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\title{Devoir Maison}
\author{}
\date{}

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\rhead{Maths Avancées, 2020--2021}
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\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\thispagestyle{plain}
\begin{center}
  {\LARGE \bf Rattrapage du DST}
  \correc{\\\LARGE Corrigé}
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em Les exercices peuvent être traités indépendamment les uns des autres. On n'hésitera pas à faire appel aux théorèmes du cours, notamment pour répondre aux questions de l'exercice~\ref{pb}.}


\noindent%
\begin{center}%
  \begin{minipage}{0.8\textwidth}%
    \noindent\hrulefill
  \end{minipage}%
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex Déterminer les développements limités des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\item \(f_1(x) = \sin(x+3\pi/2)\) en \(x_0=-\pi/2\) à l'ordre 3.
\item \(f_2(x) = \ln(1+x)\) en \(x_0=4\) à l'ordre 3.
\item \(f_3(x) = \exp(\cos x)\) en \(x_0=0\) à l'ordre 2. \emph{Attention : \(\cos(0)\neq 0\).}
\item \(f_4(x) = \arctan(x)\) en \(x_0=0\) à l'ordre \(2n+1\), \(n\in\N\). \emph{On pourra calculer le développement limité de \(\arctan'\) et l'intégrer.}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sol{
  \begin{enumerate}
  \item On cherche le DL de \(f_1(-\pi/2+h)=\sin(\pi+h)=-\sin(h)\) en \(0\). On applique directement la formule :
    \[
    f_1(-\pi/2+h) = -h + \frac{h^3}{6} + o(h^3)
    \]
    lorsque \(h\to 0\).
  \item On peut procéder de deux manières différentes : la première est d'écrire
    \[
    f_2(4+h)=\ln(5+h)=\ln\pare*{5(1+h/5)} = \ln(5) + \ln(1+h/5)
    \]
    et d'effectuer le DL de \(\ln(1+h/5)\) en 0. On peut aussi appliquer la formule de Taylor :
    \begin{align*}
      f_2'(x)&= \frac{1}{1+x},\\
      f_2''(x)&= \frac{-1}{(1+x)^2}\\
      f_2'''(x)&= \frac{2}{(1+x)^3},
    \end{align*}
    et donc
    \begin{align*}
      f_2(4+h) &= f_2(4) + h f_2'(4) + \frac{h^2}{2}f''_2(4) + \frac{h^3}{6}f'''_2(4) + o(h^3)\\
      &= \ln(5) + \frac{h}{5} - \frac{h^2}{25} + \frac{2h^3}{125} + o(h^3).
    \end{align*}
  \item Comme \(\cos(0)=1\), on peut factoriser l'expression par \(\exp 1 = e\) pour se ramener à un DL de l'exponentielle en 0 :
    \begin{align*}
      f_3(x) = \exp(\cos x) &= \exp\pare*{ 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)}\\
      &= \exp 1 \exp\pare{- \frac{x^2}{2} + o(x^2)} \\
      &= e \pare*{1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)}\\
      &= e - \frac{e}{2}x^2 + o(x^2)
    \end{align*}
    lorsque \(x\to 0\).
  \item La dérivée d'arctangente s'écrit :
    \[
    f_4(x) = \arctan'x = \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \dots +(-1)^nx^{2n} + o(x^{2n}),
    \]
    lorsque \(x\to0\),
    et donc, en intégrant, et en utilisant le fait que \(\arctan 0 = 0\), on obtient
    \[
    f_4(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1})
    \]
    lorsque \(x\to0\).
  \end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex On étudie le polynôme \(P(z)=z^3-(1+8i)z^2-(17-7i)z\).
\begin{enumerate}
\item Calculer les racines complexes de \(\Delta=5-12i\).
\item Trouver les trois solutions \(z_1,\ z_2,\ z_3\) de \(P(z)=0\) en résolvant un polynôme de degré 2.
\item Placer les points d'affixe \(z_1,\ z_2,\ z_3\) dans le plan (faire un dessin). Que peut-on dire du triangle ainsi formé ? Le démontrer par le calcul.
\item Cherchons maintenant les solutions de \(0=P'(z)=3z^2-2(1+8i)z-(17-7i)\). Donner une expression exacte des deux solutions, puis une expression approchée à \(10^{-2}\). Sur le dessin du triangle de la question précédente, ajouter les deux solutions de l'équation \(P'(z)=0\). Que peut-on dire de la position de ces points par rapport au triangle ?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sol{
  \begin{enumerate}
  \item On cherche \(x,y\) réels tels que \((x+iy)^2 = 5 - 12i\). En identifiant les parties réelles et imaginaires, ainsi que le module, on peut dire que \(x+iy\) est une racine de \(\Delta\) si, et seulement si, le système suivant est vérifié :
    \[
    \left\{ 
    \begin{aligned}
      x^2 + y^2 &= \abs\Delta = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\\
      x^2 - y^2 &= \Re(\Delta) = 5\\
      2xy &= \Im(\Delta) = -12
    \end{aligned}\right.
    \]
    En additionnant les deux premières équations, on trouve que \(2x^2=18\), donc \(x= 3\) ou \(x=-3\). Le \(y\) correspondant à chacun de ces deux cas est donné par la troisième équation. On en conclut que les racines de \(\Delta\) sont \(3-2i\) et \(-3+2i\).
  \item \(P(z)=0\) ssi \(z=0\) ou \(z^2-z(1+8i)z-(17-7i) = 0\). On calcule le discriminant du polynôme du second degré : \((1+8i)^2+4(17-7i) = 1 + 16i - 54 + 68 - 28i = 5 - 12i = \Delta\). On a déjà calculé les racines de \(\Delta\), et donc le polynôme \(P\) admet trois racines, données par
    \[
    z_1=0,\quad z_2 = \frac{1+8i+3-2i}{2}=2 + 3i, \quad z_3 =\frac{1+8i-3+2i}{2}=-1+5i.
    \]
  \item Soient \(M_1,M_2,M_3\) les points d'affixe \(z_1,z_2,z_3\).  Le triangle \(M_1M_2M_3\) est rectangle et isocèle en \(M_2\) :
    \begin{align*}
      M_1M_2 &= \abs{z_2-z_1} = \sqrt{4+9} =\sqrt{13},\\
      M_1M_3 &= \abs{z_3-z_1} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26},\\
      M_2M_3 &= \abs{z_3-z_2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13},
    \end{align*}
    donc \((M_1M_3)^2 = (M_1M_2)^2+(M_1M_3)^2\) et le théorème de Pythagore permet de conclure.

    
  \item Le discriminant de \(P'\) est \(\Delta'=4(1+8i)^2 + 12(17-7i) = 4( -63 + 16i + 51 - 21i) = -4( 12 + 5i)\). On peut remarquer que \(\Delta'= -4i\Delta\), et se convaincre que \(2e^{-i\pi/2}=\sqrt 2(1-i)\) est une racine de \(-4i\) pour en déduire que l'une des racines de \(\Delta'\) est \( \sqrt 2(1-i)(3-2i)=\sqrt 2(1-5i)\). Les racines de \(P'\) sont donc données par
    \[
    w_1 = \frac{2(1+8i)+\sqrt 2(1-5i)}{6}\simeq 0,57+1,49i,\quad w_2=\frac{2(1+8i)-\sqrt 2(1-5i)}{6}\simeq 0,10+3,84i.
    \]
    On remarque que les points d'affixe \(w_1,w_2\) sont à l'intérieur du triangle \(M_1M_2M_3\). C'est en fait une propriété générale des racines des polynômes et l'objet du théorème de Gauss-Lucas.
  \end{enumerate}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex\label{pb}
Dans cet exercice, on étudie aux fonctions hyperboliques (cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique), définies pour tout \(x\in\R\) par
\[
\sinh(x)= \frac{e^x-e^{-x}}{2},\quad\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout \(x\in\R\), \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x)= 1\).
\item Démontrer que \(\sinh\) est une bijection de \(\R\) dans \(\R\).
\end{enumerate}
Comme \(\sinh\) est une bijection, on peut donc définir sa fonction réciproque \emph{argument sinus hyperbolique}, notée \(\argsh\). 
\begin{enumerate}[resume*]
\item Quel est l'ensemble de définition de \(\argsh\) ? Démontrer que \(\argsh\) est dérivable sur son ensemble de définition, et que sa dérivée est donnée par
  \[
  \argsh'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.
  \]
\end{enumerate}
On s'intéresse maintenant au comportement de la fonction argument sinus hyperbolique au voisinage de 0.
\begin{enumerate}[resume*]
\item Que vaut \(\argsh(0)\) ?
\item Déterminer le développement limité de \((1+h)^{-1/2}\) en \(0\) à l'ordre 2.
\item En déduire le développement limité de \(\argsh\) en \(0\) à l'ordre 5.
\item (Application) Déterminer la limite suivante :
  \[
  \lim_{x\to 0}\frac{\argsh(x)-\sin(x)}{x^5}.
  \]
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sol{
  \begin{enumerate}
  \item Soit \(x\in\R\). Un calcul direct donne :
    \begin{align*}
      \cosh^2(x) - \sinh^2(x) &= \frac{1}{4}\pare*{e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}-e^{2x}+2e^xe^{-x}-e^{-2x}} \\
      &= \frac{1}{4}(2+2) = 1.
    \end{align*}
  \item On remarque que \(\sinh'=\cosh>0\), donc \(\sinh\) est strictement croissante sur \(\R\). Par ailleurs, \(\lim_{x\to-\infty}\sinh(x)=-\infty\), et \(\lim_{x\to+\infty}\sinh(x)=+\infty\), donc \(\sinh\) est une bijection de \(\R\) dans \(\R\).
  \item Comme l'image par \(\sinh\) de \(\R\) est \(\R\) tout entier, \(\argsh\) est définie sur \(\R\). Par ailleurs, \(\sinh\) est dérivable sur \(\R\), et sa dérivée ne s'annule jamais, ce qui implique que \(\argsh\) est dérivable sur son ensemble de définition, et que sa dérivée est donnée par
    \[
    \argsh'(x) = \frac{1}{\sinh'(\argsh(x))} = \frac{1}{\cosh(\argsh(x))}.
    \]
    On utilise alors la relation de la question 1 : pour tout \(y\in\R\), \(\cosh(y)= \sqrt{1+\sinh^2(y)}\), et donc en particulier,
    \[
    \argsh'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(\argsh(x))}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.
    \]
  \item \(\sinh(0)=0\), et donc \(\argsh(0)=0\).
  \item C'est un développement limité usuel, qu'on pourrait par ailleurs retrouver avec la formule de Taylor :
    \begin{align*}
      (1+h)^{-1/2} &= 1 - \frac{1}{2}h + \pare*{-\frac{1}{2}}\pare*{-\frac{1}{2}-1}\frac{h^2}{2} + o(h^2) \\
      &= 1 - \frac{h}{2} + \frac{3h^2}{8} + o(h^2)
    \end{align*}
    lorsque \(h\to0\).
  \item On commence par établir le DL de \(\argsh'\) en 0 à l'ordre 4 :
    \[
    \argsh'(x)= (1+x^2)^{-1/2} = = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{3x^4}{8} + o(x^4),
    \]
    et donc, par intégration, et comme \(\argsh(0)=0\),
    \[
    \argsh(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + o(x^5)
    \]
    lorsque \(x\to0\).
  \item Il suffit de comparer les développements limités de \(\sin\) et de \(\argsh\) à l'ordre 5 en 0.
    \[
    \sin(x)= x -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5),
    \]
    donc \(\argsh(x)-\sin(x) = \pare*{\frac{3}{40} - \frac{1}{120}}x^5 + o(x^5) = \frac{x^5}{15} +o (x^5)\), d'où finalement
    \[
    \lim_{x\to 0}\frac{\argsh(x)-\sin(x)}{x^5} = \frac{1}{15}.
    \]
  \end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% \noindent%
%% \begin{center}%
%%   \begin{minipage}{0.8\textwidth}%
%%     \noindent\hrulefill \raisebox{-.5ex}{\emph{Fin du sujet}}\hrulefill
%%   \end{minipage}%
%% \end{center}

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\end{document}
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