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%---- Dimensions des marges ---
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbf{N}}
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\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}
\newcommand{\dspt}{\displaystyle}
\newcommand {\suite}[3]{{#1}_{#2},\ldots,{#1}_{#3}}
%\newcommand {\choose}[2]{{#1},\ldots,{#2}}
\DeclareMathOperator{\Card}{\mathrm{Card}}

\newcommand{\et}{\ \mbox{et} \ }


%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des math\'ematiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no7a} \\ \textsc{Nombres complexes (premi\`ere partie : sans la forme trigonométrique)} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
\newenvironment{exo}[1][]
{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}




 \begin{document}
\entete
\noindent {\bf 1. Calculs, partie réelle, partie imaginaire, conjugué, module}
\vskip2mm
\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item
Calculer $i^n, \ n \in \Z$.
\item
Calculer $(1+i)^8$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item
\'Ecrire le conjugu\'e  de $z = \displaystyle{\frac{4-5i}{3+i}}$, puis pr\'eciser sa partie r\'eelle et sa partie imaginaire.
\item  Soit $z$ un complexe. Exprimer le conjugu\'e  de $\displaystyle{w = \frac{2z^2 - i}{5z + 1}}$ en fonction de \(\bar z\).
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $z\in\C^\star$, exprimer $1/z$ sous forme algébrique.
\item Pour tout $(a,b)\in \R^2\setminus\{(0,0)\}$ et tout $(c,d)\in\R^2$, déterminer l'ensemble des $(x,y)\in\R^2$ vérifiant
  \[
  \left\{\begin{aligned}
  ax-by&=c,\\
  bx+ay&=d.
  \end{aligned}\right.
  \]
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On note $\displaystyle{j = - \frac{1}{2}+ i \frac{\sqrt{3}}{2}}$.
\begin{enumerate}
%\item
%Soit $z, z' \in \C.$ Re\'ecrire en fonction de  $\overline{z} \et \overline{z'}$ les expressions suivantes ~:
%$\overline{z + z'}, \ \overline{-z}, \ \overline{z\cdot z'}, \ \overline{z^n}, \displaystyle{\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)}}$  \ $(z' \not=0).$
%\item  Trouver le conjugu\'e  de $\displaystyle{w = \frac{2z^2 - i}{5z + 1}}.$
\item Soit $P$  une fonction polynômiale à coefficients réels, c'est-à-dire qu'il existe un entier naturel \(n\) et des réels \(a_0,\,a_1,\dots,\,a_n\) tels que pour tout \(z\in\C\), \(P(z)=\sum_{k=0}^na_kz^k\).

  Soit \(z\) un nombre complexe. Montrer que si $P(z)=0$, alors $P(\overline z)=0$
\item Calculer $j\overline j$ et $j+\overline j$.

\item En déduire $j(-1-j)$, puis constater que $j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$. Quelle est l'autre solution ?

\item À la lumière des questions précédentes, résoudre l'équation $z^3=1$, d'inconnue \(z\in\C\).

\item Sans calculer \(1/j\) ni \(j^2\), utiliser la question 4. pour justifier que $\overline j=\displaystyle\frac 1 j =j^2$.
\end{enumerate}

\end{exo}
\begin{exo}
Déterminer l'ensemble des nombres complexes  $z$ tels que $\displaystyle{\frac{iz -1}{z -i}}$ soit r\'eel.

\end{exo}
\begin{exo}
R\'esoudre $z^2 = \bar{z}$, d'inconnue $z\in\C$. 
\end{exo}

\begin{exo} Soit $z\in\mathbb C$. Montrer que $|z-i|=|z+i|$ si et seulement si $z$ est réel.
\end{exo}

\begin{exo} Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module 1 tels que $zz'\neq -1$. Démontrer que
$\dfrac{z+z'}{1+zz'}$ est réel, et préciser son module.
\end{exo}

\begin{exo} Soient $u$, $v$ et $w$ trois nombres complexes tels que $|u|=|v|=|w|=1$. \'Etablir la relation :

$$|uv+vw+wu|=|u+v+w|.$$

\end{exo}

\begin{exo}

Soient $u$ et $v$ deux nombres complexes distincts tous deux de module $1$. Montrer que pour tout complexe $z$, le nombre complexe $\left(\displaystyle{\frac{z+uv\overline z-(u+v)}{u-v}}\right)^2$ est un nombre réel négatif ou nul.

\end{exo}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
 \item Soit $P(X)=X^3+aX^2+bX+c$ un polyn\^ome \`a coefficients dans $\C$. Pour quelle valeur de $t \in \C$ le polyn\^ome $P(X+t)$ est-il de la forme
$$X^3+3pX+q$$
avec $p,q \in \C$ ? 
\item Soient $p, q \in \C$. On s’int\'eresse \`a
une m\'ethode de calcul des racines du polyn\^ome $R = X^3+3pX+q$, dite \emph{m\'ethode de Cardan}. On note $\alpha$ et $\beta$ les deux racines, \'eventuellement
\'egales, du polyn\^ome $X^2+qX-p^3$ et $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ les trois racines cubiques de $\alpha$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\alpha + \beta$ et $\alpha \beta$ en fonction de $p$ et $q$.
\item D\'emontrer que $\gamma_k - \frac{p}{\gamma_k}$ est une racine de $R$ pour tout $k \in \{1,2,3\}$.
\end{enumerate}
 \item On pose : $P = X^3+3X^2+6X+2$.
 \begin{enumerate}
\item Appliquer \`a $P$ le proc\'ed\'e de la question 1. 
\item D\'eterminer les racines du polyn\^ome $R$ d\'eduit de $P$, puis celles de
$P$, en exploitant la méthode de Cardan de la question 2.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exo}

\vskip4mm
{\bf 2. Autour des racines carrées}
\vskip2mm
%\begin{exo} Résoudre en $z \in \C$ l'équation $\displaystyle{e^z=3\sqrt 3-3i}$.
%\end{exo}

\begin{exo} Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants :
  \begin{tasks}(3)
    \task \(\Delta_1=49\)
    \task \(\Delta_2=-25\)
    \task \(\Delta_3=50i\)
    \task \(\Delta_4=3+4i\)
    \task \(\Delta_5=8-6i\)
    \end{tasks}
\end{exo}
%\begin{exo} Déterminer les racines carrées de $Z=\sqrt 3+i$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
%En déduire la valeur de $\cos\left(\dfrac\pi{12}\right)$.
%\end{exo}

\begin{exo} Résoudre les équations du second degré suivantes :
  \begin{tasks}(3)
    \task \( z^2+2z+10=0\)
    \task \(z^2-2iz-1+2i=0\)
    \task \(iz^2+(4i-3)z+i-5=0.\)
  \end{tasks}
\end{exo}

\begin{exo} Résoudre l'équation suivante :
$ z^2-2 \overline{z}+1=0.$
\end{exo}

\begin{exo}
On consid\`ere l'\'equation en $z\in \C$ suivante~: $
z^3+(1-3i)z^2-(6-i)z+10i=0.$
\begin{enumerate}
\item
D\'eterminer une racine r\'eelle $z_0$ de cette \'equation.
\item
Pour $z\in\C$, factoriser $z^3+(1-3i)z^2-(6-i)z+10i$ par
$(z-z_0)$.
\item
R\'esoudre l'\'equation.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
