\chapter{Nombres complexes}

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ : ce sont des inclusions strictes. Chaque nouvel ensemble a des propriétés que le précédent n’a pas.

$\mathbb{N}$: ensemble des nombres entiers naturels, ceux qui servent à dénombrer. Ensemble stable par addition et multiplication.

$\mathbb{Z}$: ensemble des nombres entiers relatifs : ensemble des nombres entiers positifs et négatifs (0 est
positif et négatif). Tout entier relatif a un opposé: l'ensemble devient stable par soustraction.

$\mathbb{Q}$: ensemble des nombres rationnels : qui peuvent s’écrire comme une fraction. Tout rationnel non nul a un inverse: l'ensemble est stable par division.

$\mathbb{R}$: ensemble des nombres réels, contient, en plus des rationnels, toutes les limites de suites de rationnels. Les réels $\pi$, $\sqrt{2}$ ou $e=\exp(1)$ sont des exemples de réels qui ne sont pas rationnels (en fait, il y a infiniment plus de réels non rationnels que de réels rationnels). 

$\mathbb{C}$: ensemble des nombres complexes. Tout nombre complexe non nul a deux racines carrées. En particulier, tout réel strictement négatif (qui est aussi un nombre complexe) a deux racines carrées.

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\section{Définitions}

\subsection{Nombre complexe}

On ajoute à l'ensemble $\R$ un nouvel élément noté $i$ tel que $i^2=-1$ (bien sûr $i \notin \R$). On définit alors l'ensemble des nombres complexes \(\C\) par 
\[
\C = \{ z : z = x + i y, x\in\R, y \in \R \}.
\]
Si $z = x+iy$, on note $\re(z)=x$ qui est appelé \emph{partie réelle de $z$} et $\im(z)=y$ est sa \emph{partie imaginaire}.

\begin{rem} Soit \(z\) est un nombre complexe.
  \begin{itemize}
  \item $\im(z)$ est un réel.
  \item Si $\im(z) = 0$, alors $z$ est un réel.
  \item Si $\re(z) = 0$, on dit que $z$ est un \emph{imaginaire pur}.
  \end{itemize}
\end{rem}


\begin{defi}[Affixe]
  Le nombre complexe $z=x+iy$ peut être représenté par le point du plan $M$ de coordonnées $(x,y)$. On dit alors que $z$ est l'\emph{affixe} de $M$. 
\end{defi}


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\subsection{Représentation polaire}

\subsubsection{Module et argument}

Soit $O$ le point de coordonnées $(0,0)$ et $A$ celui de coordonnées $(1,0)$. Soit $z=x+iy$ un complexe. Le point $M$ d'affixe $z$ peut également être repéré en coordonnées polaires, c'est-à-dire par un couple $(r,\theta)$ où $r$ est la distance $OM$, et $\theta$ est l'angle, défini modulo $2\pi$, entre $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OM}$.

\begin{defi}
  Le nombre $r$ est appelé le \emph{module} de $z$, et $\theta$ son \emph{argument}.
\end{defi}

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \draw (0,0) node[below] {$O$};
    \draw (2,0) node[right] {$A$};
    \draw (2,2) node[right] {$M=(x,y)$};
    \draw (0,0) -- (2,0) ;
    \draw (0,0) -- (2,2);
    \draw (1,0) arc (0:45:1) ;
    \draw (22:1.3) node {$\theta$};
    \draw (1,1) node [above left] {$r$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}

Les coordonnées cartésiennes $(x,y)$ peuvent être retrouvées à partir des coordonnées polaires $(r,\theta)$ par
\[
x=r\cos \theta,    \qquad     y=r\sin \theta.
\]
Inversement, on peut trouver les coordonnées polaires à partir des cartésiennes :
\[
r= \sqrt{x^2 + y^2},    \qquad     \tan \theta = \frac{y}{x} \text{ si } x\neq 0
\]
Cette dernière relation et la fonction $\arctan$ ne définissent par entièrement $\theta$. Il faut utiliser également l'information concernant les signes respectifs de $x$ et $y$.


\subsubsection{Notation exponentielle complexe}

\begin{defi}
  On note $e^{i\theta}$ le nombre complexe défini par
  \[
  e^{i\theta} = \cos \theta +i \sin \theta.
  \]
  On peut alors écrire, pour un nombre complexe $z$ de module $r$ et d'argument $\theta$,
  \[
  z= x+iy = re^{i\theta}.
  \]
  Cette écriture est appelée \emph{forme trigonométrique} ou encore \emph{forme polaire} du nombre $z$, par opposition à la \emph{forme algébrique}.
\end{defi}


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\section{Opérations}

Dans tout cette section, on considère deux nombres complexes $z$ et $z'$, qu'on écrire aussi $z=x+iy=r e^{i\theta}$ et $z'=x'+iy' = r' e^{i\theta'}$. 

\subsection{Addition}

La somme de deux nombres complexes s'écrit simplement :
\[
z+z' = x+x' + i(y+y').
\]

\begin{rem}
  L'addition ne s'écrit pas de manière simple pour des nombres complexes sous forme polaire. La forme algébrique est (en général) bien plus appropriée.
\end{rem}

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\subsection{Multiplication}

On rappelle que $i^2=-1$. En développant $zz'$, on obtient donc
\[
zz' = xx' - yy' +i (xy'+x'y).
\]
Sous forme polaire, la règle de multiplication des exponentielles s'applique et on obtient la simple formule
\[
zz' = rr' e^{i(\theta + \theta')}.
\]

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\subsection{Conjugaison}

\begin{defi}
  On définit le \emph{conjugué} de $z$ et note $\zbar$ le nombre complexe
  \[
  \zbar = x - iy.
  \]
\end{defi}
La conjugaison jouit des propriétés suivantes :
\begin{prop} ~
  \begin{enumerate}
  \item Les points du plan $M(z)$ et $M(\zbar)$ correspondant sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. En particulier, $z$ et $\zbar$ ont même module et leurs arguments sont opposés:
    \[
    \text{si } z=r e^{i\theta},\text{ alors } \zbar = re^{-i\theta} ;
    \]
  \item $z\zbar = r^2 = x^2+y^2$ ;
  \item $\bar{\zbar} = z$ ;
  \item $\zbar = z$ si et seulement si $z$ est un réel ;
  \item $\zbar = -z$ si et seulement si $z$ est un imaginaire pur ;
  \item $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ ;
  \item $\overline{zz'} = \bar{z} \bar{z'}$ ;
  \item $\overline{\big( \frac{z'}{z} \big)} = \frac{\bar{z'}}{\bar{z}}$.
  \end{enumerate}
\end{prop}

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\subsection{Inversion}

Tout nombre complexe non nul admet un inverse, qui s'obtient facilement à partir de la forme polaire de $z$.

Soit $z \in \mathbb{C}^*=\C\backslash\{0\}$. Le module de $z$ est alors nécessairement non-nul, et donc $z=re^{i\theta}$ avec $r\neq 0$. Par conséquent, $z$ admet pour inverse $\frac{1}{z} = \frac{1}{r} e^{-i\theta}$.

Pour inverser $z$ quand il est écrit sous sa forme $x+iy$, on multiplie la fraction en haut et en bas par le conjugué du dénominateur. De manière générale, pour une fraction impliquant des nombres complexes, cette opération permet de se ramener à une fraction dont le dénominateur est réel :
\[
\frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} = \frac{x-iy}{x^2+y^2}.
\]

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\subsection{Propriétés algébriques de $\mathbb{C}$}


\subsubsection{$(\mathbb{C},+)$ est un groupe additif}

\begin{enumerate}
\item $\mathbb{C}$ est stable par addition
\item l'addition est commutative: $z+z' = z'+z$
\item l'addition est associative: $(z+z')+z^{''} = z+ (z'+z^{''})$.
\item L'addition admet un élément neutre ($0$)
\item Tout élément admet un opposé.
\end{enumerate}

\subsubsection{$(\mathbb{C}^*,\times)$ est un groupe multiplicatif}

\begin{enumerate}
\item $\mathbb{C}^*$ est stable par multiplication
\item la multiplication est commutative: $zz' = z'z$
\item la multiplication est associative: $(zz')z^{''} = z(z'z^{''})$.
\item La multiplication admet un élément neutre ($1$)
\item Tout élément admet un inverse.
\end{enumerate}


\subsubsection{$(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps}

\begin{enumerate}
\item $(\mathbb{C},+)$ est un groupe
\item $(\mathbb{C}^*,\times)$ est un groupe
\item les opérations sont distributives:   $z(z'+z^{''}) = zz'+zz^{''}$  
\end{enumerate}
