\documentclass[11pt,a4paper]{article}
 
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\usepackage[french]{babel}

\def\dd{{\rm d}}




%%%%%%%%%%%%%%% pour avoir un exo comme un th\'eor\`eme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{ex}[equation]{Exercice}
\newenvironment{exercice}{\begin{ex}\em\mbox{~}\\}{\end{ex}} 
\newcommand{\exo}{\begin{exercice}}
\newcommand{\fin}{\end{exercice}}

\newtheorem{pro}[equation]{Probl\`eme}
\newenvironment{probleme}{\begin{pro}\em\mbox{~}\\}{\end{pro}} 
\newcommand{\prob}{\begin{probleme}}
\newcommand{\finprob}{\end{probleme}}

\newtheorem{exe}[equation]{Exemple}
%\newenvironment{exemple}{\begin{exe}\em\mbox{~}\\}{\end{exe}} 
\newenvironment{exemple}{\begin{exe}\em\mbox{~}}{\hfill{$\blacksquare$}\medskip\end{exe}} 
%\newcommand{\exo}{\begin{exemple}}
%\newcommand{\fin}{\end{exemple}}

\newtheorem{definition}{D\'efinition}[section]
\newtheorem{propriete}{Propri\'et\'e}[section]
\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}[section]
%\newtheorem{exemple}{Exemple}[section]
\newtheorem{corollaire}{Corollaire}[section]
\newtheorem{lemme}{Lemme}[section]
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
\newcommand{\debdemo}{{\bf D\'emonstration.}\quad}
%\newcommand{\debdem}{{\bf Proof.}\quad}
\newcommand\findemo{\hfill{$\blacksquare$}\medskip}

% \newcommand{\debdem}{\begin{proof}} \def\findem{\end{proof}}


% \newcommand{\mathbb{R}}{I\!\! R}
% \newcommand{\mathbb{N}}{I\!\!N}

%{\theorembodyfont{\rmfamily} \newtheorem{rmq}{Remarque}[section]} 
%\newtheorem{example}{Exemple}[section] %

\newcommand{\disp}{\displaystyle}
 

\newcommand{\hk}{\hat{k}}
\newcommand{\tK}{\tilde{K}}
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\newcommand{\ga}{\gamma} 
\newcommand{\HH}{\mc{H}}
\newcommand{\sub}{\substack}
\newcommand{\wtu}{\widetilde{u}}
\newcommand{\wtL}{\widetilde{L}} 
\newcommand{\wtM}{\widetilde{M}}
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\newcommand{\Nlsin}{N_\ell(\si_n)}
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\newcommand{\cdd}{\cdots\cdots}
\newcommand{\tq}{\trm{ t.q. }}
\newcommand{\trm}{\textrm}
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%\newcommand{\scl}{\operatorname{semicircle}}
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\newcommand{\teo}{théorème }

\newcommand{\ensn}{\{1,\ldots,n\}}
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\def\S{{\mathfrak{S}}}

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\newcommand{\ff}{\frac{1}}
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\newcommand{\st}{tel que }
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\newcommand{\sstm}{\textrm{ s.t. }}
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\newcommand{\ninfLtwo}{\stackrel{L^2}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}}
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\newcommand{\one}{\mathbbm{1}}
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\newcommand{\ntn}{$n\times n$ }
 
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\newcommand{\hc}{\mc{H}}
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\newcommand{\qet}{\qquad\trm{et}\qquad}
\newcommand{\nimplies}{\centernot\implies}


%%%%%%%%%
%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%
%%%%%%%% 

\noindent
\textbf{D\'epartement S.T.I.D. -- IUT de Paris}\hfill 
{\bf 2020 -- 2021} \\
{\bf \large Option Mathématiques Avancées -- S4}

\vspace{1cm}

\begin{center}
{\bf \large TD 3 -- Développements limités}\\ 
\end{center}
\vspace{1cm}

\textit{Quelques développements limités usuels : }

\begin{align*}
e^x &= 1 + \frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \end{align*}\begin{align*}
\text{cos } x &= 1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdots + (-1)^n.\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) \\
\text{sin } x &=x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+ \cdots + (-1)^n.\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}) 
%\text{tan } x &=x +  \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + o(x^{8})  
\end{align*}

\begin{align*}
\ln  (1+x)&= x - \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+ \cdots + (-1)^{n-1}.\frac{x^n}{n} + o(x^n)\\
\ln  (1-x)&= -x - \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+ \cdots -\frac{x^n}{n} + o(x^n)
 \end{align*}

\begin{align*}
\frac{1}{1+x}&=1 -x+x^2+\cdots+(-1)^n x^n+o(x^n) \\
\frac{1}{1-x}&=1 +x+x^2+\cdots+  x^n+o(x^n) \\
 (1+x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2+ \cdots +
\frac {\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha - n+1)}{n!} x^n + o(x^n)
%\sqrt{1+x}&=1 + \frac{x}{2} - \frac{1}{8}x^2+ \cdots +
%(-1)^{n-1}.\frac{1.1.3.5\ldots(2n-3)}{2^n n!}x^n + o(x^n)\\
%\frac{1}{\sqrt{1+x}}&=1 - \frac{x}{2} + \frac{3}{8}x^2+ \cdots +
%(-1)^{n}.\frac{1.3.5\ldots(2n-1)}{2^n n!} x^n+ o(x^n) 
\end{align*}

%\begin{align*}
%\text{ch } x &=\f{e^x+e^{-x}}{2}= 1 + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) \end{align*}\begin{align*}
%\text{sh } x &=\f{e^x-e^{-x}}{2}= x + \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+ \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})\end{align*}\begin{align*}
%\text{th } x &=\f{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}= x -  \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + o(x^{8}) \end{align*}\begin{align*}
%\text{arcsin } x &=x + \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \frac{3}{8}\frac{x^5}{5}+ \cdots +
%\frac{1.3.5\ldots(2n-1)}{2^n n!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}+ o(x^{2n+2})\\
%\text{arctan } x &= x - \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ \cdots + (-1)^{n}.\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2}) 
%\end{align*} 


\newpage


\exo Soit $f$ et $g$ deux fonctions admettant les développements limités $f(x)=x+x^2+x^3+o(x^3)$ et  $g(x)=1+2x+4x^2+5x^3+o(x^3)$ au voisinage de $0$.
\begin{enumerate}
\item Donner le développement limité de $f+ g$ à l'ordre 3.
\item Donner le développement limité de $f\times g$ à l'ordre 3.
\item Donner le développement limité de $g\circ f(x)=g(f(x))$ à l'ordre 3.
\item Donner le développement limité de $\frac{f}{g}$ à l'ordre 3.
\end{enumerate}
  \fin 


%\exo Soit $f(x)=\ff{(1+x)^2}$, définie sur $\R\bck\{-1\}$.

%a) Montrer que pour tout $n\in \n$, la dérivée $n$ème $f^{(n)}$ de $f$ a pour formule $$f^{(n)}(x)=(-1)^n(n+1)!(1+x)^{-(n+2)}.$$

%b) Donner le développement limité d'ordre $n$ de $f$ en $0$.
%\fin


\exo Donner les limites des fonctions suivantes lorsque $x\to 0$ : 
$$f(x)=\f{\cos(x)-1}{x^2},\qquad g(x)=\f{e^{x}-1-x-x^2}{\ln(1+x)-x},\qquad h(x)=\f{\sqrt{1+x}-1-x/2+x^2}{e^{x}-1-x-3x^2}.$$
\fin





\exo
Calculer les d\'eveloppements limit\'es en $0$ et \`a l'ordre
indiqu\'e:

$$
\begin{array}{llll}
     f_1(x)=e^x-(\cos x+\sin x)  & \mbox{ à l'ordre
   $4$} \qquad
   &
     f_2(x)=\ln (1-x)  & \mbox{ à l'ordre $5$}
   \\
     f_3(x)=\cos^2 x  & \mbox{ à l'ordre $4$} \qquad
   &
     f_4(x)= \frac{\sin x}{1+x}  & \mbox{ à l'ordre
   $4$}
   \\
     f_5(x)= \tan x  & \mbox{ à l'ordre $3$} \qquad
   &
     f_6(x)= \frac{\cos x}{1+x-x^2} &  \mbox{ à l'ordre
   $4$}
   \\
     f_7(x)=  e^{\sin x}  & \mbox{ à l'ordre $5$} \qquad
   &
     f_8(x)= \ln(\cos x )  & \mbox{ à l'ordre $4$}
\end{array}
$$
\fin



\exo Calculer les développements limités au point et à l'ordre indiqué:
$$
\begin{array}{llll}
    f_1(x)=\sqrt{x} & \mbox{ à l'ordre $2$ en $2$} \qquad
   &
    f_2(x)=\frac{1}{\sin x} &  \mbox{ à l'ordre $4$ en $\frac{\pi}{2}$}
   \\
   f_3(x)=x^{\ln(x)}  & \mbox{ à l'ordre $2$ en $1$} \qquad
   &
   f_4(x)= \frac{x^2+1}{x^3-x+1}  & \mbox{ à l'ordre $3$ en $+\infty$}
\end{array}
$$
\fin






\exo  Soit $f$ la fonction définie pour tout  $x\in \R$ par $f(x)=x+x^5$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f:\R \to \R$ est une bijection. 
\item Prouver que  $f^{-1}$ est une fonction impaire : $\forall x\in \R$, $f^{-1}(-x)=-f^{-1}(x)$.
\item On admet que $f^{-1}$  a des dérivées de tout ordre. Prouver qu'il existe $a,b,c\in \R$ tels que $f^{-1}(x)=ax+bx^3+cx^5+o(x^5)$ quand $x\to 0$.
\item Calculer $a,b,c$ en utilisant le fait que $f^{-1}\circ f(x)=x$. 
\end{enumerate}
\fin




%\exo
%On considère la fonction $sh: \begin{array}{c}
%    \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \\
%    x \rightarrow \frac{e^x-e^{-x}}{2}
%    \end{array}$
%
%\begin{description}
%\item[1)] Donner le DL d'ordre $5$ en $0$ de $sh (x)$.
%
%
%\item[2)] Montrer que $sh$ r\'ealise une bijection de $\mathrm{R}$ sur $\mathrm{R}$. Elle admet donc une fonction
%réciproque que l'on note $Argsh$.
%
%On admet que $Argsh$ est d\'erivable sur $\mathrm{R}$ et que, pour tout
%$x\in \mathrm{R}$,
%
%$$ Argsh'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$
%
%Déterminer le DL d'ordre $5$ en $0$ de $Argsh(x)$.
%
%\end{description}
%\fin





\exo
D\'eterminer $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^x-x}{x-1} $ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pi/2}(\sin x)^{1/(2x-\pi)}$.
\fin



%\exo \'Etudier l'existence et la valeur éventuelle des limites suivantes \\
%\begin{enumerate}
%\item $\lim_{x\rightarrow \pi/2}(\sin x)^{1/(2x-\pi)}$
%\item $\lim_{x\rightarrow \pi/2}|\tan x|^{\cos x}$
%\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\cos(\frac{n\pi}{3n+1})+\sin(\frac{n\pi}{6n+1})\right)^n$
%\item $\lim_{x\rightarrow 0}(\cos x)^{\ln|x|}$
%\item $\lim_{x\rightarrow \pi/2}\cos x.e^{1/(1-\sin x)}$
%\item $\lim_{x\rightarrow \pi/3}\frac{2\cos^2x+\cos x-1}{2\cos^2x-3\cos x+1}$
%\item $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\tanh x}\right)^{1/\sin x}$
%\item $\lim_{x\rightarrow e,\;x<e}(\ln x)^{\ln(e-x)}$
%\item $\lim_{x\rightarrow 1,\;x>1}\frac{x^x-1}{\ln(1-\sqrt{x^2-1})}$
%\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x\ln(ch( x)-1)}{x^2+1}$
%\item $\lim_{x\rightarrow 0,\;x>0}\frac{(\sin x)^x-x^{\sin x}}{\ln(x-x^2)+x-\ln x}$
%\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x$
%\item $\lim_{x \rightarrow 1/\sqrt{2}}\frac{(arcsin(x))^2-\frac{\pi^2}{16}}{2x^2-1}$
%%\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{\cos(a+\frac{1}{x})}{\cos a}\right)^x\;(\mbox{où}\;\cos a\neq0)$
%\end{enumerate}
%\fin



\exo
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(0)=1$ et
$f(x)=\frac{(\ln(1+x) -x) \cos x}{x^2}$ pour $x\neq 0$.
\begin{enumerate}
\item[1.] D\'eterminer le DL à l'ordre $3$ de $f$ en $0$.
\item[2.] On note $\mathcal{C}$ la courbe repr\'esentative de $f$. D\'eterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ en $0$.
\item[3.] Pr\'eciser la position relative de $T$ et $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\fin







\exo
Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y=\frac{x^2+2}{x+1}
\exp(- \frac{1}{x})$ admet quand $x$ tend vers $+\infty $ ou
$-\infty$ une asymptote $\mathcal{D}$ dont on donnera une
\'equation. Pr\'eciser la position relative de $\mathcal{C}$ et
$\mathcal{D}$. 

\fin






%\exo
%
%Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\mathrm{R}^*\setminus \{1\}$ par $f(x)=\frac{x \ln(x)}{x^2-1}$
%
%\begin{description}
%\item[1.]  Montrer que $f$ est prolongeable par continuit\'e en $0$ et pr\'eciser $f(0)$.
%\item[2.]  Montrer que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0+} f(x)/x = +\infty$.
%
%Ceci implique que la tangente en $0$ à la courbe est verticale.
%\item[3.]  D\'eterminer $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$
%\item[4.]  Effectuer un DL de $f$ en 1 à l'ordre $2$.
%En d\'eduire que $f$ est prolongeable par continuit\'e et d\'erivable en~$1$. Pr\'eciser $f(1)$ et $f'(1)$.
%\item[5.] Soit $g$ définie sur $\mathrm{R}*$ par $g(x)= \ln(x) -1 +\frac{2}{x^2+1}$.
%Montrer que $g$ est strictement croissante et s'annule en~$1$.
%\item[6.] D\'eterminer $f'$ sur $\mathrm{R}^*\setminus \{1\}$ et montrer que $f'(x)\geq 0$ si et seulement si $g(x)\leq 0$.
%En d\'eduire les variations de $f$.
%\item[7.] Tracer la courbe de $f$.
%
%\end{description}
%\fin







\end{document}
