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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Corrigé du devoir en temps libre 4}
\end{center}
\bigskip

\begin{exo}
\begin{itemize}
    \item L'équation caractéristique associée à la suite $(u_n)_{n\in \N}$ est $r^2-\frac{(1+i)}2r -\frac{(1-i)}2 =0$. Le discriminant de ce polynôme de degré $2$ est
    \[\Delta = \left(\frac{(1+i)}2\right)^2 + 4\frac{(1-i)}2 =\frac{2i}4 + 4\frac{(1-i)}2 = \frac{4-3i}2.\]
    Déterminons les racines carrés de $\Delta$ sous forme algébrique : si $(x,y)\in \R^2$, alors 
    \[(x+iy)^2=\Delta \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
    x^2 +y^2 = |\Delta|=\frac{\sqrt{4^2+3^2}}2=\frac52\\
    x^2 - y^2 = 2 \\
    2xy=-\frac32 \end{array}\right.\]
    Comme $\Delta$ est un complexe non nul, il admet exactement deux racines carrées complexes, opposées l'une de l'autre. Si $x+iy$ est une telle racine, en sommant les deux premières lignes, on obtient $2x^2=\frac92$, c'est-à-dire $x^2=\frac94$, et la deuxième ligne nous donne $y^2=x^2-2=\frac14$. La troisième ligne indique que $x$ et $y$ sont nécessairement de signes opposés. Les deux racines carrées de $\Delta$ sont donc $\pm \frac{3-i}2$. Par conséquence, les racines de l'équation caractéristiques sont 
    \[r_1=\frac12 \left( \frac{1+i}2 + \frac{3-i}2\right)=1 \et r_2=\frac12 \left( \frac{1+i}2 - \frac{3-i}2\right)=\frac{-1+i}2.\]
    Il existe alors deux constantes complexes $A$ et $B$ telles que le terme général de la suite s'écrit à l'aide de ces racines :
    \[\forall n\in \N, u_n= A r_1^n + B r_2^n.\]
Déterminons ces constantes à l'aide des données initiales : si
    \[\left\{\begin{array}{l}
    \frac32 +i =u_0 = A+B\\
    \frac32i = u_1 = Ar_1 + Br_2, \end{array}\right. \]
    alors en ôtant la deuxième ligne à la première, comme $r_1=1$, on obtient
    \[\frac32 + i -\frac32i = B(1- r_2)=B\left(1- \frac{-1+i}2\right)= B \left(\frac32 -\frac i2\right)\]
    donc en divisant à gauche et à droite par $\frac32 -\frac i2$ qui est un complexe non nul, il vient $B=1$. Ensuite la première ligne donne $A= \frac32 + i - B= \frac12 + i$.
    Ainsi si $A$ et $B$ sont les constantes associées à $(u_n)$, on a nécessairement $(A,B)=(\frac12 + i,1)$. On peut donc conclure :
    \[\boxed{\forall n\in \N,\quad u_n= A r_1^n + B r_2^n= \frac12 + i + \left(\frac{-1+i}2\right)^n.}\]
    
    On met comme conseillé $\frac{i-1}2$ sous forme exponentielle : 
    $\frac{i-1}2=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( -\frac{\sqrt{2}}2 + \frac i2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \exp(3i\pi/4)$. 
    On a alors que les points d'affixes $u_n= (\frac12 +i) + \frac{1}{\sqrt{2}^n} \exp(i3n\pi/4)$ forment une spirale s'enroulant asymptotiquement sur le point $L$ d'affixe $\frac12 + i$, voir Figure 1.

\begin{figure}    
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{DM4.png}
\end{center}
\caption{Les $8$ premiers termes de la suite $u_n$, dessinés avec GeoGebra}
\end{figure}
    
    
 \item  L'équation caractéristique associée à la suite $(v_n)_{n\in \N}$ est $r^2-3\sqrt{3}r +9 =0$. Le discriminant de ce polynôme de degré $2$ est
    \[\Delta = (3\sqrt{3})^2 - 4\times 9=-9.\]
    Le discriminant est réel et strictement négatif, ses racines carrées sont donc $\pm 3i$ et les racines de l'équation caractéristiques sont complexes conjuguées : 
    \[r= \frac{3\sqrt{3} + 3i}2 \et \bar{r}=\frac{3\sqrt{3} - 3i}2\]
    On met $r$ sous forme exponentielle par identification d'une $\e^{i\theta}$ bien connue :
    \[r= \frac{3\sqrt{3} + 3i}2 = 3 \left(\frac{\sqrt{3}}2 + \frac{i}2\right)=3 \e^{i\pi/6}\]
    Il existe alors des constantes réelles $A$ et $B$ telles que le terme général de la suite s'écrit :
    \[\forall n\in \N, v_n= A 3^n \cos(n\pi/6) + B 3^n \sin(n\pi/6).\]
    Déterminons ces constantes à l'aide des données initiales :
    \[\left\{\begin{array}{l}
    1=v_0 = A\\
    0 = v_1 = 3A\cos(\pi/6) + 3B\sin(\pi/6) \end{array}\right. 
    \Longleftrightarrow
    \left\{\begin{array}{l}
    A=1\\
    0 = 3A\frac{\sqrt{3}}2 + 3B\frac12\end{array}\right. \Longleftrightarrow
    \left\{\begin{array}{l}
    A=1\\
    0 = \sqrt{3} + B\end{array}\right.\]
    Ainsi si $A$ et $B$ sont les constantes associées à $(v_n)$, on a nécessairement $(A,B)=(1,-\sqrt{3})$. On peut donc conclure :
    \[\boxed{\forall n\in \N,\quad  v_n=  3^n \cos(n\pi/6) - \sqrt{3}\times  3^n \sin(n\pi/6) .}\]
\end{itemize}
\end{exo}


\begin{exo}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $(E_2) : z^2+z+1= 0$ est une équation polynomiale de degré 2, dont le discriminant est $\Delta = -3 = (i \sqrt{3})^2$. Ainsi, ses solutions sont
$$\boxed{j = \frac{-1 + i \sqrt{3}}2} \quad \et \quad \boxed{\overline{j}  = \frac{-1 - i \sqrt{3}}2}.$$
Ce sont aussi les deux racines $3$-ièmes de l'unité différentes de $1$.
\item Comme $j$ et $\overline{j}$ sont racines de l'unité, en particulier $|j| = |\overline{j}| = 1 < \sqrt{2}$, donc les solutions de $(E_2)$ sont toutes de module strictement inférieur à $\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est polynomiale donc dérivable sur $\R$ avec $\forall x \in \R$, $f'(x) = 3x^2+1 >0$.

Ainsi, $f$ est strictement croissante et continue sur $\R$, elle réalise donc une bijection de $\R$ vers $f(\R) = \R$ (car $\lim\limits_{-\infty} f= -\infty$ et $\lim\limits_{+\infty} f = +\infty$).

On en déduit que $0$ admet un unique antécédent par $f$ que l'on note $a$. Cela signifie que pour $x \in \R$,
$$f(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow\quad x^3+x+1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x=a$$
ou autrement dit, \framebox{$a$ est l'unique solution réelle de $(E_3)$.}
\item On a $f(-\frac12) = \frac38>0$ et $f(-1) = -1 <0$, donc $f(-1) < f(a) < f(-\frac12)$, et par croissance de $f$, on en déduit que \framebox{$-1 < a < -\frac12$.} 
\item Supposons que $b\in \C$ est solution de $(E_3)$, c'est à dire $b^3+b+1=0$.

On a alors, d'après les règles de calcul du conjugué, $0 = \overline{0} = \overline{b^3+b+1}= \overline{b}^3+\overline{b} + 1$, ce qui montre que \underline{$\overline{b}$ est solution de $(E_3)$}.
\item D'après la factorisation admise, et en évaluant pour $z=0$, on obtient $1 = (-a)(-b)(-\overline{b}) = -ab \overline{b}$.
\item D'après la question précédente, $|b|^2 = b \overline{b} = \frac1{-a}$, et d'après (b), $1 < \frac1{-a} < 2$  car la fonction inverse est décroissante sur $\R^\star_-$ où vivent $-1$, $a$ et $-\frac12$.

Ainsi, $|b| = |\overline{b}| < \sqrt{2}$, et comme $|a| < 1< \sqrt{2}$, on a bien vérifié que toutes les solutions de $(E_3)$ sont de module strictement inférieur à $\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item Supposons que $z\in \C$ est une solution de $(E_n)$. On a donc $z^n = -z-1$ et donc 
    $$|z|^n = |z^n| = |-z-1| = |z+1| \leqslant |z|+1\; \text{ d'après l'inégalité triangulaire}.$$
    \item La fonction $g_n$ est dérivable (car polynomiale) et $\forall x \in \R_+$, $g_n'(x) = nx^{n-1}-1$. Ainsi
    $$g_n'(x) \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow\quad nx^{n-1} \geqslant 1 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geqslant \left(\frac1n\right)^{\frac1{n-1}}$$
    On note $a_n = \big( \frac1n \big)^{\frac1{n-1}}$ et le tableau de variation de $g_n$ sur $\R_+$ est:
    \begin{center}    
\begin{tikzpicture}
    \tkzTab{ $x$ / 1, $g_n'(x)$ / 1, $g_n$ / 1.5}
    {$0$,$a_n$,$+\infty$}{ ,-,z,+,}
    { + / $-1$ ,  - /$g_n(a_n)$, + /$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item On rappel que $n\geqslant 4$, donc $\sqrt{2}^n \geqslant \sqrt{2}^4 = 2^2= 4$ et ainsi $g_n(\sqrt{2} ) \geqslant 4-\sqrt{2} -1 >0$ car $3>\sqrt{2}$.

D'après le tableau de variation de la question précédente, $g_n$ est négative sur $[0,a_n]$ et comme $g_n(\sqrt{2})>0$, on a nécessairement $\sqrt{2}>a_n$. Ainsi, $g_n$ est croissante sur $[\sqrt{2},+\infty[$ (car $\subset [a_n,+\infty[$) et donc strictement positive sur cet intervalle (toujours car $g_n(\sqrt{2})>0$).
\item Si $|z|\geqslant 2$, on a d'après la question précédente $g_n(|z|) >0$, c'est à dire $|z|^n-|z|-1 >0$. La contraposée du résultat obtenu en 3.(a) permet alors de déduire que $|z|$ n'est pas solution de $(E_n)$.

Autrement dit, on a montré que
$$ |z| \geqslant \sqrt{2} \quad \Longrightarrow \quad  z \text{ n'est pas solution de }(E_n) \ , $$
ce qui est bien équivalent (par contraposée) à
$$   z \text{ est pas solution de }(E_n) \quad \Longrightarrow \quad  |z| < \sqrt{2}\ .$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\bigskip
\textbf{Question bonus :} on applique l'algorithme d'Euclide à $98$ et $57$. Il y a beaucoup d'étapes !
\begin{align}
98 & = 1 \times 57 + 41\\
57 & = 1 \times 41 + 16\\
41 & = 2 \times 16 + 9\\
16 & = 1 \times 9 + 7\\
9 & = 1 \times 7 + 2 \\
7 &=  3 \times 2 + \boxed{1} \\
3 & = 3\times 1 + 0.
\end{align}
Le pgcd de $98$ et $57$ est donc $1$, ces nombres sont donc premiers entre eux. On remonte l'algorithme depuis le $1$ encadré pour obtenir une combinaison linéaire de $98$ et de $57$ à coefficients entiers :


\[1 \underset{(6)}{=} 
7 - 3 \times 2 
\underset{(5)}{=}  
7 - 3(9-7)
=4\times 7 -3 \times 9 
\underset{(4)}{=} 
4(16-9) - 3 \times 9
= 4 \times 16 -7 \times 9 = \cdots \]
On respire un coup et on y retourne :
\[ \cdots \underset{(3)}{=} 
4\times 16 -7 (41 -2 \times 16)
=18 \times 16 - 7 \times 41
\underset{(2)}{=} 
18 (57 -41) - 7 \times 41
= 18 \times 57 -25 \times 41
\underset{(1)}{=} 18 \times 57 - 25(98-57)
\]
Ce qui nous donne pour finir
\[\boxed{1 = -25\times 98 + 43\times 57.}\]






\end{document}