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\begin{document}
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\begin{center}
  {\Large \bf TD 4 : Intégration numérique}
\end{center}
\bigskip

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\ex (Autour de Newton-Cotes) On rappelle la méthode de Newton-Cotes de rang \(k\), dans le cas où l'intervalle est subdivisé en \(n\) sous-intervalles de même taille :
\[
\int_a^b f(x)dx \simeq \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^k \omega_jf(x_{ij}),
\]
où
\[
x_{ij}= a + \pare*{i+\frac{j}{k}}\frac{b-a}{n},\quad \omega_j=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 L_j(u)du=\int_{-1}^1 \prod_{i\neq j}\frac{u-u_i}{u_j-u_i}du,\quad u_j=-1+2\frac{j}{k}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que \(\omega_j = \omega_{k-j}\) pour tout \(j\in\dbra{0,k}\).
\item Déterminer les coefficients \(\omega_j\) intervenant dans la méthode de Newton-Cotes d'ordre 1, 2, et 4 (à la main, ou numériquement).
\item Implémenter ces trois méthodes de Newton-Cotes dans une seule et même fonction, qui prend en entrée une fonction \(f\), le rang de la méthode \(k\), l'intervalle d'intégration \([a,b]\) et un entier \(n\) correspondant au pas de la subdivision \(h=(b-a)/n\).
\item Comparer la convergence de ces méthodes graphiquement.
\end{enumerate}


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\ex (Méthode de Gauss-Legendre) On s'intéresse à la méthode de Gauss pour l'intégration sur l'intervalle \(\sbra{-1,1}\) avec le poids \(\omega\equiv 1\).
\begin{enumerate}
\item Déterminer les quatre premiers polynômes orthogonaux unitaires de \(L^2(\sbra{-1,1})\).
\item Décrire les méthodes de quadrature élémentaires associées, d'ordre respectivement 1, 3 et 5.
\item Les implémenter, et comparer la vitesse de convergence avec les méthodes de l'exercice précédent.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex (Estimation de l'erreur) Dans cet exercice, on considère une méthode de quadrature élémentaire définie par les points \((\xi_j)_{0\leq j\leq l}\subset [a,b]\) et les poids \((\omega_j)_{0\leq j\leq l}\). On suppose que la méthode est d'ordre \(N>0\), et on considère l'erreur
\[
E(f)= \int_a^b f(x)\omega(x)dx - (b-a)\sum_{j=0}^l\omega_jf(\xi_j).
\]
\begin{enumerate}
\item En supposant que \(f\in \mc C^{N+1}\), montrer que
  \[
  E(f) = \frac{1}{N!}\int_a^b k_N(t) f^{N+1}(t)dt,
  \]
  où le noyau de Péano \(k_N(t)=E\pare*{x\mapsto (x-t)^N_+}\), et \(y_+=\max(y,0)\) désigne la partie positive (\emph{Indication :} utiliser un développement de Taylor avec reste intégral).
\item (Lemme de la moyenne) Soit \(\eta:\osbra{a,b}\to\R_+\) une fonction intégrable et positive, et \(g\) une fonction continue sur \(\sbra{a,b}\). Montrer qu'il existe \(\xi\in\osbra{a,b}\) tel que
  \[
  \int_a^b f(x)\eta(x)dx = f(\xi)\int_a^b\eta(x)dx.
  \]
\item On suppose que le noyau de Péano \(k_N\geq 0\). Montrer qu'il existe \(\xi\in\osbra{a,b}\) tel que
  \[
  E(f) = \frac{f^{N+1}(\xi)}{N!}\int_a^b k_N(t)dt = \frac{f^{N+1}(\xi)}{(N+1)!}E\pare*{x\mapsto x^{N+1}}.
  \]
  Il s'avère que pour la méthode de Newton-Cotes de tout rang, le noyau de Péano est de signe constant : c'est le théorème de Steffensen. On l'admettra dans la suite.
\item (Exemple) Calculer le noyau de Péano de la méthode du point milieu, \(\int_{-1}^1 f(x)dx \simeq 2f(0),\)
  et en déduire que \(E(f)=f''(\xi)/3\) pour un certain \(\xi\in\osbra{-1,1}\).
\end{enumerate}
Dans la suite de l'exercice, on considère une méthode de quadrature composée sur \(\sbra{a,b}\), pour le poids \(\omega\equiv 1\), construite à partir d'une unique méthode élémentaire
\[
\int_{-1}^1 f(x)dx \simeq 2\sum_{j=0}^l \omega_jf(x_j),
\]
d'ordre \(N\), et de noyau de Péano \(k_N\). Pour le choix d'une subdivision \(a=\alpha_0<\alpha_1<\dots<\alpha_k=b\), l'erreur de la méthode composée s'écrit donc
\[
E_\text{comp} = \int_a^b f(x)dx - \sum_{i=0}^{k-1}h_i\sum_{j=0}^l\omega_j f(\xi_{ij}),\quad\text{où}\quad \xi_{ij} = \frac{\alpha_i+\alpha_{i+1}}{2} + x_jh_i, \quad h_i=\alpha_{i+1}-\alpha_i.
\]
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que le noyau de Péano de la méthode composée \(K_N\) s'écrit
  \[
  t\in\sbra{\alpha_i,\alpha_{i+1}},\quad K_N(t)= \pare*{\frac{h_i}{2}}^{N+1} k_N\pare*{\frac{2}{h_i}\pare*{t-\frac{\alpha_i+\alpha_{i+1}}{2}}}.
  \]
\item On suppose que \(k_N\) est de signe constant, et que que tous les \(h_i\) sont égaux à \(h\). Montrer que si \(f\in\mc C^{N+1}\), alors il existe \(\xi\in\osbra{a,b}\) tel que
  \[
  E_\text{comp}(f) = (b-a)\frac{h^{N+1}C_N}{N! 2^{N+2}}f^{(N+1)}(\xi),\quad\text{où}\quad C_N= \int_{-1}^1k_N(t)dt.
  \]
\item (Application) On admet que le noyau de Péano de la méthode (élémentaire) de Simpson sur \([-1,1]\) est \(k_3(t)=-\frac{1}{12}(1-\abs t)^3(1+3\abs t)\). En déduire une estimation de la méthode de Simpson composée.
\end{enumerate}

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\end{document}
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