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\begin{document}
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\begin{center}
  {\Large \bf TD 10 : Équation des ondes}
\end{center}
\bigskip

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\ex(Énergie discrète).
Pour \(\theta\in\sbra{0, 1/2}\), on considère le \(\theta\)-schéma centré avec conditions aux bord périodiques, donné par
\[
u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1} + \frac{(\Delta t)^2}{(\Delta x)^2}A\pare{\theta u^{n+1} + (1-2\theta)u^n + \theta u^{n-1}} = 0,
\]
avec la convention \(u^n_0 = u^n_{N+1}\) pour tout \(n \geq 0\), et où \(A\) est la matrice du Laplacien discret (périodique),
\[
A = 
\begin{pmatrix}
  2  & -1 & 0 & \cdots & -1 \\
  -1 &  2 & -1 & \cdots &  0 \\
  %% 0  & -1 & 2  &  &  \\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
  0 & \cdots & -1 & 2 & -1\\
  -1 & 0 & \cdots &  -1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
On définit l'énergie discrète
\[
E^{n+1} =\norm*{\frac{u^{n+1} - u^n}{\Delta t}}^2 + \frac{1}{(\Delta x)^2}\pare*{ Gu^{n+1}, Gu^n }+
\frac{\theta}{(\Delta x)^2}\norm*{ G(u^{n+1}-u^n) }^2
\]
où \((.,\, .)\) désigne le produit scalaire canonique sur \(\R^{N+1}\), \(\norm .\) la norme associée, et \(G\) est la matrice du gradient scalaire, \((Gu)_i = u_{i+1}-u_i\) (où on rappelle la convention \(u_{N+1}=u_0\)).
\begin{enumerate}
\item En supposant que \(u\) est de classe \(C^4\), vérifier que l'énergie discrète (multipliée par le pas d'espace) est une approximation à l'ordre 1 en temps et en espace de l'énergie au temps \(t^{n+1}\),
  \[
  E(t^{n+1}) = \int_0^1 u_t^2 + u_x^2.
  \]
\item Montrer que pour tout \(u, v\in\R^{N+1}\),
  \[
  \pare{Gu, Gv} = \pare{u, Av}.
  \]
\item En déduire que \(E^{n+1}-E^n = 0\), c'est-à-dire que l'énergie discrète est conservée.
\item Peut-on en déduire la stabilité \(L^2\) du schéma numérique ?
\item Dans un premier temps, montrer que l'inégalité de Poincaré discrète suivante est vérifiée : pour tout \(u\in\R^{N+1}\),
  \[
  \norm{Gu} \geq 4\sin^2\pare*{\pi\Delta x}\norm{u-\bar u},
  \]
  où \(\Delta x=1/(N+1)\) et \(u\) désigne la valeur moyenne de \(u\),
  \[
  \bar u =\frac{1}{N+1} 
  \begin{pmatrix}
    1 &  \cdots & 1 \\
    \vdots  & \ddots & \\
    1 & &  1
  \end{pmatrix}u .
  \]
\item Dans un second temps, montrer que pour tout \(v,w\in\R^{N+1}\),
  \[
  (w, v) + \theta\norm{w-v}^2 \geq \pare*{1-\frac{1}{4\theta}}\norm w^2.
  \]
\item En déduire la stabilité inconditionnelle du schéma lorsque \(\theta\in\osbral{1/4, 1/2}\), et en supposant que les conditions initiales vérifient \(\bar u^0 = \bar u^1\).
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex (Le cas le plus simple)
On considère l'équation des ondes homogène
\begin{equation*}
  \pd{tt}u - \pd{xx}u = 0
\end{equation*}
 sur $t>0$ et $x\in[0,1]$, avec conditions de Dirichlet homogènes.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation des ondes avec conditions initiales :
  \begin{equation*}
    u(0,x) = 0, \quad \pd{t}u(0,x) = 2k\pi\sin(2k\pi x).
  \end{equation*}
\item Implémenter le \(\theta\)-schéma centré, et mettre en évidence l'ordre de consistance du schéma.
\item Vérifier que l'énergie discrète est constante.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex 
Dans cet exercice, on considère l'équation des ondes non homogène sur $t>0$ et $x\in[0,1]$,
\begin{equation*}
  \pd{tt}u - \pd{xx}u = f(u).
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Adapter le schéma centré pour cette équation avec $f(u) = \sin(u)$ et avec conditions de Dirichlet homogènes.
\item Adapter le schéma centré pour l'équation des ondes avec $f(u) = 0$  et avec conditions de Dirichlet données par
  \begin{equation*}
    u(0,t) = \sin(2\pi t) , \quad u(t,1) = 0.
  \end{equation*}
  On prendra comme conditions initiales :
  \begin{equation*}
    u(0,x) = 0 , \quad \pd{t}u(0,x) = 2\pi(1-x).
  \end{equation*}
\end{enumerate}


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\end{document}
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