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\usepackage[french]{babel}

\def\dd{{\rm d}}



%%%%%%%%%%%%%%% pour avoir un exo comme un th\'eor\`eme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{ex}[equation]{Exercice}
\newenvironment{exercice}{\begin{ex}\em\mbox{~}}{\end{ex}} 
\newcommand{\exo}{\begin{exercice}}
\newcommand{\fin}{\end{exercice}}

\newtheorem{pro}[equation]{Probl\`eme}
\newenvironment{probleme}{\begin{pro}\em\mbox{~}\\}{\end{pro}} 
\newcommand{\prob}{\begin{probleme}}
\newcommand{\finprob}{\end{probleme}}

\newtheorem{exe}[equation]{Exemple}
%\newenvironment{exemple}{\begin{exe}\em\mbox{~}\\}{\end{exe}} 
\newenvironment{exemple}{\begin{exe}\em\mbox{~}}{\hfill{$\blacksquare$}\medskip\end{exe}} 
%\newcommand{\exo}{\begin{exemple}}
%\newcommand{\fin}{\end{exemple}}

\newtheorem{definition}{D\'efinition}[section]
\newtheorem{propriete}{Propri\'et\'e}[section]
\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}[section]
%\newtheorem{exemple}{Exemple}[section]
\newtheorem{corollaire}{Corollaire}[section]
\newtheorem{lemme}{Lemme}[section]
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
\newcommand{\debdemo}{{\bf D\'emonstration.}\quad}
%\newcommand{\debdem}{{\bf Proof.}\quad}
\newcommand\findemo{\hfill{$\blacksquare$}\medskip}

% \newcommand{\debdem}{\begin{proof}} \def\findem{\end{proof}}


% \newcommand{\mathbb{R}}{I\!\! R}
% \newcommand{\mathbb{N}}{I\!\!N}

%{\theorembodyfont{\rmfamily} \newtheorem{rmq}{Remarque}[section]} 
\newtheorem{example}{Exemple}[section] %

\newcommand{\disp}{\displaystyle}



 

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\newcommand{\teo}{th\'eorème }

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\def\S{{\mathfrak{S}}}

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\newcommand{\st}{tel que }
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\newcommand{\sstm}{\textrm{ s.t. }}
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\newcommand{\ninfLtwo}{\stackrel{L^2}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}}
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\newcommand{\ntn}{$n\times n$ }
 
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\newcommand{\hc}{\mc{H}}
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\newcommand{\nimplies}{\centernot\implies}


%%%%%%%%%
%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%
%%%%%%%% 

\noindent
\textbf{D\'epartement S.T.I.D. - IUT de Paris}\hfill 
\textbf{2020--2021} \\
{\bf \large Option Math\'ematiques Avanc\'ees - S4}

\begin{center}
{\bf \large TD 2 - Nombres complexes}\\ 
\end{center}
\vspace{-6mm}




\exo
Soit $z=x+iy$ un nombre complexe, o\`u $x$ et $y$ sont des r\'eels. On consid\`ere le vecteur $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ et le point $M$ de coordonn\'ees $(x,y)$. On dit que $\vec{u}$ est le \emph{vecteur-image} et $M$ le \emph{point-image} du nombre complexe $z$, et que $z$ est l'\emph{affixe} du vecteur $\vec{u}$ ou du point $M(x;y)$. 
%
\begin{enumerate}
\item 
  Soient $\vec{u}_1=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right),\vec{u}_2=\left( \begin{array}{r} -1 \\ 2 \end{array} \right)$, calculer $\vec{u}_1+\vec{u}_2$. Repr\'esenter dans un rep\`ere orthonorm\'e (axes orthogonaux, m\^eme unit\'e sur les 2 axes) les vecteurs $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_1+\vec{u}_2$. Tracer les traits de construction de la m\'ethode du parall\'elogramme. 
\item Soient les points $M_1(3,1), M_2(-1,2)$ et le point $M_3$ tel que $\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}=\overrightarrow{OM_3}$. Repr\'esenter ces trois points dans un autre rep\`ere orthonorm\'e, d'origine $O(0,0)$. 
\item Soient les nombres complexes $z_1=3+i, z_2=-1+2\ i$, calculer $z_3=z_1+z_2$. 
  Repr\'esenter ces trois nombres dans le plan complexe.
\end{enumerate}
\fin

\exo   \begin{enumerate}
\item  Mettre sous forme 
  trigonom\'etrique les nombres complexes suivants :
  \[
  z_1 =3+3i\hbox{, }z_2 =-1-\sqrt{3} i\hbox{, }z_3 = -\displaystyle\frac{4}{3}i\hbox{, }
  z_4=-2.
  \]
\item
  Calculer $({1+i\sqrt {3}\over 2})^{2000}$.
\end{enumerate}
\fin


\exo  Mettre sous la forme algébrique ($a+ib$ avec $a,b \in \R$) les nombres :
$$
z_1=\frac{3+6i}{3-4i}  \ ; \quad
z_2=\left(\frac{1+i}{2-i}\right)^{\!\!2} + \frac{3+6i}{3-4i} \ ;  \quad
z_3=\frac{2+5i}{1-i} + \frac{2-5i}{1+i}\ ;\quad
z_4=\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{\!\!3} \  ;  \quad
z_5=\frac{(1+i)^9}{(1-i)^7}.
$$
Mettre sous la forme algébrique le nombre complexe de module $2$ et d'argument $\pi/3$. \fin

%
\exo
Soit $a$ un nombre r\'eel. 
%
\begin{enumerate}
\item Calculer le module du nombre complexe $z=\disp\frac{1+ia}{1-ia}$.
\item D\'emontrer que, r\'eciproquement, pour tout nombre complexe $z$ de module 1, 
  il existe un unique  nombre r\'eel $a$ tel que $z$ peut s'\'ecrire de
  mani\`ere unique sous la forme $z=(1+ia)/(1-ia)$
\end{enumerate}
\fin

%
\exo 
Calculer $(1+i\sqrt{3})^5 + (1-i\sqrt{3})^5$ et $(1+i\sqrt{3})^5 - (1-i\sqrt{3})^5$.
\fin
%

%
\exo
Trouver les racines carrées des nombres suivants :
\[
z_1=-5-12i\ ;\quad
z_2=24+10i\ ;\quad
z_3=i\ ;\quad
z_4=21-4i\ ;\quad
z_5=3e^{i\pi/5}\ ;\quad
z_6=\frac{1+i}{1-i}\ ;\quad
z_7=1+\cos\theta+i\sin\theta.
\]
\fin
%

%
\exo
\label{coeffR1}
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre dans $\mathbb{R}$ l'\'equation $z^2-2z+5=0$. 
\item R\'esoudre dans $\mathbb{C}$ l'\'equation $z^2-2z+5=0$. 
  Quelle propriété géométrique présentent les solutions de cette \'equation ? 
  Les repr\'esenter dans le plan complexe.
\end{enumerate}
\fin
%

%
\exo
\label{coeffR2}
R\'esoudre dans $\mathbb{C}$ les \'equations suivantes, repr\'esenter leurs solutions dans le plan complexe. 
Que peut-on dire des deux solutions de chaque \'equation ? 
Quelles sont leurs propri\'et\'es g\'eom\'etriques.
%
\begin{enumerate}
\item $z^2+1=0$. 
\item $-z^2+8z-20=0$. 
\end{enumerate}
\fin
%

%
\exo
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre dans $\mathbb{C}$ l'\'equation  $z^2-(3-2i)z+5-5i=0$. 
\item Repr\'esenter les solutions de cette \'equation dans le plan complexe.
  Ont-elles les m\^emes propri\'et\'es g\'eom\'etriques que les solutions des \'equations  des exercices \ref{coeffR1} et \ref{coeffR2} ?
\end{enumerate}
\fin
%

%
\exo
Combien l'\'equation $z^6=1$ a t-elle de solutions ? 
Les donner sous la forme exponentielle.
\fin
%


\exo Trouver les racines complexes de l'\'equation $x^2-30 x+289=0$ (indication : $256=16^2$).\fin


\exo 
On note $j = e^{2 i\pi \over 3}.$
\begin{enumerate}
\item Mettre $j$ et $j^2$ sous forme alg\'ebrique (c'est-\`a-dire sous la forme $a+ib$, avec $a,b\in \R$).
\item V\'erifier que $1+j+j^2 = 0$.
\end{enumerate}
\fin

\exo 

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs 
  de $z\in\C$ a-t-on $\vert 1+iz\vert=\vert 1-iz\vert$ ?
\item On consid\`ere dans $\C$ l'\'equation 
  $\left( \frac{1+iz}{1-iz}\right)^{n}=\frac{1+ia}{1-ia},$ o\`u $a\in\R.$ 
  Montrer, sans les calculer, que les solutions de 
  cette \'equation sont r\'eelles. 
\item Trouver alors les solutions.
\end{enumerate}
\fin

\exo 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et tout nombre $z\in\mathbb{C}$, on a:
  $$\left(z-1\right)\left(1+z+z^2+ \cdots +z^{n-1}\right)=z^n-1,$$
  et en d\'eduire que, si $z\neq 1$, on a:
  $$1+z+z^2+\cdots +z^{n-1}=\frac{z^n-1}{z-1}.$$
\item  V\'erifier que pour tout $x\in\mathbb{R}$ , on a
  $  
  \exp(ix)-1=2i\exp\left(\frac{ix}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right).$
\item  Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Calculer pour tout $x\in\mathbb{R}$ la somme:
  $$Z_n=1+\exp(ix)+\exp(2ix)+\cdots +\exp((n-1)ix),$$ 
  et en d\'eduire les valeurs de
  \begin{align*}
    X_n&=1+\cos(x)+\cos(2x)+\cdots +\cos((n-1)x)\\
    Y_n&=\sin(x)+\sin(2x)+\cdots +\sin((n-1)x).
  \end{align*} 
\end{enumerate}
\fin



\exo
Soient $A,B$ des points du plan d'affixes respectives les nombres complexes $a,b$. On suppose $a\ne b$. Quel est l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ v\'erifie $\lf|\f{z-a}{z-b}\ri|=1$ ?
\fin

\exo Soit $f$ la fonction de $\C\bck\{i\}$ vers $\C$ d\'efinie par $$f(z)=\f{z+i}{z-i}.$$
\begin{enumerate}
\item On suppose (dans cette question seulement) $z\in \R$. Quel est le module de $f(z) $ ? 
\item R\'esoudre, dans $\C\bck\{i\}$, l'\'equation $f(z)=z$.
\end{enumerate}
\fin


\end{document}
