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\documentclass[a4paper]{article}
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\title{Devoir Maison}
\author{}
\date{}

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\rhead{Maths Avancées, 2020--2021}
\lhead{Devoir maison}
\correc{\lhead{Corrigé du devoir maison}}
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\begin{document}
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\thispagestyle{plain}
\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir maison : trigonométrie et nombres complexes}
  \correc{\\\LARGE Corrigé}
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em Les exercices peuvent être traités indépendamment les uns des autres. L'exercice \ref{ex:form} peut être vu comme une extension du cours : on utilise les nombres complexes pour trouver/retrouver des formules trigonométriques.
  
\noindent L'exercice \ref{ex:pb} traite des intégrales de Wallis. Il est un peu plus difficile que le reste du sujet.} 

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}

%\noindent\rule{8cm}{0.4pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex
Expliquer si les nombres suivants sont bien définis, et les calculer le cas échéant :
\begin{enumerate} 
\item  \(\sin(\arcsin(\pi))\) ;
\item  \(\arcsin(\sin(\pi))\) ;
\item \(\tan(\arctan(1))\) ;
\item \(\arctan(\tan(1))\).
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sol{
  \begin{enumerate}
  \item \(\arcsin\) est définie sur \([-1,1]\), donc le nombre n'est pas défini.
  \item \(\arcsin(\sin(\pi)) = \arcsin(0) = 0 \)
  \item \(\arctan\) est la fonction réciproque de \(\tan\) restreinte à l'intervalle \(\osbra{-\pi/2,\pi/2}\), et donc par définition pour tout \(x\in\osbra{-\pi/2,\pi/2}\), \(\arctan(\tan(x))=\tan(\arctan(x))=x\), d'où \(\tan(\arctan(1))=1\) et
  \item \(\arctan(\tan(1))=1\).
  \end{enumerate}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex\label{ex:form}
Dans cet exercice, on se propose de retrouver quelques formules de trigonométries grâce aux nombres complexes. On rappelle que si \(\theta\in\R\),
\[
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.
\]

\begin{enumerate}
\item (Formule de Moivre) Montrer que pour tout \(n\in\Z\) et tout \(\theta\in\R\),
  \[
  (\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta).
  \]
\item (Formules d'Euler) Montrer que pour tout \(\theta\in\R\),
  \[
  \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\cos\theta, \quad \text{et} \quad
  \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\sin\theta.
  \]
\item En déduire la \emph{formule de linéarisation} suivante :
  \[
  (\cos\theta)^3 = \frac{1}{4}\cos(3\theta)+\frac{3}{4}\cos\theta.
  \]
\item En utilisant le fait que \(e^{i(x+y)} = e^{ix}e^{iy}\), démontrer les formules du cours permettant d'exprimer \(\sin(x+y)\) et \(\cos(x+y)\) en fonction de \(\cos x,\sin x,\cos y,\sin y\).
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sol{
  \begin{enumerate}
  \item On peut le démontrer par récurrence sur \(n\in\N\), ou bien utiliser les propriétés de l'exponentielle : pour tout \(n\in\N\),
    \[
    (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \pare*{e^{i\theta}}^n = e^{in\theta} = cos(n\theta) + i\sin(n\theta).
    \]
  \item On obtient ces formules immédiatement en développant \(e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta\).
  \item On peut utiliser la formule d'Euler démontrée juste avant :
    \begin{align*}
      (\cos\theta)^3 &= \pare*{\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}} \\
      &= \frac{1}{8}( e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta} )\\
      &=\frac{1}{4}\pare*{\frac{e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2} + 3\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} }\\
      &=\frac{1}{4}\cos(3\theta)+\frac{3}{4}\cos\theta.
    \end{align*}
  \item Le calcul est sans surprise :
    \begin{align*}
      \cos(x+y) + i\sin(x+y) &= e^{i(x+y)} = e^{ix}e^{iy} \\
      &= (\cos x+i\sin y)(\cos y +i\sin y)\\
      &= \cos x\cos y - \sin x\sin y + i(\cos x\sin y + \sin x\cos y),
    \end{align*}
    et on conclut par identification des parties réelles et imaginaires.
  \end{enumerate}
  }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex
\begin{enumerate}
\item Soit \(z\) un complexe de module 1. Montrer que \(z+1/z \in \R\).
\item Réciproquement : peut-on affirmer que si \(z+1/z\in\R\), alors \(z\) est de module 1 ? Le démontrer, ou bien apporter un contre-exemple.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sol{
  \begin{enumerate}
  \item Si \(z\) est de module 1, alors il existe \(\theta\in\R\) tel que \(z=e^{i\theta}\). On peut utiliser la formule d'Euler pour en conclure que \(z + 1/z = e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta \in \R\).
  \item La réciproque est fausse : par exemple, \(2 + 1/2 \in \R\), mais 2 n'est pas de module 1. On peut aller plus loin et déterminer l'ensemble des complexes qui vérifient \(z+1/z \in \R\) : si \(z\in\C\) est non nul, il existe \(\rho>0\) et \(\theta\in\R\) tels que \(z=\rho e^{i\theta}\). Alors
    \begin{align*}
      z+1/z \in \R &\iff \Im(z+1/z) = 0 \\
      &\iff \rho\sin\theta +\frac{1}{\rho}\sin(-\theta) =0\\
      &\iff \pare*{\rho-\frac{1}{\rho}}\sin\theta=0\\
      &\iff \rho = 1\text{ ou }\theta\in\{k\pi,k\in\Z\}\\
      &\iff \abs z =1 \text{ ou } z\in\R\backslash\{0\}.
    \end{align*}
  \end{enumerate}
}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ex \label{ex:pb}
Dans cet exercice, on s'intéresse à l'intégrale de Wallis définie ainsi : si \(n\) est un entier naturel, 
\[
I_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}(x)dx.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer \(I_0\).
\item Montrer que \(I_1=\pi/4\) (on pourra par exemple exprimer \(\sin^2(x)\) en fonction de \(\cos(2x)\)).
\item Grâce au changement de variable \(y=\pi/2-x\), montrer que \(I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^{2n}(y)dy.\)
\item Dans cette question, on va démontrer la formule suivante :
  \begin{equation}\label{eq:a}
    I_n = \pare*{\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac{1}{2}}\cdot\frac{\pi}{2}.
  \end{equation}
  \begin{enumerate}
  \item Grâce à une intégration par partie, montrer que
    \[
    I_n = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}(x)\cos^2(x)dx.
    \]
    \emph{Indication : utiliser les fonctions \(f=\sin^{2n-1}\) et  \(g'=\sin\)}.
  \item En déduire que
    \[
    I_n = \frac{2n-1}{2n}I_{n-1}.
    \]
  \item Vérifier que cette relation est cohérente avec les valeurs de \(I_0\) et \(I_1\) trouvées dans les questions précédentes.
  \item Conclure : démontrer la formule~\eqref{eq:a}. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sol{
  \begin{enumerate}
  \item \(I_0 = \int_0^{\pi/2} dx = \pi/2\).
  \item On utilise le fait que \(\cos^2(x)+\sin^2(x) =1\), pour trouver
    \begin{align*}
      \cos(2x)&=\cos^2(x) - \sin^2(x) \\
      &= 1-2\sin^2(x),
    \end{align*}
    et donc \(\sin^2(x)=(1-\cos(2x))/2\). Ainsi,
    \begin{align*}
      I_1 &= \frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} (1 - \cos(2x))dx \\
      &= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sbra{\sin(2x)}^{\pi/2}_0 = \frac{\pi}{4}.
    \end{align*}
  \item On pose le changement de variable \(y=\pi/2 -x \). Alors l'intégrale devient :
    \begin{align*}
      \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}(x)dx &= - \int_{\pi/2}^0 \sin^{2n}(\pi/2-y)dy \\
      &= \int_0^{\pi/2} \cos^{2n}(y)dy,
    \end{align*}
    car \(\sin(\pi/2-y)=\cos(y)\).
  \item 
    \begin{enumerate}
    \item On effectue une intégration par partie en posant \(f=\sin^{2n-1}\) et \(g=-\cos\). Alors
      \begin{align*}
        I_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}(x)dx &= \int_0^{\pi/2} f(x)g'(x)dx\\
        &= -\sbra{\sin^{2n-1}(x)\cos(x)}_0^{\pi/2} + (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}(x)\cos x\cos xdx \\
        &=(2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}(x)\cos^2(x)dx.
      \end{align*}
    \item Dans l'équation précédente, un utilise la relation \(\cos^2(x) = 1 -\sin^2(x)\) pour trouver
      \begin{align*}
        I_n &= (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}(x)\cos^2(x)dx \\
        &= (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}(x)dx -(2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n}(x)dx\\
        &= (2n-1)I_{n-1} - (2n-1)I_n,
      \end{align*}
      et donc, après avoir regroupé les termes, on trouver que \(2nI_n = (2n-1)I_{n-1}\), ou en d'autres termes :
      \[
      I_n = \frac{2n-1}{2n}I_{n-1}.
      \]
    \item On avait trouvé \(I_1=\pi/4\) et \(I_0=\pi/2\). La relation de récurrence de la question (b) donne :
      \[
      I_1 = \frac{2-1}{2}I_0 = \frac{1}{2}I_0,
      \]
      ce qui est cohérent.
    \item On raisonne par récurrence. L'équation~\eqref{eq:a} est vraie pour \(n=0\) et \(n=1\) d'après les questions précédentes. Démontrons l'hérédité : on suppose que l'expression~\eqref{eq:a} est vraie pour un certain \(n\in\N\). Alors la relation de récurrence de la question (b) donne :
      \begin{align*}
        I_{n+1}&=\frac{2n+1}{2n+2}I_n =\frac{2n+1}{2n+2} \pare*{\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac{1}{2}}\cdot\frac{\pi}{2},\\
        &=\pare*{\frac{2n+1}{2n+2}\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac{1}{2}}\cdot\frac{\pi}{2},
      \end{align*}
      et donc l'hypothèse de récurrence est vraie au rang \(n+1\).

      On en conclut que la relation~\eqref{eq:a} est vraie pour tout \(n\in\N\).
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
}

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\end{document}
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