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% Exercices numbering and more 
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\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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\begin{center}
  {\Large \bf TD 8 : Équation de la chaleur}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex
Trouver une formule explicite pour la solution du système
\[
  \begin{cases}
    \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u + cu = f, & \text{dans }\R_+\times\R^d,\\
    u = g, & \text{sur }\{0\}\times\R^d,\\
  \end{cases}
\]
où \(c\) est une constante réelle.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex
On considère l'équation de la chaleur avec la condition initiale suivante :
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, & t>0,\, x\in\osbra{0, 1},\\
    u(0, x) = \sin(\pi x), & x\in\osbra{0, 1},\\
    u(t, 0) = u(t, 1) = 0, & t > 0.
  \end{cases}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Caluler la solution exacte.
\item Implémenter les trois schémas présentés en cours (Euler implicite, explicite, Crank-Nicolson) pour les temps $T \in [0,1]$.
\item Mettre en évidence la décroissance de l'énergie.
\item Mettre en évidence l'ordre en temps et en espace des schémas.
\item Reprendre les questions 2 et 3 avec $u_0 = \chi_{[1/4,3/4]}$.
  A-t-on propagation à vitesse infinie de l'information ? 
\item Calculer la solution exacte pour cette nouvelle condition initiale grâce aux séries de Fourier, et comparer les solutions approchées à la solution exacte. Que peut-on dire sur l'erreur commise ? Comment l'expliquer ? Qu'observe-t-on pour le schéma de Crank-Nicolson lorsque \(2\Delta t \simeq (\Delta x)^2\) ?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex
Soit \(\alpha >0\). On considère l'équation de la chaleur non homogène 
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \alpha u(1-u), & t>0,\, x\in\osbra{0, 1},\\
    u(0, x) = u_0, & x\in\osbra{0, 1},\\
    u(t, 0) = u(t, 1) = 0, & t > 0.
  \end{cases}
\end{equation*}
On pose respectivement $u_0(x) = \sin(\pi x)$ puis $u_0 = \chi_{[1/4,3/4]}$.
\begin{enumerate}
\item Voir que, dans les deux cas, la solution numérique donnée par le schéma d'Euler explicite explose si la condition de CFL $\frac{\Delta t}{\Delta x^2} \leq \frac 1 2$ n'est pas remplie.
\item Implémenter le schéma de Crank-Nicolson (\(\theta\)-schéma pour $\theta = 1/2$) et le schéma d'Euler implicite.
  À chaque pas de temps, on utilisera une méthode de Newton pour résoudre l'équation non linéaire faisant intervenir le vecteur \(u^{n+1}\).
  Pour l'initialisation de la méthode de Newton, on peut choisir
  \begin{itemize}
  \item $x^0 = u^n$, 
  \item $x^0 = \tilde u^{n+1}$ où $\tilde u^{n+1}$ est le vecteur obtenu à partir de \(u^n\) avec un pas de la méthode d'Euler explicite
    (on parle de méthode \emph{prédiction-correction}).
  \end{itemize}
\item Comparer les solutions et la rapidité des schémas.
\item Quel est l'effet du second membre ? Montrer que si \(u\) est une solution positive, et \(\alpha<\pi^2\), alors \(u(., t)\to 0\) dans \(L^2\) lorsque \(t\to+\infty\).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex
On reprend le problème de l'exercice précédent.
On considère les différents schémas \emph{de splitting}.
\begin{itemize}
\item Le premier consiste d'abord à traiter le terme source, puis le terme diffusif :
  \begin{enumerate}[label=\roman*.]
  \item Poser $u^{n+1/2} = u^n + \Delta t \alpha u^n(1-u^n)$,
  \item puis poser $u^{n+1} = \left(I - \frac{\Delta t}{\Delta x^2} A\right)u^{n+1/2}$
  \end{enumerate}
\item Le deuxième consiste en l'inverse : 
  \begin{enumerate}[label=\roman*.]
  \item Poser $u^{n+1/2} = \left(I - \frac{\Delta t}{\Delta x^2} A\right)u^{n}$,
  \item puis poser $u^{n+1} = u^{n+1/2} + \Delta t \alpha u^{n+1/2}(1-u^{n+1/2})$.
  \end{enumerate}
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Implémenter ces schémas. 
  L'un semble-t-il mieux converger que l'autre ?
\item Quelles seraient les versions implicites de ces schémas ?
\end{enumerate}

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\end{document}
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