\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article}
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%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
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\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

\newcommand{\dspt}{\displaystyle}
\DeclareMathOperator{\Card}{\mathrm{Card}}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre d'automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des Math\'ematiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no8} \\ \scshape{Analyse asymptotique}
    \textsc{} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{0.2cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
\newenvironment{exo}[1][]
{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\baselineskip=0.6cm
 \entete
\begin{exo}
\og Nettoyer \fg \ les expressions suivantes :

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle f(x) =_{x \rightarrow 0} \ \frac{1}{x^2} + {\rm o}\left(\frac{1}{x^2}\right) + 3 + \frac{1}{x} + {\rm o}\left(\frac{1}{x}\right).$
\item $\displaystyle u_n = _{n \rightarrow +\infty} \ \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2^n} + {\rm o}\left(\frac{1}{2^n}\right) + \frac{1}{n} + {\rm o}\left(\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{n^2}.$
\item $\displaystyle g(x) = _{x \rightarrow 0} \ x + {\rm o}(x) + x\ln(x) + {\rm o}(x^2\ln x) + x^2 + {\rm o}(x^2).$
\item $\displaystyle v_n = _{n \rightarrow +\infty} \ \frac{1}{n} + \frac{\ln n}{n} + {\rm o}\left(\frac{\ln n}{n}\right) + \frac{1}{n^2} + {\rm o}\left(\frac{1}{n^2}\right) + \frac{1}{n\ln n} + {\rm o}\left(\frac{1}{n\ln n}\right).$
\item $\displaystyle w_n =_{n \rightarrow +\infty} \ n + {\rm o}(n) + \sqrt{n} + {\rm o}(\sqrt{n}) + \frac{n^2}{\ln n} + n\ln n + {\rm o}(n \ln n).$
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item En interpr\'etant les expressions suivantes comme des taux d'accroissement, calculer les limites suivantes lorsque $x$ tend vers $0$ :
\begin{tasks}(3)
\task{$\frac{\sin(x)}{x}$,}
\task{$\frac{\tan(x)}{x}$,}
\task{$\frac{e^x-1}{x}$,}
\task{$\frac{{\rm sh}(x)}{x}$,}
\task{$\frac{(1+x)^\alpha - 1}{x}$, o\`u $\alpha \in {\bf R}^*$.}
\end{tasks}
\item En exploitant l'identit\'e $\cos(x) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ pour tout $x \in {\bf R}$, calculer $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}.$$
\item Soit $(u_n)_{n \in {\bf N}}$ une suite r\'eelle qui converge vers $0$. Donner des \'equivalents simples lorsque $n$ tend vers $+\infty$ des suites de terme g\'en\'eral ci-dessous :
\begin{tasks}(3)
\task{$\sin(u_n)$,}
\task{$\tan(u_n)$,}
\task{$e^{u_n}-1$,}
\task{${\rm sh}(u_n)$,}
\task{$1-\cos(u_n)$,}
\task{$(1+u_n)^\alpha-1$, o\`u $\alpha \in {\bf R}^*.$}
\end{tasks}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Donner des \'equivalents simples lorsque $n$ tend vers $+\infty$ pour les suites de termes g\'en\'eral ci-dessous :
\begin{tasks}(3)
\task{$u_n = n^{\frac{1}{n}}-1$,}
\task{$u_n = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}$,}
\task{$u_n = \ln(n + \sqrt{n^2+1})$,}
\task{$u_n = (n+3\ln(n)) e^{-(n+1)}$,}
\task{$u_n = \frac{n!+e^n}{2^n+3^n}$,}
\task{$u_n = n\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)$.}
\end{tasks}
\end{exo}


\begin{exo} Soit $(u_n)_{n \in {\bf N}}$ une suite r\'eelle \`a termes positifs.
D\'emontrer que les trois assertions suivantes sont \'equivalentes : 
\begin{tasks}
\task{La suite $(u_n)$ ne tend pas vers $+\infty$.}
\task{On peut extraire de $(u_n)$ une sous-suite major\'ee.}
\task{On peut extraire de $(u_n)$ une sous-suite convergente.}
\end{tasks}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $(u_n)_{n \in {\bf N}}$ la suite d\'efinie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{|n^2-u_n|}$ pour tout $n \in {\bf N}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\in\N$, on a $u_n\leq n$.
\item En d\'eduire un \'equivalent de $u_n$ quand $n\to\infty$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $(u_n)_{n \in {\bf N}}$ la suite d\'efinie par $$u_0 = 1 \ \ {\rm et} \ \ u_{n+1} = 1+\frac{n}{u_n} \ \ \textrm{pour tout } n \in \mathbf{N}.$$
\'Etablir l'encadrement $$\sqrt{n} \leqslant u_n \leqslant \sqrt{n}+1$$
pour tout $n \in {\bf N}$, puis en d\'eduire un \'equivalent simple de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{exo}

\vskip2mm
\begin{exo} Pour tout $n \in {\bf N}$, posons $$a_n = \sqrt{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} \ \ \ {\rm et} \ \ \ b_n = \sqrt{\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}}.$$

\vskip1mm D\'eterminer des \'equivalents simples lorsque $n$ tend vers $+\infty$ des suites $(a_n)$, $(b_n)$ et $(a_n+b_n)$.
\end{exo}


\begin{exo}
Calculer les limites suivantes :
\begin{tasks}(3)
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x+5}{3x-4}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^3-1}{x^2-1}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} \left(\frac{1}{1-x} - \frac{1}{1-x^2}\right)$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}-1}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+x+1} - (x+1)$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(2x)}{\sqrt{x}}$,}
\task{$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2\sin(1/x)}{\sin(x)}$,}
\task{$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{\cos(\pi x)}{1-2x}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} (2x^2+x-1) \tan(\pi x)$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \ \frac{\cos(x)-1}{x^2}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(\cos(3x))}{\ln(\cos(2x))}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x^2)}{\sin(x)^2}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} (\ln x)^2 - \sqrt{x}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(1+x)}{\ln(x)}$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{x} \ln(x)^3$,}
\task{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\exp(\ln(x)^2)}{x^n}$.}
\end{tasks}
\end{exo}


\begin{exo}
D\'eterminer tous les nombres r\'eels $a,b$ tels que $$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{a}{\ln(1+x)} - \frac{b}{e^x-1}\right) = 0.$$ 
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : {\bf R} \rightarrow {\bf R}$ une fonction p\'eriodique admettant une limite finie en $+\infty$. Que peut-on dire de $f$?
\end{exo}

\begin{exo} D\'emontrer que les fonctions suivantes n'ont pas de limite :

\begin{tasks}(2)
\task{$x \mapsto \sin(\cos(x))$ en $+\infty$ ;} 
\task{$x \mapsto \sin\left(x + \frac{1}{x}\right)$ en $0$ ;}
\task{$x \mapsto \frac{x^x}{{\lfloor x \rfloor}^{\lfloor x \rfloor}}$ en $+\infty$ ;}
\task{$x \mapsto \cos\left(e^{1/x^2}\right)$ en $0$.}
\end{tasks}
\end{exo}


\end{document}
