\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article}
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%\pagestyle{empty}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
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%---- Ensembles : entiers, reels, complexes... ----
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}

\newcommand{\dspt}{\displaystyle}
\DeclareMathOperator{\Card}{Card}
\DeclareMathOperator{\pgcd}{pgcd}


%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre d'automne 2019--2020}\\
  %  Module
  \noindent {Fondamentaux des Math\'ematiques I\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no9} \\ \scshape{Arithmétique}
    \textsc{} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{0.2cm}
}

%--------- Exercice--------------
\newcounter{exercice}\setcounter{exercice}{1}
\newenvironment{exo}[1][]
{\pagebreak[3]                           \bigskip                           {\noindent  {\bf \underline{Exercice \theexercice.}} #1}                         }{\stepcounter{exercice} \medskip}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\baselineskip=0.5cm
\entete

%\vskip0.5cm

\begin{exo}
  Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ pour les valeurs
  de $a$ et $b$ suivantes:
  
  \begin{tasks}(2)
    \task $a=2867$ et $b=6$ ;
    \task $a=7813$ et $b=-12$ ;
    \task $a=-959$ et $b=6$ ;
    \task $a=-1733$ et $b=-5$.
  \end{tasks}
\end{exo}

  
\begin{exo}
  Soit $(a,b)\in\N\times\N^*$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $b$ divise $a$, alors $2^b-1$ divise $2^a-1$.
  \item On note $r$ le reste de la division euclidienne de~$a$
    par~$b$. Montrer que $2^r-1$ est le reste de la division euclidienne
    de~$2^a-1$ par~$2^b-1$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
  Montrer qu'il n'existe pas de couple $(a,b)\in\Z^2$ tel que
  $7a-4b^3=1$.
  \emph{(Indication : raisonner modulo \(7\)).}
\end{exo}

\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer un entier $k_0\in\N^*$ tel que $7^{k_0}\equiv1\;[12]$.
    \item Déterminer un entier $k_1\in\N^*$ tel que $6^{k_1}\equiv0\;[12]$.
    \item Déterminer un couple $(k_2,k_3)\in\N^2$ tel que $k_2<k_3$ et
      $3^{k_2}\equiv3^{k_3}\;[12]$.
    \item Déterminer les restes de la division euclidienne par~$12$ des
      nombres suivants: $7^{30}$, $6^{13}$, $3^{17}$, $31^{77}$,
      $19^5+30^{144}+15^{10}$.
    \end{enumerate}
  \item Démontrer que \(2^{123}+3^{121}\) est divisible par \(11\). 
  \item Déterminer le reste de la division euclidienne de $122^{137}$
    par~$9$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
  Déterminer le dernier chiffre de l'écriture décimale de $3^{1111}$.
\end{exo}


\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Calculer le plus grand diviseur commun de $126$ et $230$.
  \item Soit $(a,b,c)\in\Z^3$. Soit \(n\in\Z\). Montrer que \(n\) divise $a$, $b$ et $c$ si, et
    seulement si, il divise~$\pgcd(a,b)$ et \(c\). En déduire que
    \[
    \pgcd(\pgcd(a,b),c)=\pgcd(a,\pgcd(b,c)).
    \]
    On définit alors \(\pgcd(a,b,c)=\pgcd(\pgcd(a,b),c)\).
  \item   
    Calculer le plus grand diviseur commun des triples d'entiers suivants:
    \begin{tasks}(2)
      \task \((390,720,450)\) ;
      \task \((180,606,750)\).
    \end{tasks}
  \end{enumerate}
  
\end{exo}


\begin{exo}
  Déterminer les couples d'entiers naturels $(m,n)$ tels que
  \begin{tasks}(2)
    \task \(\pgcd(m,n)=18\ \text{et}\ m+n=360\) ;
    \task \(\pgcd(m,n)=18\ \text{et}\ mn=6480\).
  \end{tasks}
\end{exo}


\begin{exo} Soit $(a,b)\in\Z^2$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $\pgcd(a,b)=1$, alors pour tout $(p,q)\in\Z^2$, on a
    l'équivalence: $ap=bq$ si, et seulement si, il existe $k\in\Z$ tel que
    $p=bk$ et $q=ak$.
  \item Étudier la réciproque.
\end{enumerate}
  
\end{exo}


\begin{exo}
  Trouver les couples $(a,b)\in\Z$ solutions des équations suivantes:
  \begin{tasks}(3)
    \task \(18a+5b=11\) ;
    \task \(39a-12b=121\) ;
    \task \(14a-21b=49\).
  \end{tasks}
\end{exo}


\begin{exo} Déterminer les solutions~$n\in\Z$ des systèmes suivants:
  \begin{tasks}(4)
    \task \(\displaystyle\begin{cases}n\equiv1\;[20]\\n\equiv3\;[7]\,;\end{cases}\) 
    \task \(\displaystyle\begin{cases}n\equiv13\;[15]\\n\equiv6\;[10]\,;\end{cases}\) 
    \task \(\displaystyle\begin{cases}n\equiv11\;[15]\\n\equiv6\;[10]\,;\end{cases}\)
    \task \(\displaystyle\begin{cases}n\equiv3\;[224]\\n\equiv17\;[119].\end{cases}\)
  \end{tasks}
\end{exo}


\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soit $(a,b)\in\Z^2$. Montrer que $\pgcd(a,b)=1$ si et seulement si
    $\pgcd(a+b,ab)=1$.
  \item A-t-on, pour tout $(a,b)\in\Z^2$, $\pgcd(a,b)=\pgcd(a+b,ab)$?
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
  Déterminer les valeurs de l'entier~$n$ pour lesquelles la fraction
  $\dfrac{n+2}{n+9}$ est irréductible?
\end{exo}


\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Soit \(n>1\) un nombre entier. Démontrer que, si \(n=km\) avec \(k,m\) des entiers, et \(k\) impair, alors \(2^m+1\) divise \(2^n+1\).
    En déduire que si \(2^n+1\) est premier, alors \(n\) est une puissance de \(2\).
  \item Étant donné \(n\in\N\), on pose \(F_n=2^{2^n}+1\) ; cet entier est appelé \(n\)-ième nombre de Fermat.
    \begin{enumerate}
    \item Calculer \(F_0,\ F_1,\ F_2,\ F_3\) et \(F_4\).
    \item Démontrer que, pour tout \(n\in\N\),
      \[
      F_{n+1} = F_0 F_1 \cdots F_n + 2.
      \]
    \item En déduire que \(F_n\) et \(F_m\) sont premiers entre eux si \(m\) et \(n\) sont distincts.
    \end{enumerate}
  \item Déduire de ce qui précède une démonstration de l’infinitude de l’ensemble des nombres premiers.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
  \begin{enumerate}
  \item Donner la décomposition en facteurs premiers de $12$.
  \item Énumérer les diviseurs de $12$.
  \end{enumerate}
\end{exo}




\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Soit $N\in\N^*$. Exprimer à l'aide de la décomposition en facteurs
  premiers de $N$ le nombre~$\sigma_0(N)$ de diviseurs positifs de~$N$
  et leur somme~$\sigma_1(N)$.
\item Déterminer l'ensemble des entiers positifs possédant $6$ diviseurs
  positifs dont la somme est~$28$.
\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}
  Montrer que pour tout entier~$n$, $n^5-n$ est divisible par~$15$.
\end{exo}

\end{document}
