\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,theorem,graphicx}
\usepackage[french]{babel}
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tasks}
%\pagestyle{empty}


%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}


%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbf{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}
\newcommand{\C}{\mathbf{C}}
\newcommand{\K}{\mathbf{K}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}
\newcommand{\dspt}{\displaystyle}
\newcommand {\suite}[3]{{#1}_{#2},\ldots,{#1}_{#3}}
%\newcommand {\choose}[2]{{#1},\ldots,{#2}}
\DeclareMathOperator{\Card}{\mathrm{Card}}

\newcommand{\et}{\ \mbox{et} \ }


%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des math\'ematiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no7c} \\ \textsc{Nombres complexes (troisi\`eme partie : g\'eom\'etrie)} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
 \newenvironment{exo}[1][]
 {\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}


 \begin{document}
\baselineskip=0.6cm
\entete


{\bf 7. Polygones}
\vskip2mm

\begin{exo} Soient $u$ et $v$ deux nombres complexes. \'Etablir l'identit\'e suivante, dite \og du parall\'elogramme\fg \ :
$$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).$$
Pourquoi ce nom ?
\end{exo}

\begin{exo} Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres complexes distincts qui v\'erifient les deux relations :
$$a+c=b+d\qquad\hbox{ et }\qquad a+ib=c+id.$$
Que peut-on dire du quadrilat\`ere form\'e des quatre points ayant ces nombres complexes pour affixes ?
\end{exo}

\begin{exo} Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres complexes qui sont affixes de trois points formant dans le plan un triangle équilat\'eral.
Montrer que :
$$\left(\frac{a-c}{b-c}\right)^3=-1.$$
\end{exo}
%\exo Sur chacun des côtés d'un quadrilatère convexe, on construit un carré, à l'extérieur du quadrilatère initial. On relie par deux segments les centres des carrés construits sur des côtés opposés du quadrilatère initial. Montrer, en utilisant des calculs dans le plan complexe, que les deux segments ainsi construits sont perpendiculaires et ont la même longueur.

\begin{exo} Soit $\theta$ un nombre r\'eel, avec $0\leqslant\theta\leqslant\pi$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'ensemble des solutions complexes de l'\'equation :
$z^6-2z^3\cos\theta+1=0.$
\item  Pour quelles valeurs de $\theta$ ces solutions sont-elles les affixes des sommets d'un hexagone r\'egulier ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\vskip4mm
{\bf 8. Transformations affines}
\vskip2mm

\begin{exo} Rappeler l'expression en terme de nombres complexes des transformations suivantes :
\begin{enumerate}
\item La translation de vecteur $v \in \C$.
\item  L'homoth\'etie de centre $a \in \C$ et de rapport $\lambda \in \R^*$.
\item  La rotation de centre $a \in \C$ et d'angle $\theta \in \R$.
\item La sym\'etrie par rapport à un axe passant par $a \in \C$ et faisant un angle $\theta \in \R$ avec l'axe r\'eel.
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
On rappelle l'identification canonique entre $\R^2$ et $\C$ via l'application affixe et sa réciproque:
$$
\begin{array}{rcl}\R^2 & \to & \C \\ (x,y) & \mapsto & x+iy \end{array}
\qquad\textrm{et}\qquad
\begin{array}{rcl} \C & \to & \R^2 \\ z & \mapsto & (\rm{Re}~z,{\rm Im}~z)\end{array}\ .
$$
\begin{enumerate}
\item Identifier les transformations du plan ayant l'\'ecriture complexe suivante :
  \begin{tasks}(3)
    \task \(f_1(z) =  z +3 -2i,\)
    \task \(f_2 (z) = e^{i2\pi/7} z,\)
    \task \(f_3 (z) =  e^{i2\pi/3} z - 1,\)
    \task \(f_4 (z) =  3z - 5 + i,\)
    \task \(f_5 (z) =  (2+2i) z + 3i.\)
  \end{tasks}
\item Donner l'\'ecriture complexe des transformations du plan suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item La translation du vecteur d'affixe $-2 +i$ ;
  \item La sym\'etrie centrale de centre $i$ ;
  \item La rotation d'angle $\pi/6$ et de centre $1$ ;
  \item L'homoth\'etie de rapport $3$ et de centre d'affixe $1+2i.$ ;
  \item La similitude de rapport 2 et d'angle $\pi/3$ et de centre $1+i.$
  \end{enumerate}
  
\item  D\'ecrire g\'eom\'etriquement  et d\'eterminer la nature des similitudes correspondant aux applications suivantes :
  $$\varphi_1:\ z\mapsto \left(\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z+3,  \qquad \varphi_2: \ z\mapsto i\,\bar z.$$
\item D\'emontrer que la composée de deux symétries est une translation ou une rotation.
\item D\'emontrer que la composée de deux rotations est une translation ou une rotation.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $s$ une similitude directe telle que $s(2-i) = 1$ et $s(-1+2i) = 1 +6i.$ D\'eterminer l'homoth\'etie $h$ et la rotation $r$ telles que $s = h\circ r.$ Donner l'affixe du point fixe de $s.$
\end{exo}



\begin{exo} On dit qu'un ensemble d'applications $E$ est \emph{stable par composition} si $f \circ g \in E$ pour toutes applications $f, g \in E$. Les ensembles suivants de transformations planes sont-ils ou non stables par composition ?

\begin{enumerate}
\item L'ensemble des translations ?
\item L'ensemble des homoth\'eties ?
\item L'ensemble des homoth\'eties de rapport strictement sup\'erieur à 1 ?
\item L'ensemble des homoth\'eties et des translations ?
\item L'ensemble des sym\'etries par rapport \`a des droites ?
\item L'ensemble des rotations ?
\item L'ensemble des sym\'etries et des rotations ?
\item L'ensemble des sym\'etries, des rotations et des translations ?
\item L'ensemble des similitudes directes ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On se place dans le plan complexe. Soit $j$ le nombre complexe de module $1$ et
d’argument $\frac{2\pi}{3}.$ Soit $r$ la transformation du plan, qui,
\`a un point $M$ d’affixe $z,$ associe le point
$M_0$ d’affixe
$z_0 = jz + 3.$\begin{enumerate}
\item
 D\'eterminer les points invariants (points fixes) de $r,$ et la nature de la transformation $r.$
\item Soit $M$ un point d’affixe $z.$ Calculer l’affixe du point $r^2(M),$ o\`u on note $r^2 = r \circ r,$ et
d\'eterminer la nature de la transformation $r^2.$
\item  Soit $M$ un point d’affixe $z.$ Calculer l’affixe du point $r^3(M),$ o\`u  $r^3 = r \circ r \circ r.$
Que peut-on dire de la transformation $r^{-1}$
du plan ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}On identifie $\R^2$ et $\C.$
 On consid\`ere la transformation $f: \C \to \C$ d\'efinie, pour $z\in \C,$ par 
 $$f(z) = 2 \overline{z} + 3 - 4i.$$
 \begin{enumerate}
 \item Calculer le(s) points fixe(s) de $f.$
 \item Quelle est la nature de l'application $f$ ?
 \item Donner une \'equation cart\'esienne du cercle $C$ de centre $1-i$ et de rayon $2.$
 \item Calculer $f(1-i).$ En d\'eduire une \'equation cart\'esienne de l'image de $C$ par la transformation $f.$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}  Soient $f$ et $g$ les deux transformations du plan complexe d\'efinies par $f(z) = -z-2i$ et $g(z) = 2z-1-i$.
 \begin{enumerate}
  \item D\'eterminer les points fixes de $f$ et $g$.
  \item D\'emontrer que $f$ et $g$ sont deux homoth\'eties dont on donnera
le centre et le rapport.
  \item D\'emontrer que $f\circ g$ est une homoth\'etie dont on donnera le
centre et le rapport.
  \item D\'emontrer que ces trois centres sont align\'es.
 \end{enumerate}
\end{exo}

 \vskip4mm
{\bf 9. Quelques ensembles de points}
\vskip2mm

\begin{exo} Pour chacune des relations suivantes, d\'eterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ qui la v\'erifient :
  \begin{tasks}(4)
    \task $|(1-i)z-3i|=3$
    \task $|1-z|\leqslant 1/2$
    \task ${\rm Re}(1-z)\leqslant \frac{1}{2}$
    \task ${\rm Re}(iz)\leqslant \frac{1}{2}$
    \task $\left|1-\frac{1}{z}\right|^2=2$
    \task $\left|\frac{z-3}{z-5}\right|=1$
    \task $\left|\frac{z-3}{z-5}\right|=2$
    \task $\left|\frac{z-3}{z-5}\right| <2$
  \end{tasks}
\end{exo}

\begin{exo} Montrer que, dans le plan complexe, l'ensemble $\left\{\displaystyle{\frac{1}{1+it}}\ , \ t\in \R \right\}$ est contenu dans le cercle de centre $1/2$ et de rayon $1/2$. Est-ce le cercle tout entier ?
\end{exo}

\end{document}
