\chapter{Fonctions trigonométriques}


\section{Angles et triangles rectangles}
Dans cette partie, on introduit la notion intuitive d'angle et on rappelle comment les fonctions trigonométriques usuelles sont définies comme rapports entre longueurs de côtés d'un triangle rectangle. 
\subsection{Angles de demi-droites}
\begin{defi}
  Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites du plan ayant la même origine. Les deux demi-droites s’appellent les côtés de l’angle.
  L’origine commune des deux demi-droites s’appelle le sommet de l’angle.
\end{defi}
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \draw (0,0) node[below] {$O$};
    \draw (2,0) node[right] {$x$};
    \draw (2,2) node[right] {$y$};
    \draw (0,0) -- (2,0) ;
    \draw (0,0) -- (2,2);
    \draw (1,0) arc (0:45:1) ;
    \draw (22:1.3) node {$\alpha$};
    \draw[double] (45:1.3) arc (45:360:1.3) ;
    \draw (225:1.35) node [left] {$\beta$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}

Deux demi-droites définissent donc deux angles, l'un ``rentrant'' ($\alpha$ sur la figure) et l'autre ``sortant'' ($\beta$ sur la figure).
Les angles sont souvent notés à l'aide des lettres grecques $\alpha,\beta,\theta$.

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\subsection{Degrés et radians}
On mesure un angle $\alpha$ à l'aide d'un rapporteur gradué en degrés ou en radians.
Le radian est une mesure d'angles proportionnelle au degré et tel qu'un angle plat mesure $\pi$ radians.
On a donc

\[ 
\text{Mesure en radians}\, (\alpha) = \frac{\pi}{180} \,\text{Mesure en degrés}\,(\alpha) \]

En particulier, un angle droit mesure $\frac{\pi}{2}$ radians et un tour complet correspond à $2\pi$ radians.

%\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Triangle rectangle et fonctions trigonométriques}
\begin{defi}
  Considérons un triangle $OAB$ rectangle en $O$ et soit $\alpha$ l'angle en $A$.
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \draw (0,0) node[below] {$A$};
      \draw (3.5,0) node[right] {$O$};
      \draw (3.5,2) node[right] {$B$};
      \draw (0,0) -- (3.5,0) ;
      \draw (0,0) -- (3.5,2);
      \draw (3.5,2) -- (3.5,0);
      \draw (3.3,0.2) -- (3.5,0.2);
      \draw (3.3,0.2) -- (3.3,0);
      \draw (1,0) arc (0:30:1) ;
      \draw (15:1.3) node {$\alpha$};
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
  Les fonctions cosinus, sinus et tangente sont définies par
  \[   
  \cos(\alpha) = \frac{OA}{AB}, \quad \sin(\alpha) = \frac{OB}{AB}, \quad \tan(\alpha) = \frac{OB}{OA}.
  \]  



\end{defi}

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\section{Le cercle trigonométrique}
Dans cette partie, on adopte une vision plus rigoureuse des angles et des fonctions trigonométriques fondée sur le cercle trigonométrique.

\subsection{Périmètre d'un cercle.}
On rappelle que la longueur d'un cercle (ou son périmètre) est proportionnelle à son rayon: si $\mathcal{C}$ est un cercle de centre $A$ et de rayon $r$, alors 
\[
\text{Périmètre}\, (\mathcal{C}) = 2\pi r.
\]

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[scale=1.5]
    \draw (0,0) node [below] {$A$};
    \draw (0,0) circle (1);
    \draw (45:0) -- (45:1);
    \draw (45:0.5) node [above] {$r$};
    \draw (0,-1) node[below] {$\mathcal{C}$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}

On en déduit immédiatement que la longueur d'un demi-cercle est $\pi r$, celle d'un quart de cercle $\pi r/2$, etc.

\subsection{Le cercle trigonométrique}
On se place dans $\R^2= \{(x,y) : x\in \R, y\in \R\}$ et on considère le cercle $\mathcal{C}_1$ de centre $O=(0,0)$ et de rayon $1$, appelé cercle unité ou cercle trigonométrique. 

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[scale=2.5]
    \draw (-1.1,0) -- (1.1,0) ;
    \draw (0,-1.1) -- (0,1.1);
    \draw (0,0) circle (1);
    \draw[color=red,dashed] (.5,.87) -- (.5,0);
    \draw[color=red,dashed] (.5,.87) -- (0,.87);

    \draw (0,0) -- (.5,.87);
    \draw (.5,.87) node[right] {$M=(x,y)$};
    \draw (.5,0) node[below] {$x$};
    \draw (0,.87) node[left] {$y$};
    \draw(0,1.1) node[left] {(0,1)};
    \draw(1.1,0) node[right] {(1,0)};
    \draw[thick,->] (30:1.8) arc (30:60:1.8) ;
    \draw (45:2) node[right]{$+$};
    %\draw (30:.3) node {$\alpha$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}

Ce cercle est constitué de tous les points à distance $1$ de l'origine $O$, c'est-à-dire
\[
\mathcal{C}_1 = \{(x,y) \in \R^2 : x^2 + y^2 = 1\}.
\]

Par convention, on adopte le \emph{sens inverse des aiguilles} d'une montre comme sens direct, comme indiqué sur la figure ci-dessus. On parle du sens trigonométrique. 

On va maintenant repérer un point $M$ du cercle unité $\mathcal{C}_1$ par la longueur $\ell$ de l'arc de cercle joignant le point $A=(1,0)$ à $M$ dans le sens trigonométrique direct.

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[scale=2.5]
    \draw (-1.1,0) -- (1.1,0) ;
    \draw (0,-1.1) -- (0,1.1);
    \draw (0,0) circle (1);
    \draw (0,0) -- (60:1);
    \draw (60:1.1) node[right] {$M(\ell)$};
    \draw(0,1.1) node[left] {$M(\pi/2)=(0,1)$};
    \draw(-1.1,0) node[left] {$M(\pi)=(-1,0)$};
    \draw[color=red, thick] (1,0) arc (0:60:1);
    \draw(1.1,0) node[right] {$(1,0) = M(0)=M(2\pi)$};
    \draw(0,-1.1) node[below] {$(0,-1) =M(3\pi/2)$};
    \draw(30:1.1) node[right] {$\ell$};
    \draw[thick,->] (30:1.8) arc (30:60:1.8) ;
    \draw (45:2) node[right]{$+$};
    \draw (0.5,0) arc (0:60:0.5); 
    \draw (30:.3) node {$\alpha$};
    \draw (0,-0.1) node[left] {$O$};
    \draw (1,-0.1) node[left] {$A$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}

Quand $\ell$ varie de $0$ à $2\pi$, le point $M(\ell)$ décrit tout le cercle trigonométrique en passant successivement par les points $(0,0)$ (pour $\ell=0$), $(0,1)$ (pour $\ell=\pi/2$), $(1,0)$ (pour $\ell = \pi$), $(0,-1)$ (pour $\ell = 3\pi/2$) et de nouveau $(0,0)$ (pour $\ell= 2\pi$). Le nombre $\ell$ est la mesure en radian de l'angle $\alpha$ représenté sur le dessin. On fait très souvent l'abus de notation de considérer que $\ell = \alpha$ (on assimile l'angle à sa mesure en radian), si bien qu'on note aussi $M(\alpha)$ à la place de $M(\ell)$.

On étend la définition de $M(\ell)$ pour tout $\ell \in \R\setminus [0,2\pi]$ de la manière suivante:
\begin{enumerate}
\item Pour $\ell >2\pi$ : on interprète $\ell$ comme un certain nombre de tours complets suivi d'un chemin de longueur $< 2\pi$. Plus formellement, si $\ell= 2k\pi + r$, avec $k \in \N^*$ et $r\in [0,2\pi[$, on pose $M(\ell) = M(r)$. Le point a parcouru $k$ tours entiers puis un arc de cercle de longueur $r$ dans le sens trigonométrique direct.
  \item Pour $\ell<0$ : on interprète $\ell$ comme un déplacement dans le sens trigonométrique indirect. Plus formellement, cela revient à définir $M(\ell)$ comme le symétrique de $M(-\ell)$ par rapport à l'axe $(Ox)$.
\end{enumerate}


\section{Fonctions trigonométriques}

\subsection{Définition}

\begin{defi}
  Pour tout $x\in \R$, considérons le point $M(x)$ introduit précédemment. On définit $\cos (x)$ comme son abscisse et $\sin (x)$ comme son ordonnée.
  Si $x\in \R \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k\in \N \}$, on définit également $\tan (x) = \frac{ \sin(x)}{\cos(x)} $. 
\end{defi}

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[scale=2.5]
    \draw (-1.1,0) -- (1.1,0) ;
    \draw (0,-1.1) -- (0,1.1);
    \draw (0,0) circle (1);
    \draw[color=red,dashed] (.5,.87) -- (.5,0);
    \draw[color=red,dashed] (.5,.87) -- (0,.87);

    \draw (0,0) -- (.5,.87);
    \draw (.5,.87) node[right] {$M(\alpha)$};
    \draw (.5,0) node[below] {$\cos(\alpha)$};
    \draw (0,.87) node[left] {$\sin(\alpha)$};
    \draw (.2,0) arc (0:60:.2) ;
    \draw (30:.3) node {$\alpha$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}


Remarquons que cette définition généralise la définition dans les triangles rectangles.
En effet, considérons $0<x<\frac{\pi}{2}$ et le point $B(x)$ qui est le projeté de $M(x)$ sur l'axe des abscisses. On obtient bien que $OB(x)M(x)$ est rectangle en $B(x)$ et $\cos (x) = \frac{OB(x)}{OM(x)}$ car $OM(x)=1$. De même, $\sin (x) = \frac{B(x)M(x)}{OM(x)}$. Enfin, la relation $\tan (x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$  était déjà vérifiée.


Les fonctions $\cos$, $\sin$ et $\tan$ peuvent donc être vues comme des fonctions définies sur $\R$ (ou $\R \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k\in \N \}$ en ce qui concerne la fonction $\tan$).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Relation entre les angles et valeurs particulières}


\[
\begin{array}{lll}
  \cos 0 = 1 &  \sin 0 = 0 & \tan 0 = 0 \\
  \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} & \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} & \tan \frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\
  \cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} & \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} & \tan \frac{\pi}{4}=1 \\
  \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} & \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} & \tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3} \\
  \cos \frac{\pi}{2} = 0 & \sin \frac{\pi}{2} = 1 & \tan \mbox{ non défini en } \frac{\pi}{2}
\end{array}
\]

Le dessin du cercle trigonométrique permet de retrouver ces valeurs particulières, ainsi que les relations qui relient à $\cos x$, $\sin x$ et $\tan x$ les valeurs de ces fonctions en $-x$, $x+\pi$, $\frac{\pi}{2} -x$, etc. (cf Exercice 1 du TD 1).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Premières propriétés}


\subsubsection{La fonction sinus:}
\begin{enumerate}
\item $\sin$ est définie sur $\R$.
\item $\sin$ est $2\pi$-périodique: $\forall x\in \R, \sin(x+2\pi) = \sin(x)$
\item $\sin$ est une fonction impaire: $\forall x\in \R, \sin(-x) = - \sin x$.
\item $\sin$ est continue et dérivable sur $\R$ et
  \[ \forall x\in \R, \quad \sin' x = \cos x \]
\end{enumerate}  
Graphe de la fonction $\sin$:
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[scale=.6]

    \draw[->] (-7,0) -- (7,0);
    \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5);
    \draw [domain=-7:7,samples=200] plot (\x,{sin(\x r)});
    \draw (pi,0) node[below] {$\pi$};
    \draw (pi/2,0) node[below] {$\frac{\pi}{2}$};
    \draw (0,1) node[left] {$1$};
    \draw (0,-1) node[right] {$-1$};

  \end{tikzpicture}
\end{center}
L'imparité de la fonction $\sin$ entraîne que son graphe admet le point $(0,0)$ comme centre de symétrie.


\subsubsection{La fonction cosinus:}
\begin{enumerate}
\item $\cos$ est définie sur $\R$.
\item $\cos$ est $2\pi$-périodique: $\forall x\in \R, \cos(x+2\pi) = \cos(x)$
\item $\cos$ est une fonction paire: $\forall x\in \R, \cos(-x) = \cos x$.
\item $\cos$ est continue et dérivable sur $\R$ et
  \[ \forall x\in \R,\quad \cos' x = - \sin x \]
\end{enumerate}
Graphe de la fonction $\cos:$
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[scale=.6]
    \draw[->] (-7,0) -- (7,0);
    \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5);
    \draw [domain=-7:7,samples=200] plot (\x,{cos(\x r)});
    \draw (pi,0) node[below] {$\pi$};
    \draw (pi/2,0) node[below] {$\frac{\pi}{2}$};
    \draw (0,1.2) node[left] {$1$};
    \draw (0,-1) node[right] {$-1$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}
La parité de la fonction $\cos$ entraîne que son graphe admet l'axe des ordonnées  comme axe de symétrie.




\subsubsection{ La fonction tangente:}
\begin{enumerate}
\item $\tan$ est définie sur $\R \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi: k\in \N\}$.
\item $\tan$ est $\pi$-périodique: $\forall x\in  \R\setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi: k\in \N\}, \tan(x+\pi) = \tan(x)$
\item $\tan$ est une fonction impaire: $\forall x\in  \R\setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi: k\in \N\}, \tan(-x) = - \tan x$

  Cela entraîne que son graphe admet le point $(0,0)$ comme centre de symétrie.
\item $\tan$ est continue et dérivable sur $\R \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi :k\in \N\}$ et
  \[ \forall x\in \R \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi: k\in \N\right\}, \quad \tan' x = \frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x \]
\end{enumerate}  


\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[scale=.6]
    \clip (-7,-7) rectangle (7,7);
    \draw[->] (-7,0) -- (7,0);
    \draw[->] (0,-7) -- (0,7);
    \draw [domain=-7:7,samples=200] plot (\x,{tan(\x r)});
    \draw (pi/2,0) node[below left] {$\frac{\pi}{2}$};
    \draw (-pi/2,0) node[below left] {$-\frac{\pi}{2}$};

  \end{tikzpicture}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection{Autres propriétés}


\begin{prop}\ 
  \begin{enumerate}
  \item Pour tout $x \in \R$,
    \[ \cos^2 x + \sin^2 x =1. \]
  \item Pour tout $x,y \in \R$,
    \begin{align*}
      \sin(x+y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y  &    \cos(x+y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y \\
      \sin(x-y) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y  &   \cos(x-y) &= \cos x \cos y + \sin x \sin y \\
      \sin (2x) &= 2 \sin x \cos x               &       \cos(2x) &= 2 \cos^2 x -1
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{prop}

La première égalité est une conséquence du théorème de Pythagore. Les autres peuvent se démontrer à l'aide des nombres complexes (cf TD 2).

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Réciproques des fonctions trigonométriques}

\subsubsection{Bijections, fonctions réciproques}
Soit $f : E \to F: x \mapsto f(x)$ une fonction définie sur un ensemble $E$ et à valeurs dans un ensemble $F$. On dit que $f$ est une \emph{bijection} si pour tout $y \in F$, il existe un unique $x \in E$ tel que $f(x)=y$.
Autrement dit, $f$ est bijective si et seulement si pour tout $y\in F$, l'équation 
\[
f(x) = y, \qquad x \in E
\]
admet une \emph{unique solution}. On note cette solution $f^{-1}(y)$. 
On a ainsi défini une nouvelle fonction $f^{-1} : F \to E : y \mapsto f^{-1}(y)$ appelée fonction \emph{réciproque} de $f$. On a les relations suivantes:
\[
f(f^{-1}(y)) = y,\qquad \forall y\in F\qquad\text{et}\qquad f^{-1}(f(x)) = x,\qquad \forall x\in E.
\]

Voici quelques exemples : 
\begin{enumerate}
\item La fonction $[0,+\infty[ \to [1,+\infty[ : x\mapsto x+1$ est une bijection dont la réciproque est $[1,+\infty[ \to [0,+\infty[ : x\mapsto x-1$.
\item La fonction $[0,+\infty[ \to [0,+\infty[ : x\mapsto x^2$ est une bijection dont la bijection réciproque est $[0,+\infty[ \to [0,+\infty[ : x\mapsto \sqrt{x}$.
\item La fonction $\R \to ]0,+\infty[ : x \mapsto e^x$ est une bijection dont la bijection réciproque est $]0,+\infty[ \to \R : x \mapsto \ln x$.
\end{enumerate}

Le critère suivant permet de montrer qu'une application est une bijection:

\begin{prop}
  Soient $I, J \subset \R$ des intervalles de $\R$, et soit $f : I \to J$ une application. Si
  \begin{enumerate}
  \item $f$ est strictement monotone, et
  \item $f(I)= J$,
  \end{enumerate}
  alors $f$ est une bijection entre $I$ et $J$. De plus, la bijection réciproque $f^{-1} : J \to I$ a même monotonie que $f$.
\end{prop}

\proof
On peut supposer sans perte de généralité que $f$ est strictement croissante (car si elle ne l'est pas, on peut par exemple considérer la fonction $-f$).
Pour tout $y \in J = f(I)$, il existe au moins un $x$ tel que $f(x)=y$. Si $x' < x$, on a $f(x') < f(x) = y$ et si $x'>x$, alors $f(x') > f(x)=y$. Donc si $x' \neq x$, $f(x') \neq f(x)$. On en déduit que l'équation $f(x)=y$ admet une unique solution.

Montrons maintenant que $f^{-1}$ a le même sens de monotonie que $f$. Si $y<y'$, alors on a $f^{-1}(y)<f^{-1}(y')$. En effet, si on avait $f^{-1}(y)\geq f^{-1}(y')$, alors comme $f$ est croissante, on aurait $f(f^{-1}(y)) \geq f(f^{-1}(y'))$ et donc $y \geq y'$, ce qui est absurde.
\endproof

\begin{prop}
  Si $f: I \to J$ est une bijection entre deux intervalles $I,J$ de $\R$ et si $f$ est dérivable, alors en tout point $y \in J$ où $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$, la fonction $f^{-1}$ est dérivable et la dérivée est donnée par la formule
  \[
  (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'\circ f^{-1}(y)}.
  \] 
\end{prop}
\proof
On admet que $f^{-1}$ est dérivable et on se contente de montrer la formule. Par dérivation d'une composée, $(f\circ f^{-1})'(y) = (f^{-1})'(y) f'( f^{-1}(y))$. Or, $f\circ f^{-1}(y) = y,$ et donc $(f\circ f^{-1})'(y) =1$. Par conséquent,
\[
1 = (f^{-1})'(y) f'(f^{-1}(y)),\qquad \forall y\in J.
\]
Si $y$ est tel que $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$, on obtient donc la formule annoncée.
\endproof


%Rappels : \\
%Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ continue et strictement monotone. Alors
%\begin{itemize}
%\item $J=f(I)$ est un intervalle
%\item $ f: \begin{array}{ccc}
%I & \rightarrow & J \\
%x & \mapsto & y=f(x)
%\end{array}
%$  est bijective, c'est-à-dire que tout élément de $J$ a un antécédent et un seul
%\item $f$ admet une bijection réciproque $ f^{-1}: \begin{array}{ccc}
%J & \rightarrow & I \\
%y & \mapsto & x = f^{-1}(y)
%\end{array}
%$    
%\end{itemize}

%
%{\bf Propriétés d'une réciproque:}
%\begin{enumerate}
%\item Les courbes de $f$ et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.
%\item $f^{-1}$ et $f$ ont le même sens de variation: elles sont toutes les deux strictement croissantes ou toutes les deux strictement décroissantes.
%\item Si $f$ est dérivable, $f^{-1}$ est dérivable et $(f^{-1})' (y) = \frac{1}{f' (f^{-1}(y))}$.
%\end{enumerate}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Les fonctions circulaires inverses}

Les fonctions trigonométriques \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\) ne sont pas des bijections, et n'ont par conséquent pas de fonction réciproque.
On peut cependant les restreindre à des intervalles bien choisis pour les rendre bijectives. Les fonctions ainsi obtenues sont parfois notées \(\sin,\cos,\tan\) elles aussi, même si c'est un abus de notation.

Les réciproques de ces fonctions restreintes sont notées respectivement $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$. 

\paragraph{La fonction $\arcsin$ :} on considère la restriction de la fonction \(\sin\) à l'intervalle \([-\pi/2,\pi/2]\), qui est une bijection entre son ensemble de départ et \([-1,1]\).
\[
f: \begin{array}{ccc}
  [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] & \rightarrow & [-1,1] \\
  x & \mapsto & \sin x
\end{array}
\qquad\qquad
\arcsin = f^{-1}: \begin{array}{ccc}
  [-1,1] & \rightarrow & [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \\
  y & \mapsto & \arcsin(y)
\end{array}
\]
La dérivée de la fonction \(\arcsin\) est alors donnée par
\[
\arcsin' (y) = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}.
\]
En effet, d'après la formule de dérivation des fonctions réciproques,
\[
\arcsin' (y) = \frac{1}{f '(\arcsin(y))} = \frac{1}{\sin '(\arcsin(y))} = \frac{1}{\cos(\arcsin(y))}.
\]
Posons $\theta = \arcsin(y) \in [-\pi/2,\pi/2]$. Comme $\cos^2(\theta) = 1-\sin^2(\theta)$, on en déduit que $\cos \theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \pm \sqrt{1 - x^2}$. Comme de plus, $\theta \in [-\pi/2,\pi/2]$, on a $\cos \theta \geq 0$, et on peut finalement conclure que $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$, ce qui démontre la formule de la dérivée.

\paragraph{La fonction $\arccos$ :} cette fois, on considère la restriction de \(\cos\) à \([0,\pi]\), qui est une bijection.
\[
g: \begin{array}{ccc}
  [0,\pi] & \rightarrow & [-1,1] \\
  x & \mapsto & \cos x
\end{array}
\qquad\qquad
\arccos = g^{-1}: \begin{array}{ccc}
  [-1,1] & \rightarrow & [0,\pi] \\
  y & \mapsto & \arccos(y)
\end{array} 
\]
et sa dérivée est donnée par
\[
\arccos' (y) = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}.
\]

\paragraph{La fonction $\arctan$ :} finalement, la restriction de \(\tan\) à \(]-\pi/2,\pi/2[\) est une bijection.
\[
h: \begin{array}{ccc}
  \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ & \rightarrow & \R \\
  x & \mapsto & \tan x
\end{array}
\qquad\qquad
\arctan=h^{-1}: \begin{array}{ccc}
  \R & \rightarrow & \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ \\
  y & \mapsto & \arctan(y)
\end{array}
\]
dont la dérivée est
\[
\arctan' (y) = \frac{1}{1+y^2}.
\]
