiner son graphe.
 \item \'Etudier le signe de $f(x)-x$ pour tout $x\in\R$.
 \item Montrer que si $(u_n)$ converge, alors elle converge vers un point fixe de $f$. D\'eterminer les points fixes de $f$. Que peut-on dire de la suite $(u_n)$ si $u_0$ est l'un des points fixes de $f$ ?
 \item Montrer que les intervalles $]-\infty,0[$ et $]0,1/2[$ sont stables par $f$ et que $f$ est croissante sur ces intervalles. \emph{On dit qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ si $f(I)\subset I$}.
 \item On suppose que $u_0\in]0,1/2[$. Montrer que la suite $(u_n)$ est alors croissante \emph{(On pourra s'aider de la question 3.)} En d\'eduire la nature de la suite $(u_n)$. M\^eme question si $u_0\in]-\infty,0[$.
 \item \'Etudier la nature de la suite $(u_n)$ lorsque $u_0\in]1/2,+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}\\
Le but de cet exercice est d'\'etudier la suite définie par r\'ecurrence comme suit:
\[
 \left \lbrace
 \begin{array}{ll}
  u_{n+1}=u_n (u_n^2-1), & \quad  \forall \ n\geq0,\\
  u_0\in\R.
 \end{array}
 \right.
\]
\begin{enumerate}
 \item Soit $f: \R\rightarrow \R$ d\'efinie par $f(x)=x(x^2-1)$ pour tout $x\in\R$. R\'ep\'eter pour $f$ l'\'etude des questions 1 \`a 3 de l'exercice pr\'ec\'edent.
 \item Montrer que l'intervalle $[-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}]$ est stable par $f$ et que $f$ est d\'ecroissante sur cet intervalle.
 \item On suppose que $u_0\in[-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}]$. Montrer que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones et d\'eterminer leur monotonie en fonction du signe de $u_0$ \emph{(On pourra montrer que pour $x\in [-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}]$, on a $|f(x)|\leq |x|$).} Montrer que ces suites sont convergentes et d\'eterminer leurs limites.
 \item En d\'eduire la nature de la suite $(u_n)$ lorsque $u_0\in[-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}]$.
 \item On suppose que $u_0\in]-\sqrt{2},-\frac{1}{\sqrt{3}}[$. Montrer qu'il existe $n_0\in\N$ tel que $u_{n_0}\in [-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}]$. En d\'eduire la nature de la suite $(u_n)$ lorsque $u_0\in]-\sqrt{2},-\frac{1}{\sqrt{3}}[$. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ lorsque $u_0\in]\frac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{2}[$ ?
 \item \'Etudier la nature de la suite $(u_n)$ lorsque $u_0\in]-\infty,-\sqrt{2}[$ et lorsque $u_0\in]\sqrt{2},+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} \\
 En suivant la d\'emarche des exercices 18 et 19, \'etudier les suites d\'efinies par $u_0\in\R$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$, o\`u la fonction $f$ est donn\'ee par:
\begin{tasks}(3)
\task $f(x) = x^2$,
\task $f(x)= x^2+1$, 
\task $f(x) = \sqrt{1+x}$,
\task $f(x) = 1+\ln(x)$,
\task $f(x)=e^x-1$,
\task $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2+x}$.
\end{tasks}
\emph{Pour certaines valeurs de $u_0$, la suite $(u_n)$ peut ne pas \^etre d\'efinie \`a partir d'un certain rang}.
\end{exo}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\forall x\in[3,5]$, $3\leq3+\frac{4}{x}\leq5$.
\item On d\'efinit $\varphi:[3,5]\to[3,5],\ x\mapsto 3+\frac{4}{x}$.
\begin{tasks}(1)
\task D\'eterminer l'ensemble des points fixes de $\varphi$.
\task Montrer que : $\forall x\in[3,5]$, $|\varphi(x)-4|\ \leq\ \frac{|x-4|}{2}$.
\end{tasks}
\item On consid\`ere la suite $(u_n)\in[3,5]^{\N^\star}$ d\'efinie par $u_1=5$ et, pour tout $n \in \N^\star$, $u_{n+1}=3+\dfrac{4}{u_n}$.
\begin{tasks}(1)
\task Montrer que $(u_n)$ converge et donner sa limite $\ell$.
\task D\'eterminer un entier $N\in\N^\star$ tel que, pour tout $n\in\N^\star$ tel que $n\geq N$, $u_n$ soit une valeur approch\'ee de $\ell$ \`a $10^{-6}$ pr\`es.
\end{tasks}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} \emph{Calcul approch\'e de $\sqrt{a}$}. \\
Soit $a > 0$ et $(u_n)$ la suite d\'efinie par $u_0 > 0$ et
$ \forall n \in \N$, $u_{n + 1} = \frac{1}{2}\left({u_n + \frac{a}{u_n}} \right)$.
\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble de définition et le tableau de variations de la fonction $\varphi:x\mapsto \frac{1}{2}\left({x + \frac{a}{x}} \right)$.
\item \'Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.
\item On pose pour tout $n \in \N$, $ \displaystyle v_n = \frac{u_n - \sqrt a}{u_n + \sqrt a}$.\\
Calculer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_n$, puis $v_n$ en fonction de $v_0$ et $n$.
\item Montrer que, si $u_0 > \sqrt a$, on a $|u_n - \sqrt a| \leq 2u_0.v_0^{2^n}$.
\end{enumerate} 
Ainsi, $u_n$ r\'ealise une approximation de $\sqrt a$ \`a la pr\'ecision $2u_0.v_0^{2^n}$.
\end{exo}


\begin{exo} \\
Montrer que:
\[
 \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \cdots}}} = 1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{1 + \ddots}}}
\]
\end{exo}



\begin{exo}
Soit $(a_n)_{n\in\N^*}\in(\R_+^*)^{\N^*}$. Pour tout $n\in\N^\star$, on note $f_n$ la fonction
$$
f_n:\ \begin{array}{rcl}\R&\longrightarrow&\R\\x&\longmapsto& 1-\sum_{i=1}^n a_i x^i\end{array}\ .
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in\N^\star$, il existe un unique $x_n\in\R_+$ tel que $f_n(x_n)=0$.
\item Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\N}$ est d\'ecroissante.
\item En d\'eduire qu'elle converge.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}\\
Soit $n$ un entier naturel et $E_n$ l'\'equation $x + \tan x = n$ d'inconnue $x \in  ]- \pi / 2, \pi / 2[$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que l'\'equation $E_n$ poss\`ede une solution unique not\'ee $x_n$.
 \item Montrer que la suite $(x_n)$ converge et d\'eterminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}\\ Soient $I$ un intervalle et $(f_n)_{n \in {\bf N}}$ une suite de fonctions de $I$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $n \in \N$ :
\begin{itemize}
\item l'\'equation $f_n(x) = 0$ d'inconnue $x \in I$ admet une unique solution $x_n$ ;
\item la fonction $f_n$ est strictement croissante sur $I$ ; 
\item pour tout $x \in I$, $f_n(x) \leqslant f_{n+1}(x)$. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Conjecturer, \`a partir d'un dessin, le sens de monotonie de la suite $(x_n)_{n \in N}$.
\item D\'emontrer rigoureusement cette conjecture.
\item Application : consid\'erer la suite des fonctions $f_n$ d\'efinies sur $\R_+^*$ par $f_n(x) = x^n\ln(x)-1$.
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo} \\
Montrer que l'\'equation $x{e}^x = n$ poss\`ede pour tout $n \in \N$, une unique solution $x_n$ dans $\R_{ + }$. \'Etudier la convergence de la suite $(x_n)$.
\end{exo}

 



\end{document}
