%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[a4paper, textwidth=17cm,textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry

%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} 

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 1}\\[4pt]
  À rendre pour le lundi 19 septembre
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em 

L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est proscrit lors des devoirs sur table, il est donc fortement recommandé de s'habituer dès maintenant à ces nouvelles exigences.

Pour les devoirs maison, il est possible de travailler à plusieurs pour réfléchir aux exercices, de se faire aider (après avoir essayé) ou de poser des questions au professeur. Par contre, il est indispensable que la rédaction des exercices soit personnelle.}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre pour $x\in \R$, l'inéquation : $x^2+3x+1 \leqslant 2x+7$.
    \item Résoudre pour $x\in \R$, l'inéquation : $|3x+2|-1 < |x+4|$.
    \item Même question pour $\frac{|2x+1|}{x-1} \leqslant x+1$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\medskip
\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
    \item Pour $a$ et $b$ des réels, développer et simplifier l'expression $(a-b) (a^2+ab +b^2)$.
    \item Vérifier les deux égalités suivantes:
    $$\frac{2^3- 1}{2^3+1} = \frac23 \times \left(1 + \frac1{2 \times 3} \right) \qquad \text{ et } \qquad \frac{2^3-1}{2^3+1} \times \frac{3^3-1}{3^3+1}= \frac23 \times \left(1 + \frac1{3 \times 4} \right).$$
    \item Montrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 2$,
    $$\frac{2^3-1}{2^3+1} \times \dots \times \frac{n^3-1}{n^3+1} = \frac23\times\left(1 + \frac1{n \times (n+1)} \right)$$
\end{enumerate}
\end{exo}


\medskip
\begin{exo}%[Bac, antilles-guyane, 2015]
On considère $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \frac12 u_n + \frac12 n - \frac32$.

\begin{enumerate}
\item
Calculer les valeurs de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ sous forme de fractions simplifiées.
\item
Que peut-on conclure sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?
\item
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égale à 3, $u_{n+1} > u_n$.
\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \frac1{10} u_n - \frac1{10} n + \frac12$.

Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac12$ et donner l'expression de son terme général (c'est-à-dire $v_n$ en fonction de $n$).
\item En conclure que, pour tout entier naturel $n$,
$$u_n = 10 \times \left(\frac12 \right)^n + n - 5.$$
\staritem Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
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