%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

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%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mdwlist}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
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%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 3}\\[4pt]
  À rendre pour le mercredi 19  octobre
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em 

L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est proscrit lors des devoirs sur table, il est donc fortement recommandé de s'habituer dès maintenant à ces nouvelles exigences.

Pour les devoirs maison, il est possible de travailler à plusieurs pour réfléchir aux exercices, de se faire aider (après avoir essayé) ou de poser des questions au professeur. Par contre, il est indispensable que la rédaction des exercices soit personnelle.}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}
\begin{exo} On définit, pour tout $x\in \R$, $\ds f(x) = \frac{\e^x + \e^{-x}}2$ et $\ds g(x) = \frac{\e^{x}-\e^{-x}}2$.
\begin{enumerate}
    \item Préciser la parité de $f$ et celle de $g$.
    \item \'Etude de différentes relations entre les fonctions $f$ et $g$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les dérivées de $f$ et $g$, et les exprimer en fonction de $f$ et de $g$.
        \item Montrer que pour tout $x\in \R$, $f(x)^2-g(x)^2=1$.
        \item Montrer que pour tout $(a,b)\in \R^2$, on a $g(a+b) = f(a)g(b)+f(b)g(a)$.
    \end{enumerate}
    
    \item \'Etude de la bijection réciproque de $g$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $g$ est une bijection de $\R$ vers $\R$.
        \item Représenter dans un même repère le graphe de $g$ et celui de $g^{-1}$.
        \item Pour $y\in \R$, résoudre l'équation $g(x) = y$ d'inconnue $x\in \R$ et en déduire une expression explicite pour $g^{-1}(y)$.
        
        \emph{Indication :} on pourra se ramener à une équation du second degré en $t=\e^x$.
        \item Montrer, à partir de l'expression obtenue en 3.c., que $g^{-1}$ est impaire. Comment justifier ce résultat plus simplement ?
    \end{enumerate}
    \item \'Etude de la bijection réciproque de $f$, restreinte à $\R_+$.
    \begin{enumerate}
        \item La fonction $f$ peut-elle être bijective sur $\R$ ?
        \item Montrer que $f$ est une bijection de $[0,+\infty[$ vers $J$, un intervalle à préciser.
        \item Représenter dans un même repère le graphe de $f$ (uniquement sur $\R_+$) et celui de $f^{-1}$.
        
        \item Vérifier que pour $x\in \R$, on a $f(x) + g(x) = \e^x$, puis à l'aide de la relation obtenue en 2.b., montrer que pour $y\in J$,
        $$f(x) = y\quad \Leftrightarrow\quad x = \ln(y+\sqrt{y^2-1}) $$
        \item Déterminer tous les antécédents (dans $\R_+$ et dans $\R_-$) de $2$ par $f$, puis les antécédents de $\frac12$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
On rencontrera $f$ et $g$ dans la suite du cours d'analyse : ce sont les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, notées $\cosh$ (ou $\mathrm{ch}$) et $\sinh$ (ou $\mathrm{sh}$). On note leurs réciproques $\mathrm{argch}$ et $\mathrm{argsh}$.
\end{exo}

        
\begin{exo} Nombres complexes.
\begin{enumerate}
\item Résoudre, pour $z\in \C$, les équations suivantes :
\vspace{-1ex}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $iz^2+z-6-2i=0$
\item $z^2 - (2-i) z +3-i = 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{-3ex}
\item Donner la forme exponentielle de $3 - \sqrt{3}i$ et $\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ puis en déduire la forme algébrique de $\ds \left(\frac{3 - \sqrt{3}i}{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}\right)^{12}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Le but de cet exercice est d'exprimer $\ds\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)$. Pour cela on introduit le nombre complexe $\ds \omega = \e^{i\frac{2\pi}{5}}$.
\begin{enumerate}
\item
Rappeler les valeurs de $\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)$, $\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ et $\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
\item
Calculer $\omega^5$.
\item
Montrer que $1 +\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4 = 0$. \emph{On pourra utiliser un résultat du chapitre sur les sommes.}
\item
Justifier que $\omega^{3} = \e^{-i\frac{4\pi}{5}}$ et que $\omega^{4} = \e^{-\frac{2i\pi}{5}}$.
\item
Déduire des deux questions précédentes que $1+2\cos\!\left(\frac{2\pi}{5}\right) + 2\cos\!\left(\frac{4\pi}{5}\right)=0$.
\item
Pour tout $\theta\in \R$, exprimer $\cos(2 \theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$.
\item
Montrer que le nombre $\cos\!\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ est une solution de l'équation suivante: $4x^2+2x-1 = 0$.
\item
En déduire que $\cos\!\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
\item
Exprimer, à l'aide de racines carrées, la valeur de $\cos\!\left(\frac{\pi}{5}\right)$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}