%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper]{article}
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\title{}
\author{}
\date{}

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%% Packages

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\usepackage{mathtools}
\usepackage[matha,mathb]{mathabx} % french mathematical symbols and more
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\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{mdwlist}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,
  citecolor=DarkBlue,
  linkcolor=DarkBlue,
  linktoc=page,
  urlcolor=black,
}

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%% ------------------------------------------------------------------------------
%% Packages setup

% enumitem
\setlist{itemsep=0pt, topsep=0pt} % vertical spacing for all lists
  
\newlist{pbenum}{enumerate}{10} % enumerate for problems (nested like so : 1., 1.1., 1.1.1., etc)
\setlist[pbenum]{label*=\arabic*.}
\setlist[pbenum, 1]{itemsep=4pt plus 2pt minus 1pt, topsep=8pt plus 2pt minus 4pt} % default enumerate spacing

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\setlist[enumerate, 2]{label = \alph*.}

% geometry
%defaults : textwidth = 0.7\paperwidth = 1675.8pt, textheight = 0.7\paperheight = 4788pt

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\hypersetup{colorlinks=true,
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% fancyhdr
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%% \fancypagestyle{fancy}{%
%%   \fancyhf{} % clear all header and footer fields
%%   \lhead{École Normale Supérieure de Lyon\\Département de mathématiques}
%%   \rhead{2021--2022\\Option B pour l'agrégation}
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  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}}

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\fancyhf{} % clear all header and footer fields
\lhead{ENS de Lyon\\CPES Sciences}
\rhead{2022--2023\\Mathématiques}
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%% Custom environments/macros

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\I}[2]{\Io{#1,#2}\If}

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\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
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\newcounter{exercice}

\newcommand{\ex}{\refstepcounter{exercice}\paragraph{Exercice \theexercice.}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[$(\star)~$\theenumi]}

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\begin{document}
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%% Header

\begin{center}
  {\LARGE \bf Devoir en temps libre 6 : matrices et résolutions de systèmes linéaires}\\[4pt]
  À rendre pour le 12 décembre 2022
\end{center}
\bigskip

\noindent{\em L'usage de tout matériel électronique, y compris calculatrices et téléphones portables, est proscrit lors des devoirs sur table, il est donc fortement recommandé de s'habituer dès maintenant à ces nouvelles exigences.

  Pour les devoirs maison, il est possible de travailler à plusieurs pour réfléchir aux exercices, de se faire aider (après avoir essayé) ou de poser des questions au professeur. Par contre, il est indispensable que la rédaction des exercices soit personnelle.

  La présentation, la qualité de rédaction et la précision des raisonnements sont primordiales dans l'appréciation d'une copie de mathématiques.}

\begin{center}
  \noindent\rule{12cm}{0.4pt}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}
  On considère les matrice 
  $J=
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 0\\
    0 & 1 & 0\\
    0 & 0 &-3
  \end{pmatrix}$ et $N=
  \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 0
  \end{pmatrix}.$
  \begin{enumerate}
  \item Calcul des puissances de $J$.
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer une matrice diagonale $D$ telle que $J=D+N$.
    \item Calculer $N^2$, $DN$ et $ND$.
    \item \`A l'aide du binôme de Newton, en déduire une expression simple de $J^n$ pour $n\in \N$.
    \end{enumerate}\smallskip

  \item Soit $(v_n)_{n\in \N}$ la suite définie par $v_0=0$, $v_1=0$, $v_2=1$ et pour $n\in \N$, $v_{n+3}=-v_{n+2}+5v_{n+1}-3v_n.$

    Pour tout $n\in \N$, on définit la matrice colonne $V_n=
    \begin{pmatrix}
      v_{n+2}\\
      v_{n+1}\\
      v_{n}
    \end{pmatrix} \in \mc M_{3,1}(\R)$.
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer une matrice $A$ telle que pour tout $n \in \N$, $V_{n+1}=A V_n$.

      \emph{Indication :} commencer par vérifier que l'égalité $V_{n+1} = A V_n$ n'est possible que si $A$ est de taille $3\times 3$, puis  déterminer les coefficients de $A$ à l'aide de la relation de récurrence définissant $(v_n)$.
    \item Montrer par récurrence que $V_n = A^n V_0$ pour tout $n\in \N$.
    \end{enumerate}
  \item On définit 
    $P=
    \begin{pmatrix}
      1 & 3 & 9\\
      1 & 2 & -3\\
      1 & 1 & 1
    \end{pmatrix}
    $.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.
    \item Vérifier que $A=PJP^{-1}$.
    \item En déduire une expression de $A^n$ en fonction de $P$, $P^{-1}$ et des puissances de $J$.
    \end{enumerate}
  \item Exprimer explicitement le terme général de $(v_n)$ en fonction de $n$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[Un problème de commutation] On rappelle qu'on dit de deux matrices carrées \(A\) et \(B\) qu'elles commutent si \(AB=BA\).

  Soient \(n\in\N^*\) et \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\) des réels deux à deux distincts. Déterminer l'ensemble des matrices de \(\mc M_n(\R)\) qui commutent avec \(D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\). (\emph{Indication : fixer une matrice \(A\), et comparer les coefficients de \(AD\) et de \(DA\).})
\end{exo}

\begin{exo}
  Résoudre le système suivant en fonction du paramètre \(\lambda\in\R\) :
  \[
    (S_\lambda) : \left\{
      \begin{aligned}
        x + y + \lambda z &= 0, \\
        x + \lambda y + z &= 0, \\
        \lambda x + y + z &= 0.
      \end{aligned}\right.
  \]
\end{exo}

\begin{exo}
  On dit qu'une matrice carrée \(N\in\mc M_n(\R)\) est \emph{nilpotente} s'il existe un entier naturel \(p\) tel que \(N^p= \mc O_n\). Dans cet exercice, on va démontrer la propriété suivante : si \(A, N\in \mc M_n(\R)\) sont des matrices telles que \(AN=NA\) et \(N\) est nilpotente, alors
  \[
    A \text{ est inversible} \iff A + N \text{ est inversible}.
  \]
  \begin{enumerate}
  \item On considère les matrices
    \[
      N_1 =
      \begin{pmatrix}
        0 & 1 & 0 \\
        0 & 0 & 1 \\
        0 & 0 & 0
      \end{pmatrix}, \quad
      N_2 =
      \begin{pmatrix}
        -1 & 1 \\
        -1 & 1
      \end{pmatrix}, \quad
      N_3 =
      \begin{pmatrix}
        1 & 0 \\
        0 & 0
      \end{pmatrix}.
    \]
    Lesquelles sont nilpotentes ? Justifier.
  \item Soient \(B\in\mc M_n(\R)\) et \(p\in\N\).
    \begin{enumerate}
    \item Calculer le produit
      \[
        (I_n-B)(I_n+B+\dots + B^p).
      \]
    \item En déduire que si \(B\) est nilpotente, alors \(I_n-B\) est inversible, et donner son inverse en fonction de~\(B\).
    \end{enumerate}
  \item On considère deux matrices \(A,B\in\mc M_n(\R)\), et on suppose que \(A\) est inversible.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que \(A\) et \(B\) commutent si, et seulement si, \(A^{-1}\) et \(B\) commutent.
    \item En déduire que si \(B\) est nilpotente et commute avec \(A\), alors \(A^{-1}B\) est nilpotente.
    \end{enumerate}
  \item On fixe maintenant \(A\) et \(N\) deux matrices de \(\mc M_n(\R)\) qui commutent, et on suppose que \(N\) est nilpotente.
    \begin{enumerate}
    \item Dans un premier temps, démontrons le sens direct du résultat. Montrer que si \(A\) est inversible, alors \(I_n + A^{-1}N\) est inversible, et en déduire que \(A+N\) l'est.
    \item Réciproquement, montrer que si \(A+N\) est inversible, alors \(A\) l'est aussi. (\emph{Indication : on pourra utiliser le résultat que l'on vient de montrer dans la question précédente})
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exo}


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\end{document}
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