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\begin{document}
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\begin{center}
  {\Large \bf Intégration numérique : méthodes de Gauss}
\end{center}
\bigskip

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Étant donné un poids \(\omega\geq 0\) sur \(\osbra{a,b}\), on cherche la méthode de quadrature élémentaire d'ordre maximal pour un nombre de points \((\xi_j)_{0\leq j\leq n}\) fixé :
\[
\int_a^b f(x)\omega(x)dx \simeq \sum_{j=0}^n \omega_jf(\xi_j)
\]
\begin{thrm}
  Il existe un unique choix de \((\omega_j)\) et de \((\xi_j)\) tel quel la méthode soit d'ordre \(\geq 2n+1\). Les points \((\xi_j)\) sont les racines du \((n+1)\)-ième polynôme orthogonal dans \(L^2(\omega)\), et les poids \(\omega_j\) sont donnés par
  \[
  \omega_j = \int_a^b L_j(x)\omega(x)dx,\quad L_j(x)=\prod_{i\neq j} \frac{x-\xi_i}{\xi_j-\xi_i}.
  \]
\end{thrm}
\begin{proof}
  Soient \(p_{n+1}\) le \((n+1)\)-ième polynôme orthogonal, les \(\xi_j\) ses racines (dont on a montré qu'il y en a \(n+1\)), et les \(\omega_j\) définis comme dans l'énoncé du théorème. Montrons que la méthode correspondante est d'ordre \(\geq 2n+1\). Soit \(f\in\R_{2n+1}[X]\). La division euclidienne de \(f\) par \(p_{n+1}\) s'écrit \(f=p_{n+1}q+r\), où \(q\) et \(r\) sont des polynômes de degré \(\leq n\). Comme \(p_{n+1}\) est orthogonal à \(\R_n[X]\),
  \[
  \int_a^b f(x)\omega(x)dx = \int_a^b r(x)\omega(x)dx.
  \]
  Par ailleurs, \(r\) est égal à son polynôme interpolateur par les points \((\xi_j)_{0\leq j\leq n}\), et donc
  \begin{align*}
    \int_a^b r(x)\omega(x)dx &= \int_a^b \sum_{j=0}^n r(\xi_j)L_j(x)\omega(x)dx\\
    &= \sum_{j=0}^n \omega_jr(\xi_j) = \sum_{j=0}^n \omega_jf(\xi_j),
  \end{align*}
  ce qui prouve que la méthode est bien d'ordre \(\geq 2n+1\).

  Montrons maintenant l'unicité. On suppose que le choix de \((\xi_j)\), \((\omega_j)\) donne une méthode d'ordre \(\geq 2n+1\). On pose alors \(\pi_{n+1} = \prod_{j=0}^n (X-\xi_j)\in\R_{n+1}[X]\). Si \(p\in\R_n[X]\), alors \(p\pi_{n+1}\) est de degré inférieur ou égal à \(2n+1\), donc la méthode est exacte pour ce polynôme :
  \[
  \int_a^b p\pi_{n+1}\omega = \sum_{j=0}^n \omega_jp(\xi_j)\pi_{n+1}(\xi_i) = 0,
  \]
  donc \(\pi_{n+1}\) est orthogonal à \(\R_n[X]\). Comme il est de degré \(n+1\) et unitaire, \(\pi_{n+1}\) est nécessairement le \((n+1)\)-ième polynôme orthogonal associé au poids \(\omega\), et on en déduit l'unicité des \(\xi_j\). Finalement, les poids sont uniquement déterminés en fonction des \(\xi_j\) :
  \[
  \omega_i = \sum_{j=0}^n \omega_jL_i(\xi_j) = \int_a^b L_i(x)\omega(x)dx.
  \]
\end{proof}
On a seulement prouvé que cette méthode est d'ordre supérieur ou égal à \(2n+1\), mais on peut prouver mieux en affinant l'analyse de la méthode, et affirmer que l'ordre est exactement \(2n+1\). En particulier, Demailly prouve le résultat suivant :
\begin{thrm}
  Si \(f\in\mc C^{2n+2}(\sbra{a,b})\), alors il existe un point \(\xi\in\osbra{a,b}\) tel que
  \[
  E(f) = \int_a^b f(x)\omega(x)dx - \sum_{j=0}^n \omega_jf(\xi_j) = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\int_a^b p_{n+1}(x)^2\omega(x)dx.
  \]
\end{thrm}


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\end{document}
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