%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[a4paper, textwidth=17cm,textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\title{}
\author{}
\date{}

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Packages

\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mdwlist}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

\usepackage[french]{babel}

%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

% hyperref
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black}

% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
%%   \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
%%   \renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

\fancypagestyle{plain}{%
  \fancyhf{}
  \rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
\rfoot{\thepage /\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.5pt}
\setlength{\headheight}{24.2pt} % required for headers spanning two lines

%%------------------------------------------------------------------------------
%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\mc}{\mathcal}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

\newcommand{\Io}{[\![}
\newcommand{\If}{]\!]}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\et}{\quad\text{et}\quad}
\newcommand{\ogfg}[1]{\og #1\fg}

\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} %% requires mathtools
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\sbra}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\pare}{(}{)}
\DeclarePairedDelimiter{\osbral}{]}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\osbra}{]}{[}
\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 4}\\[4pt]
  À rendre pour le lundi 7  novembre
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em 

L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est proscrit lors des devoirs sur table, il est donc fortement recommandé de s'habituer dès maintenant à ces nouvelles exigences.

Pour les devoirs maison, il est possible de travailler à plusieurs pour réfléchir aux exercices, de se faire aider (après avoir essayé) ou de poser des questions au professeur. Par contre, il est indispensable que la rédaction des exercices soit personnelle.}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}

\begin{exo}  Déterminer le terme général des deux suites suivantes, définies par une récurrence double :
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\[\begin{array}{ll}\left\{\begin{array}{l}
    u_0=\frac32 + i,\\
    u_1=\frac32i,\\
    u_{n+2}=\frac{(1+i)}2u_{n+1}+\frac{(1-i)}2u_n \quad \forall n\in \N. \quad \quad\end{array}\right. &
  \left\{\begin{array}{l}
    v_0=1,\\
    v_1=0,\\
    v_{n+2}=3\sqrt{3}v_{n+1} -9v_n \quad \forall n\in \N.\end{array}\right.\end{array}\]
    Placer sur le plan complexe les points d'affixe $u_k$ pour $k$ allant de $0$ à $8$.\\
    \emph{Indice :} pour s'en sortir avec très peu de calculs, mettre sous forme exponentielle la racine non réelle de l'équation caractéristique,  
\end{exo}

\bigskip
\begin{exo}Pour $n \geqslant 2$, on considère l'équation d'inconnue $z\in \C$, que l'on note $(E_n):z^n+z+1=0$\ .

Le but de l'exercice est de démontrer que ses solutions sont toutes de module strictement inférieur à $\sqrt{2}$.
\begin{enumerate}
    \item Cas $n=2$.
        \begin{enumerate}
            \item Résoudre l'équation $(E_2)$.
            \item Conclure que les solutions de $(E_2)$ sont de module strictement inférieur à $\sqrt{2}$.
        \end{enumerate}
    \item Cas $n=3$.
        \begin{enumerate}
            \item En étudiant la fonction $f:x \mapsto x^3+x+1$, montrer que $(E_3)$ admet une unique solution réelle que l'on notera $a$.
            \item Justifier que $-1<a<-\frac12$.
            \item On suppose que $b\in \C$ est solution de $(E_3)$. Montrer que $\overline{b}$ est aussi solution de $(E_3)$.
        \suspend{enumerate}
    On admet que l'on a la factorisation suivante : pour tout $z\in \C$, $z^3+z+1 = (z-a)(z-b)(z-\overline{b})$ où $b$ et $\overline{b}$ sont les deux autres solutions, complexes conjuguées l'une de l'autre, de $(E_3)$.
        \resume{enumerate}
            \item En déduire que $- ab\overline{b} = 1$.
            \item Conclure que les solutions de $(E_3)$ sont de module strictement inférieur à $\sqrt{2}$.
        \end{enumerate}
    \item Cas $n \geqslant 4$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que si $z$ est solution de $(E_n)$, alors $|z|^n \leqslant |z| +1$.
        \item Donner le tableau de variation de $g_n:x \mapsto x^n-x-1$ sur $\R_+$.
        \item En déduire que le signe de $g_n$ sur $[\sqrt{2},+\infty[$.
        \item Conclure que les solutions de $(E_n)$ sont de module strictement inférieur à $\sqrt{2}$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}
\bigskip



\textbf{Question bonus : } déterminer une relation de Bezout entre $98$ et $57$. Sont-ils premiers entre eux ?

\bigskip


\flushright{Bonnes vacances !}

\end{document}