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\begin{document}
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\begin{center}
  {\Large \bf Approximation uniforme : polynômes de Bernstein}
\end{center}
\bigskip

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Le théorème de Stone-Weierstrass assure la densité des polynômes dans l'espace des fonctions continues définies sur un sous-ensemble compact de \(\R^n\), mais sa preuve n'est pas constructive.
Les polynômes de Bernstein, bien qu'applicables seulement en dimensoin 1, offrent une suite explicite de polynômes d'approximation uniforme.
\begin{defi}
  Soit \(f\in\mc C^0([0,1])\). On définit le \(n\)-ième polynôme de Bernstein associé à \(f\) par
  \[
  B_n(f) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f\pare*{\frac{k}{n}}X^k(1-X)^{n-k}.
  \]
  Si \(X_n\) est une variable aléatoire de loi binômiale de paramètre \(x\), alors \(B_n(f)(x)=\mathbb E\sbra{f(X_n/n)}\). On s'attend à ce que \(B_n(f)\) converge vers \(f\), puisque \(X_n/n\) converge en probabilité vers \(x\).
\end{defi}
\begin{defi}
  Soit \(f\in\mc C^0([0,1])\). Le module de continuité de \(f\) est défini pour \(\delta >0\) par
  \[
  \omega(f,\delta)=\sup_{\abs{x-x'}}\abs{f(x)-f(x')}.
  \]
\end{defi}
\begin{prop}
  Le module de continuité vérifie les propriétés suivantes :
  \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item \(\delta\mapsto \omega(f,\delta)\) est une fonction croissante,
  \item \(\lim_{\delta\to 0} \omega(f,\delta)=0\),
  \item \(\omega(f,.)\) est sous-additive, c'est-à-dire que \(\omega(f,\delta_1+\delta_2)\leq \omega(f,\delta_1) + \omega(f,\delta_2)\).
  \end{enumerate}
\end{prop}
Les points \((i)\) et \((iii)\) sont élémentaires. Le deuxième point, quant à lui, est une conséquence du théorème de Heine : \(f\) est uniformément continue sur \([0,1]\).
Grâce au module de continuité, on est en mesure d'établir la convergence des polynômes de Bernstein vers \(f\).
\begin{thrm}
  Soit \(f\in\mc C^0([0,1])\). Les polynômes de Bernstein \(B_n(f)\) vérifient alors
  \[
  \norm{f-B_n(f)}_\infty \leq \frac{9}{4}\omega(f,1/\sqrt n).
  \]
  En particulier, \(B_n(f)\) converge uniformément vers \(f\).
\end{thrm}
\begin{proof}
  \(B_n(1)=1\), donc pour tout \(x\in\sbra{0,1}\),
  \[
  f(x)-B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\pare*{f(x)-f\pare*{\frac{k}{n}}}x^k(1-x)^{n-k}.
  \]
  Notons que, pour \(\delta>0\) fixé, pour tout \(x,y\in\sbra{0,1}\),
  \[
  \abs{f(x)-f(y)} \leq \pare*{p+1}\omega(f,\delta),\quad\text{où }p=\left\lfloor\frac{\abs{x-y}}{\delta}\right\rfloor
  \]
  (pour s'en convaincre, il suffit de choisir des points \(\xi_1,\dots,\xi_p\) équirépartis entre \(x\) et \(y\)). En particulier,
  \[
  \abs{ f(x) - f(k/n)} \leq \pare*{\frac{\abs{x-k/n}}{\delta}+1}\omega(f,\delta).
  \]
  On somme cette inégalité sur \(k\in\dbra{0,n}\). La somme portant sur le second terme \(\omega(f,\delta)\) ne dépend pas de \(k\), et sa somme est donc \(\omega(f,\delta)\). On sépare l'autre somme en deux :
  \begin{align*}
    \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{\abs{x-n/k}}{\delta}x^k(1-x)^{n-k} &=
    \sum_{\abs{x-n/k}<\delta} {(\dots)}  + \sum_{\abs{x-n/k}\geq\delta}(\dots)\\
    &\leq 1 + \sum_{\abs{x-n/k}\geq\delta}\binom{n}{k}\pare*{\frac{\abs{x-n/k}}{\delta}}^2x^k(1-x)^{n-k}\\
    &\leq 1 + \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{(x-n/k)^2}{\delta^2}x^k(1-x)^{n-k}.
  \end{align*}
  On montre l'identité suivante pour conclure :
  \[
  \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(x-n/k)^2x^k(1-x)^{n-k} = \frac{x(1-x)}{n}.
  \]
  À cet effet, il suffit de développer le carré, et d'utiliser les identités suivantes
  \begin{align*}
    \bullet\quad& \sum \frac{k}{n}\binom{n}{k}x^k(1-x)^k = x\sum \binom{n-1}{k-1}x^{k-1}(1-x)^{n-k} = x,\\
    \bullet\quad& \sum \frac{k(k-1)}{n(n-1)}\binom{n}{k}x^k(1-x)^k = x^2,\text{ et donc } \sum \frac{k^2}{n^2}\binom{n}{k}x^k(1-x)^k = \frac{n-1}{n}x^2 +\frac{1}{n}x.
  \end{align*}
  Finalement, on a montré que
  \[
  \abs{  f(x) - B_n(f)(x)} \leq \omega(f,\delta)\pare*{2+ \frac{x(1-x)}{n\delta^2}},
  \]
  et on obtient le résultat en choisissant \(\delta = n^{-1/2}\) et en remarquant que \(x(1-x)\leq 1/4\) pour tout \(x\in\sbra{0,1}\).
\end{proof}

\begin{coro}
  Si \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(\sbra{0,1}\), alors
  \[
  \norm{f-B_n(f)}_\infty \leq \frac{9K}{4\sqrt n}.
  \]
\end{coro}

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\end{document}
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