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\newtheorem{exo}{Exercice}

\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header
\begin{center}
\Large Corrigé du devoir en temps libre \no 1
\end{center}\smallskip
\medskip
\begin{exo} \mbox{}
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x\in \R$, on a $x^2+3x+1 \leq 2x + 7$ si et seulement si $x^2+ x - 6 \leq 0$. On cherche les racines de ce polynôme du second degré : le discriminant est égal à $1^2+6\times 4= 25$, donc puisqu'il est strictement positif le polynôme a deux racines. Ces racines sont égales à $\ds \frac{-1\pm \sqrt{25}}2$, c'est-à-dire $-3$ et $2$. Comme le coefficient devant le terme dominant est positif, le polynôme est strictement positif en dehors de l'intervalle  $[-3,2]$ et l'ensemble des solutions est donc $\boxed{[-3,2]}$.
		\item Notons $(E_1)$ : $|3x+2|-1 < |x+4|$ l'inéquation à résoudre pour $x\in \R$.
		
		On distingue les cas en fonction des signes des expressions à l'intérieur des valeurs absolues (à l'aide d'un tableau de signe si besoin).
		\begin{itemize}
			\item Si $x \leqslant -4$, on a:
			$$(E_1) \quad\Longleftrightarrow\quad -3x-2-1 < -x -4 \quad\Longleftrightarrow\quad x > \frac12$$
			Il n'y a donc pas de solution dans ce premier cas.
			\item Si $x\in\; ]-4 , -\frac23]$, on a
			$$ (E_1)\quad\Longleftrightarrow\quad-3x-2 -1 < x + 4\quad\Longleftrightarrow\quad-7< 4x .$$ Dans cet intervalle, les solutions sont donc $]- \frac74,-\frac23]$.
			\item Enfin, si $x > -\frac23$, on al
			$$(E_1) \quad\Longleftrightarrow\quad 3x+2-1 < x+4\quad\Longleftrightarrow\quad 2x <3.$$
			Sur cet intervalle, les solutions sont donc $]-\frac23, \frac32[$.
		\end{itemize}
		L'ensemble des solutions de $(E_1)$ est donc $\boxed{ \Big]- \frac74,\frac32\Big[}$.
		\item Notons $(E_2)$ l'inéquation $\frac{|2x+1|}{x-1} \leqslant x+1$. On cherche les solutions en distinguant trois cas:
		\begin{itemize}
			\item Si $x < -\frac12$, $(E_2)$ est équivalente à  $-2x-1 \geqslant (x+1)(x-1)$ (en multipliant par $x-1 <0$). Or on a
			$$-2x-1 \geqslant x^2-1 \;\Longleftrightarrow\; 0 \geqslant x^2+2x \;\Longleftrightarrow\; 0 \geqslant (x+1)^2-1 \;\Longleftrightarrow\; (x+1)^2 \leqslant 1 \;\Longleftrightarrow\; - 1 \leqslant x+1 \leqslant 1.$$
			Ainsi, dans ce cas les solutions sont $[-2, -\frac12 [$.
			\item Si $x \in [-\frac12,1[$,  on a
			$$(E_2) \;\Longleftrightarrow \;2x+1 \geqslant x^2-1 \;\Longleftrightarrow\; 0 \geqslant (x-1)^2-3 \;\Longleftrightarrow\; (x-1)^2 \leqslant 3 \;\Longleftrightarrow\; - \sqrt{3} \leqslant x-1 \leqslant \sqrt{3}.$$
			Ainsi, dans ce cas les solutions sont $[-\frac12 , 1[$ (car $-\sqrt{3} +1 < -\frac12$).
			\item Si $x > 1$,
			$$(E_2) \;\Longleftrightarrow \; 2x+1 \leqslant x^2-1 \;\Longleftrightarrow\; 0 \geqslant (x-1)^2-3 \;\Longleftrightarrow\; (x-1)^2 \geqslant 3 \;\Longleftrightarrow\; x-1 \leqslant - \sqrt{3} \text{ ou } x-1 \geqslant \sqrt{3}.$$
			Ainsi, dans ce cas les solutions sont $[1 + \sqrt{3} , + \infty[$.
		\end{itemize}
		En conclusion, l'ensemble des solutions de $(E_2)$ est $\boxed{\big]-2,1\big[\, \cup\, \big[1+\sqrt{3},+\infty\big[}$.
	\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} \mbox{}
	\begin{enumerate}
		\item En développant, on obtient : $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
		\item $$\frac{2^3-1}{2^3+1} = \frac79 \quad \et \quad \frac23 \times \left(1 + \frac1{2\times3}\right) = \frac23 \times \frac76 = \frac79.$$
		$$\frac{2^3-1}{2^3+1}\times \frac{3^3-1}{3^3+1}= \frac79 \times \frac{26}{28} = \frac{7 \times 13 \times 2}{9 \times 4 \times 7} = \frac{13}{18}  \quad \et \quad \frac23 \times \left(1 + \frac1{3\times4}\right) = \frac23 \times \frac{13}{12} = \frac{13}{18}.$$
		Les deux égalités demandées sont vérifiées.
		\item Pour $n\geqslant 2$, on considère la proposition ${\cal P}(n)$ suivante :
		$$\frac{2^3-1}{2^3+1} \times \frac{3^3-1}{3^3+1} \times \dots \times \frac{n^3-1}{n^3+1} = \frac23\left(1+ \frac1{n(n+1)} \right).$$
		\begin{itemize}
			\item On a vérifié à la question précédente que \underline{${\cal P}(2)$ est vraie}.
			\item Soit un entier $n \geqslant 2$, et \underline{supposons que ${\cal P}(n)$ est vraie}. On a alors
			\begin{align*}
			\frac{2^3-1}{2^3+1} \times \frac{3^3-1}{3^3+1} \times \dots \times \frac{n^3-1}{n^3+1} \times  \frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}&= \frac23\left(1+ \frac1{n(n+1)} \right) \times \frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}\\
			&= \frac23 \times \frac{n(n+1) +1}{n(n+1)} \times \frac{n\left((n+1)^2 + (n+1) +1\right)}{(n+2)\left((n+1)^2-(n+1)+1 \right)}\\
			& = \frac23 \times\frac{(n+1)(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}\\
			& = \frac23\left( 1 + \frac1{(n+1)(n+2)}\right)
			\end{align*}
			Ainsi, \underline{${\cal P}(n+1)$ est vraie}
		\end{itemize}
		Par récurrence, on a montré que \underline{${\cal P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant2$}.
	\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}\mbox{}
	\begin{enumerate}
		\item On a
		$$u_1 = \frac12\times 5 - \frac32 = 1\,\quad u_2 =\frac12+ \frac12- \frac32 = -\frac12,\quad u_3 = - \frac14+1 - \frac32 = - \frac34 	\et u_4 = -\frac38 + \frac32 - \frac32 = - \frac38.$$
		\item La suite n'est \underline{pas croissante} (car par exemple, $u_2 < u_1)$ et elle n'est \underline{pas décroissante} (car par exemple $u_4>u_3$).
		\item Considérons la propriété $P(n) : \; u_{n+1} > u_n$ et démontrons par récurrence qu'elle est vraie pour tout entier $n \geqslant 3$.
		\begin{itemize}
			\item D'après les calculs de la question 1, on a $u_4 = -\frac38 > -\frac34 = u_3$ donc \underline{$P(3)$ est vraie.}
			\item Soit un entier $n \geqslant 3$ et \underline{supposons $P(n)$ vraie}. Or on a
			$$u_{n+2} - u_{n+1} = \frac12 u_{n+1} + \frac12(n+1)- \frac32 - \frac12 u_n - \frac12 n + \frac32 = \frac12(u_{n+1} - u_n) + \frac12$$
			et d'après l'hypothèse de récurrence, $u_{n+1}-u_n > 0$.
			Ainsi, $u_{n+2}-u_{n+1} > \frac12 > 0$, et donc \underline{$P(n+1)$ est vraie.}
		\end{itemize}
		Par récurrence, on a montré que \underline{pour tout entier $n\geqslant 3$, $u_{n+1} > u_n$.}
		\item Soit $n\in \N$, on a
		$$v_{n+1} = \frac1{10}u_{n+1} - \frac1{10}(n+1) + \frac12 = \frac1{20}u_n + \frac1{20}n - \frac3{20} - \frac1{10}n - \frac1{10} + \frac12 = \frac12\left(\frac1{10}u_n - \frac1{10}n+ \frac12\right) \boxed{= \frac12 v_n.}$$
		Ainsi, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac12$, et donc pour tout $n \in \N$, 
		$$v_n= v_0 \left(\frac12\right)^n = \left(\frac1{10}\times5 + \frac12\right) \left(\frac12\right)^n \boxed{=\left(\frac12\right)^n.}$$
		\item D'après la relation entre $(u_n)$ et $(v_n)$, on a
		$$u_n = 10 \left( \frac1{10}v_n + \frac1{10}n - \frac12 \right) =\boxed{ 10 \left(\frac12\right)^n + n -5.}$$
		\staritem On sait que $\left(\frac12\right)^n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0$ car $\frac12 \in \,]-1,1[$ et que $n \to + \infty$, donc par somme de limites, on a  \framebox{$\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = + \infty$.}
	\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}