%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[a4paper, textwidth=17cm,textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{mdwlist}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 2}\\[4pt]
  À rendre pour le vendredi 7 octobre
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em 

L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est proscrit lors des devoirs sur table, il est donc fortement recommandé de s'habituer dès maintenant à ces nouvelles exigences.

Pour les devoirs maison, il est possible de travailler à plusieurs pour réfléchir aux exercices, de se faire aider (après avoir essayé) ou de poser des questions au professeur. Par contre, il est indispensable que la rédaction des exercices soit personnelle.}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}

\begin{exo}
Pour $p \in \N^*$, on définit la proposition ${\cal P}(p)$ : \ogfg{$\exists k \in \N$, $2^p-2 = kp$.}
\begin{enumerate}
    \item \'Ecrire la négation de ${\cal P}(p)$.
    \item Vérifier que ${\cal P}(2)$, ${\cal P}(3)$ et ${\cal P}(5)$ sont vraies. Que peut-on dire de ${\cal P}(4)$ ?
    \item Trouver un entier $p>5$ tel que ${\cal P}(p)$ soit vraie.
\suspend{enumerate}
On considère l'implication :\ogfg{$p$ est un nombre premier $\Longrightarrow$ ${\cal P}(p)$ }.\\
\emph{La définition de nombre premier n'a aucune importance pour traiter correctement l'exercice.}
\resume{enumerate}
\item \'Ecrire la négation, la contraposée et la réciproque de cette implication.
\item On admet que l'implication est vraie pour tout $p\in \N$. Que peut-on déduire de \ogfg{${\cal P}(143)$ est fausse} ? de \ogfg{$137$ est un nombre premier} ? de \ogfg{${\cal P}(163)$ est vraie} ?
\item \'Ecrire trois phrases, une avec \ogfg{si \dots  \,alors \dots}, une avec \ogfg{ il est nécessaire que \dots } et une avec \ogfg{il suffit que \dots } qui ont le même sens que cette implication.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip
\begin{exo} On note $E = \N^2$ l'ensemble des couples de nombres entiers et on considère les parties de $E$ suivantes :
$$A = \big\{(k,2k)\,;\,k\in \N\big\}, \qquad B = \big\{(a,b) \in E\,|\, a+b \leqslant 10\big\} \et C =\big\{ (i,j)\in E\, |\, \exists n\in \N, 10i+j = 3n\big\}.$$
\begin{enumerate}
    \item Donner un exemple d'élément de chacun des ensembles $A$, $B$ et $C$, autre que $(0,0)$, en justifiant leur appartenance à l'ensemble.
    \item Donner un élément de $A \cap B \cap C$ autre que $(0,0)$ puis de $A\cap \overline{B}$.
    \item Déterminer tous les éléments de $A \cap B$. 
    \item Démontrer que $A \subset C$, puis déterminer, en justifiant, si l'inclusion $C \subset A$ est vraie.
\end{enumerate}
\end{exo}\medskip

\begin{exo}
[Suite de Sylvester] On définit la suite $(s_n)_{n\in \N}$ par $s_0=2$ et pour tout $n\in \N$, $\ds s_{n+1}= 1+ \prod_{k=0}^n s_k$.
\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
    \item Calculer $s_1$, $s_2$ et $s_3$.
    \item Montrer que pour $n\in \N$, $s_{n+1} = 1+(s_n-1)s_n$.
    \item Montrer par récurrence, que pour tout $n\in \N$, on a $s_n \geqslant n! +1$.
    \item En déduire que la suite $\left(\frac{2^n}{s_n}\right)_{n\in\N}$ est bornée.
    \end{enumerate}
    \item Pour $n\in \N$, on note $\ds T_n= \sum_{k=0}^n \frac1{s_k}$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $(T_n)$ est majorée en utilisant le fait que $\left(\frac{2^n}{s_n}\right)$ est bornée.
        \item Pour $k\in \N$, simplifier $\ds \frac{1}{s_k-1} - \frac1{s_{k+1}-1}$.\label{quest}
        \item En déduire une expression de $T_n$ en fonction de $s_{n+1}$.
    \end{enumerate}
        \staritem En utilisant ce qui précède, montrer que la suite $(T_n)$ converge et préciser sa limite.
\end{enumerate}
\end{exo}\bigskip

\end{document}