%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\title{}
\author{}
\date{}

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%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
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\usepackage[svgnames]{xcolor}
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\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{mdwlist}
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  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

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%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

\setlist[enumerate, 1]{label = \arabic*.} % standard enumerate labels 
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% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

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\hypersetup{colorlinks=true,
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% fancyhdr
%% BUG: Do not issue \fancypagestyle{fancy}{<fancyhdr commands>}, the LaTeX compiler will hang at the first \pagestyle{fancy} call since it will enter in an infinite recursive loop.

%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
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%%   \setlength{\headheight}{24.2pt}} % required for headers spanning two lines

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\pagestyle{fancy} % sets page style for the whole document
\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
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%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

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\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
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\DeclarePairedDelimiter{\osbrar}{[}{[}

\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 5 : équations différentielles}\\[4pt]
  À rendre pour le 21 novembre
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est proscrit lors des devoirs sur table, il est donc fortement recommandé de s'habituer dès maintenant à ces nouvelles exigences.

Pour les devoirs maison, il est possible de travailler à plusieurs pour réfléchir aux exercices, de se faire aider (après avoir essayé) ou de poser des questions au professeur. Par contre, il est indispensable que la rédaction des exercices soit personnelle.

La présentation, la qualité de rédaction et la précision des raisonnements sont primordiales dans l'appréciation d'une copie de mathématiques.}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}[Un oscillateur soumis à une excitation périodique]
  Soient \(\omega\) et \(\omega_0\) deux réels strictement positifs et distincts. Résoudre le problème de Cauchy suivant
  \[
    \begin{cases}
      \forall x\in\R,\quad y(x)'' + \omega^2y(x) = \cos(\omega_0x)  \\
      y(0) = 1,\\
      y'(0) = 0.
    \end{cases}
  \]
\end{exo}

\begin{exo}[Un problème de raccord]
  Dans cet exercice, on cherche à trouver les solutions de classe \(\mc C^1\) de l'équation différentielle suivante :
  \[
    \forall x\in\R,\quad x(x-1)y(x)' - (3x-1)y(x) + x^2(x+1) = 0 \tag{\(E\)}.
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Chercher une solution particulière à \((E)\) sous la forme d'un polynôme du second degré.
  \item Déterminer des constantes \(a,b\in\R\) telles que pour tout \(x\in\R\setminus\{0,1\}\),
    \[
      \frac{3x-1}{x(x-1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1}.
    \]
    
  \item Peut-on écrire \((E)\) sous forme normalisée sur \(\R\) tout entier ? À quels intervalles \(I_1, I_2\) et \(I_3\) faudrait-il restreindre l'étude pour pouvoir déterminer les solutions ? Résoudre l'équation différentielle sur ces intervalles.
  \item On procède par analyse et synthèse. On suppose que \(f\) est une solution de \((E)\). Montrer qu'il existe trois constantes \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\in\R\) telles que, pour tout \(x\in\R\),
    \[
      \begin{cases}
        \text{si }x\in I_1, & f(x) = x^2 + \lambda_1 x(x-1)^2, \\
        \text{si }x\in I_2, & f(x) = x^2 + \lambda_2 x(x-1)^2, \\
        \text{si }x\in I_3, & f(x) = x^2 + \lambda_3 x(x-1)^2. \\
      \end{cases}
    \]
  \item On a supposé que la fonction \(f\) était de classe \(\mc C^1\) sur \(\R\) tout entier.
    C'est-à-dire, en particulier, que \(f'\) est continue en tout point qui n'est pas dans \(I_1\cup I_2\cup I_3\). Quelle conséquence peut-on en déduire sur les constantes \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) ?
  \item On a effectué l'analyse, procéder maintenant à la synthèse et conclure.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
  Le but de cet exercice est de déterminer toutes les fonctions \(f:\R\to\R\) dérivables telles que pour tout \(x, y\in\R\),
  \[
    f(x+y) = e^xf(y) +e^yf(x).
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Exhiber une solution évidente de ce problème.
  \end{enumerate}
  On considère maintenant une solution au problème, notée \(f\).
  \begin{enumerate}[resume]
  \item Calculer \(f(0)\).
  \item Justifier que \(f\) est solution de l'équation différentielle du premier ordre
    \[
      \forall x\in\R,\quad f'(x) = f(x) + Ce^x,
    \]
    où \(C\) est une constante qu'on explicitera.
  \item Déterminer les solutions du problème de Cauchy
    \[
      \begin{cases}
       \forall x\in\R,\quad  y(x)' = y(x) + Ce^x\\
        y(0) = 0.
      \end{cases}
    \]
  \item Qu'a-t-on montré ? Conclure.
  \end{enumerate}

\end{exo}

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\end{document}
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