\documentclass[11pt,a4paper]{article}
 
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\usepackage{color}%
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\usepackage[french]{babel}


%%%%%%%%%%%%%%% pour avoir un exo comme un th\'eor\`eme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{ex}[equation]{Exercice}
\newenvironment{exercice}{\begin{ex}\em\mbox{~}}{\end{ex}} 
\newcommand{\exo}{\begin{exercice}}
\newcommand{\fin}{\end{exercice}}

\newtheorem{pro}[equation]{Probl\`eme}
\newenvironment{probleme}{\begin{pro}\em\mbox{~}\\}{\end{pro}} 
\newcommand{\prob}{\begin{probleme}}
\newcommand{\finprob}{\end{probleme}}

\newtheorem{exe}[equation]{Exemple}
%\newenvironment{exemple}{\begin{exe}\em\mbox{~}\\}{\end{exe}} 
\newenvironment{exemple}{\begin{exe}\em\mbox{~}}{\hfill{$\blacksquare$}\medskip\end{exe}} 
%\newcommand{\exo}{\begin{exemple}}
%\newcommand{\fin}{\end{exemple}}

\newtheorem{definition}{D\'efinition}[section]
\newtheorem{propriete}{Propri\'et\'e}[section]
\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}[section]
%\newtheorem{exemple}{Exemple}[section]
\newtheorem{corollaire}{Corollaire}[section]
\newtheorem{lemme}{Lemme}[section]
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
\newcommand{\debdemo}{{\bf D\'emonstration.}\quad}
%\newcommand{\debdem}{{\bf Proof.}\quad}
\newcommand\findemo{\hfill{$\blacksquare$}\medskip}

% \newcommand{\debdem}{\begin{proof}} \def\findem{\end{proof}}


% \newcommand{\mathbb{R}}{I\!\! R}
% \newcommand{\mathbb{N}}{I\!\!N}

%{\theorembodyfont{\rmfamily} \newtheorem{rmq}{Remarque}[section]} 
\newtheorem{example}{Exemple}[section] %

%\usepackage[active]{srcltx}



 

\newcommand{\hk}{\hat{k}}
\newcommand{\tK}{\tilde{K}}
\newcommand{\tP}{\tilde{P}}
\newcommand{\Cc}{\mc{C}}
\newcommand{\Ga}{\Gamma} 
\newcommand{\ga}{\gamma} 
\newcommand{\HH}{\mc{H}}
\newcommand{\sub}{\substack}
\newcommand{\wtu}{\widetilde{u}}
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\newcommand{\wtM}{\widetilde{M}}
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\newcommand{\Nlsin}{N_\ell(\si_n)}
\newcommand{\ld}{\ldots}
\newcommand{\beg}{\begin}
\newcommand{\en}{\end}
\newcommand{\Gram}{\op{Gram}}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\nlti}{n\lto\infty}
 
\newcommand{\cdd}{\cdots\cdots}
\newcommand{\tq}{\trm{ t.q. }}
\newcommand{\trm}{\textrm}
\newcommand{\MuR}{\mc{M}_1(\R)}
\newcommand{\bgt}{\begin{itemize}}
\newcommand{\ent}{\end{itemize}}
\newcommand{\ite}{\item}
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\newcommand{\la}{\label}
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\newcommand{\sd}{\,\cdot\,}
\newcommand{\sh}{\sharp}
\newcommand{\wtY}{\widetilde{Y}}
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\newcommand{\convps}{\overset{\textrm{p.s.}}{\longrightarrow}}
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\newcommand{\lfl}{\lfloor}
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%\newcommand{\scl}{\operatorname{semicircle}}
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\newcommand{\mf}{\mathfrak}
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\newcommand{\kinf}{\underset{k\to\infty}{\longrightarrow}}
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\newcommand{\ssi}{si et seulement si }
\newcommand{\teos}{théorèmes }
\newcommand{\teo}{théorème }

\newcommand{\ensn}{\{1,\ldots,n\}}
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\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}



\def\S{{\mathfrak{S}}}

\newcommand{\f}{\frac}
\newcommand{\ff}{\frac{1}}
\newcommand{\lf}{\left}
\newcommand{\ri}{\right}
 
\newcommand{\st}{tel que }
\newcommand{\stm}{\textrm{s.t. }}
\newcommand{\sstm}{\textrm{ s.t. }}
\newcommand{\lam}{\lambda}
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\newcommand{\ste}{\, ;\, }
\newcommand{\mc}{\mathcal }

\newcommand{\eps}{\varepsilon}

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\newcommand{\bxt}{\boxtimes}

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\newcommand{\bxpp}{{\scriptscriptstyle\boxplus}}
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\newcommand{\ninfLtwo}{\stackrel{L^2}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}}
\newcommand{\eqlaw}{\stackrel{\textrm{law}}{=}}
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\newcommand{\ebm}{\end{bmatrix}}
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\newcommand{\beq}{\begin{eqnarray*}}
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\newcommand{\one}{\mathbbm{1}}
\newcommand{\lto}{\longrightarrow}
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\newcommand{\ntn}{$n\times n$ }
 
\newcommand{\cf}{\emph{c.f. }}
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\newcommand{\tmu}{\tilde{\mu}}
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\newcommand{\bul}{$\bullet$ }
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\newcommand{\Hc}{\mc{H}}
\newcommand{\hc}{\mc{H}}
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\newcommand{\itb}{\ite[$\bullet$]}
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\newcommand{\sci}{\emph{Scilab}} 
\newcommand{\qet}{\qquad\trm{et}\qquad}
\newcommand{\nimplies}{\centernot\implies}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
\textbf{D\'epartement S.T.I.D. - IUT de Paris}\hfill 
{\bf 2020--2021} \\
{\bf \large Option Mathématiques Avancées - S4}

\bigskip

\begin{center}
{\bf \large TD 1 - Trigonométrie}\\ 
\end{center}

\bigskip


\exo Exprimer en fonction de $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ et $\tan\alpha$ les sinus et cosinus suivants (vous pourrez vous aider du cercle trigonométrique):
\vspace{4mm}

%
\begin{enumerate}
\item $\sin(\alpha+2\pi)=$ \hspace{3cm}, 
  $\cos(\alpha+2\pi)=$ \hspace{3cm}, 
  $\tan(\alpha+2\pi)=$ 
\item $\sin(\alpha+\pi)=$ \hspace{3.2cm}, 
  $\cos(\alpha+\pi)=$ \hspace{3.2cm}, 
  $\tan(\alpha+\pi)=$
\item $\sin(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{2})=$ \hspace{3.1cm}, 
  $\cos(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{2})=$ \hspace{3.1cm}, 
  $\tan(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{2})=$
\item $\sin(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2})=$ \hspace{3.1cm}, 
  $\cos(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2})=$ \hspace{3.1cm}, 
  $\tan(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2})=$
\item $\sin(-\alpha)=$ \hspace{3.6cm}, 
  $\cos(-\alpha)=$ \hspace{3.6cm}, 
  $\tan(-\alpha)=$
\item $\sin(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha)=$ \hspace{3.1cm}, 
  $\cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha)=$ \hspace{3.1cm}, 
  $\tan(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha)=$
\item $\sin(\pi-\alpha)=$ \hspace{3.2cm}, 
  $\cos(\pi-\alpha)=$ \hspace{3.2cm}, 
  $\tan(\pi-\alpha)=$
\end{enumerate}
\fin

\medskip
 
\exo \begin{enumerate}
\item  Soit $x\in \R$ tel que $0\le x\le \pi$ et $\cos(x)=\ff{3}$. Combien vaut $\sin (x)$ ?
\item  Soit $x\in \R$ tel que $|x|\le \f{\pi}{2}$ et $\sin(x)=-\ff{4}$. Combien vaut $\cos (x)$ ? 
\item  Soit $x\in \R$ tel que $\pi\le x\le 2 \pi$ et $\cos(x)=\ff{\sqrt{3}}$. Combien vaut $\sin (x)$ ?
\item  Soit $x\in \R$ tel que $0\le x \le \f{\pi}{2}$ et $\sin(x)=\sqrt{3}$. Combien vaut $\cos (x)$ ?
\end{enumerate}

 \fin
 
 \medskip
 
 \exo En utilisant que $\cos^2 x  + \sin^2 x =1$, montrer que $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ \fin
 
  \medskip

\exo Montrer que $\ff{\cos^2(\theta)}=1+\tan^2(\theta)$  pour tout $\theta\in \R\bck\{\f{\pi}{2}+k\pi\ste k\in \z\}$.\fin

 \medskip
 
 \exo
\begin{enumerate}
\item  Rappeler l'expression de $\cos(2 \alpha)$ en fonction de $\cos(\alpha)$ et en déduire $\cos(\f{\pi}{12})$ et $\sin(\f{\pi}{12})$.
\item Exprimer en fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ :
  $$
  \cos\lf(x-\f{\pi}{3}\ri),\quad\sin\lf(x+\f{\pi}{3}\ri),
  \quad\cos\lf(x+\f{\pi}{6}\ri),\quad\sin\lf(x+\f{\pi}{6}\ri),
  \quad\cos\lf(x-{\pi}\ri),\quad\sin\lf(x-\f{\pi}{6}\ri).
  $$
  \end{enumerate}
\fin

\medskip


 \exo Donner le domaine de définition et la période des fonctions suivantes :
 $$
 f(x)=\cos(2x), \qquad
 g(x)=\cos(3x)+\sin(x), \qquad
 \ds h(x)=\tan(\f{\pi}{2}+3x).
 $$
 \fin 
 
 \medskip
 
 \exo
 Donner le domaine de définition et la dérivée des fonctions suivantes :
 $$
 f(x)=x\cos(x)-\sin(2x), \qquad
 \ds g(x)=\f{\sin(x)}{x}, \qquad
 \ds h(x)=\f{\cos(3x)-\sin(2x)}{\cos(x)^2}.
 $$
 \fin
 
 \exo
 En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer :
 $$
 \lim_{x\to 0}\f{\sin(x)}{x},  \qquad
 \lim_{x\to \f{\pi}{2}}\f{\cos(x)}{x-\f{\pi}{2}}.
 $$
 \fin
 
 \medskip
 
 
 \exo 
 Donner une primitive de chacune des fonctions suivantes :
 $$
 \beg{array}{lll}
 f(x)=\sin(x)-2\cos(x),\quad & g(x)=\sin(x)\cos(x),\quad & h(x)=\f{\sin(x)}{\cos^2(x)},\\ &&\\
 k(x)=\f{\cos(x)}{\sin^2(x)},\quad&\ell(x)=\f{\cos(x)}{\sqrt{2+\sin(x)}},\quad&m=\tan\quad\quad n=\ff{\tan}.\\
\end{array}
$$
 \fin
 
 \medskip
 
 \exo
 \begin{enumerate}
 \item Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties 
  $$ I=\int_0^\pi x\sin(x)\ud x,\qquad J= \int_0^\pi x\cos(3x)\ud x.$$
 \item Calculer les intégrales suivantes à l'aide de deux  intégrations par parties
  $$
  K=\int_0^{\pi/2} x^2\sin(x)\ud x,\qquad  L=\int_0^{\pi/2}e^x\sin(x)\ud x, \qquad M=\int_0^{\pi/2}e^{2x}\cos(x)\ud x.
  $$
 \end{enumerate}
 \fin
  
   \medskip
  
   \exo Donner les valeurs suivantes :
   $$
   a=\arcsin(1),\qquad b=\arccos(1/2),\qquad c=\arctan(1),$$ $$ d=\arccos(-\sqrt{3}/2),\qquad e= \arctan(\sqrt{3}),\qquad f=\arcsin(-1/2).
   $$
   \fin
  
   \medskip
  
  \exo  Donner le domaine de définition et la dérivée des fonctions suivantes :
  $$
  f(x)=\arcsin(3x), \qquad
  \ds g(x)=\f{\arccos(1-x)}{x}, \qquad
  \ds h(x)=\f{x\arctan(x)}{1-\arctan(x)}.
  $$
  \fin
  \medskip
 
 \exo
 Calculer les intégrales suivantes :
 $$
 I=\int_{1/2}^{\sqrt{3}/2}\f{\ud x}{\sqrt{1-x^2}},\qquad J=\int_{-1}^1\f{\ud x}{1+x^2}.
 $$
 \fin

 \medskip
 
 \exo En calculant sa dérivée, montrer que la fonction suivante est constante sur $]-1,1[$ et donner sa valeur $$f(x)=\arccos(x)+\arcsin(x).$$
 \fin


\end{document}
