%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage[]{geometry}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm}
\usepackage[matha,mathb,mathx]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{dsfont} % doublestroke font

\usepackage[french]{babel}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% geometry
\geometry{textwidth = 0.75\paperwidth,
  textheight = 0.75\paperheight}
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
\rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines


%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

%% correction stuff
%\newcommand{\correc}[1]{}
%\renewcommand{\correc}[1]{#1}  % comment out to remove corrections
% do not forget to compile twice to get page numbering right

\newtheorem*{solution}{Solution}
\newcommand{\sol}[1]{%
  \correc{\begin{solution}
      #1 \end{solution}}}

%\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Sph}{\mathbb{S}}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\newcommand{\one}{\mathds{1}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}

\newcommand{\fonction}[5]{%
  \begin{array}[t]{lrcl}
    #1 :&#2 &\longrightarrow &\displaystyle #3\\
    &#4& \longmapsto &\displaystyle #5
  \end{array}}

\newcommand{\dbra}[1]{\ldbrack #1 \rdbrack}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

% Exercices numbering and more 
\newcounter{exercice}
\newcounter{question}[section]
\newcounter{subquestion}[question]

\newcommand{\qstn}{\stepcounter{question}\paragraph{\thequestion.}~}
\newcommand{\sqstn}{\stepcounter{subquestion}\paragraph{\thequestion.\thesubquestion.}~}
\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{center}
  {\Large \bf TD 9 : Équation de transport}
\end{center}
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Partie théorique}

\ex (Avec une inconnue multi-dimensionnelle).
Soit $A \in M_n(\R)$ que l'on suppose diagonalisable dans la base $(R_i)_{i\leq n}$ de valeurs propres $(\lambda_i)_{i\leq n}$.
On s'intéresse au problème de transport multi-dimensionnel
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    \partial_tU + A \partial_xU = 0 \\
    U(0,x) = U_0(x)
  \end{cases}
\end{equation*}
Donner la solution du problème en fonction des $R_i$, des $\lambda_i$ et de $U_0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex (Avec une vitesse non constante).
On s'intéresse au problème de transport :
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    \partial_tu + (x^2 - 1)\partial_xu = 0 \\
    u(0, x) = u_0(x)
  \end{cases}
\end{equation*}
sur le domaine $t \geq 0$ et $x \in]-1,1[$.
\begin{enumerate}
\item Écrire et résoudre l'équation des caractéristiques.
\item Donner explicitement la solution.
\item Que se passe-t-il si on ne se restreint pas à $x\in]-1,1[$ ?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% \ex (Ondes de choc et condition d'entropie)
% On s'intéresse à l'équation de Burgers
% \begin{equation*}
%   \begin{cases}
%     \partial_tu + u\partial_xu = 0 & \text{dans }\R_+^*\times\R\\
%     u(0, x) = \one_{[0,1]}(x)  & x\in\R.
%   \end{cases}
% \end{equation*}
% On rappelle qu'une solution faible vérifie la condition de Rankine-Hugoniot le long de ses discontinuités : si \(\sigma\) est la vitesse de de la discontinuité, \(u_G\) (resp. \(u_D\)) la valeur à gauche (resp. à droite) de la discontinuité, alors
% \[
%   F(u_G) - F(u_D) = \sigma (u_G-u_D).
% \]
% Comme les solutions faibles ne sont pas uniques, on rajoute une condition dite d'entropie. Les discontinuités étant formées lorsque les caractéristiques se croisent, on impose 
% \begin{enumerate}
% \item 
% \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Schémas numériques}

\ex (Transport 101).
Résoudre numériquement l'équation de transport linéaire :
\begin{equation*}
  \partial_{t}u + c\partial_{x}u = 0.
\end{equation*}
avec la condition initiale de votre choix (régulière ou pas).
On testera d'abord les schémas explicites décentrés, puis le schéma implicite centré.
On mettra en évidence les différents ordres de convergence, ainsi que l'influence de la condition initiale sur l'ordre, en choisissant par exemple pour condition initiale la fonction
\[
  g_k(x) = \one_{[1/4,3/4]}(x)\sin^k\pare*{2\pi(x-1/4)},\quad\text{où }k\in\dbra{0,3}.
\]
On mettra également en évidence la condition CFL pour la stabilité des schémas explicites.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex (Remake du transporteur).
Reprendre l'exercice précédent avec l'équation de Burgers et le schéma décentré amont, ainsi que le schéma centré implicite.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ex (Milieu bi-fluide).
On considère l'équation de conservation suivante :
\begin{equation*}
  \partial_{t}u + \partial_{x}\left(\frac{u^2}{u^2 + (1-u)^2}\right) = 0.
\end{equation*}
Résoudre le problème de Riemann pour les conditions initiales
\begin{equation*}
  u^0 = \one_{\R_+} \quad\text{et}\quad  u^0(x) = \one_{\R_-}.
\end{equation*}
On pourra utiliser le schéma décentré amont, ou le schéma de Lax-Friedrichs pour le transport non-linéaire :
\begin{equation*}
  \frac{u^{n+1}_j - \frac{u^{n}_{j+1} + u^{n}_j}{2}}{\Delta t} + \frac{f_{j+1}^n - f_{j-1}^n}{2\Delta x},
  \quad\text{où }   f_{j}^n = f(u_{j}^n), \quad\text{et } f(u) = \frac{u^2}{u^2 + (1-u)^2}.
\end{equation*}
Que donne la condition de Rankine Hugoniot ? 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
